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Equations des ondes avec des perturbations dépendantes du temps

De
124 pages
Sous la direction de Vesselin Petkov
Thèse soutenue le 23 novembre 2010: Bordeaux 1
Résumé
-Estimations de Strichartz
-Équations des ondes
-Décroissance de l'énergie locale
-Métrique dépendante du temps
-Équations non linéaires
Abstract
-Strichartz estimates
-Wave equations
-Local energy decay
-Time dependent metric
-Non-linear equation
Source: http://www.theses.fr/2010BOR14101/document
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.
.
1.6
.
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.
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.
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.
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.
.
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.
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.
.
.
.
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.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
.
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.

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Exemples
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
33
.
Estimations
.

.
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.
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.
.
.
.
.
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.
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.
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.
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.
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.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
54
.
1.8.2
.
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.
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.
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.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
Existence
.
équations
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3
.
de
.
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.
.
.
.
.
.
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.
.
55
.
1.8.3
.

.
exp
.
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.
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2.3.2
de
F
l'op
sur
érateur
.
iv
en
Index
2.7.2
113
.
Bibliographie
ransformation
107

.
érateur
asso
.

.
à
2.3.4
une
Théorème
mé-
.
trique
.
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.
dique
.
.
83
.
.
.
lo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
94
.
métriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.6
.
Théorème
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
102
.

59
our
1.9
ondes
Généralisation
2.7.1
des
lo
résultats
.
p
.
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.
les
.
métriques
.
anisotrop
.
es
.
p
.
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67
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.

.
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.
.
.
pair
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.1
.
othèses
.
dénitions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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2.4
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.
2.1
.
In
.
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.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.5
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
94
.
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.
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.
2.1.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
.
2.2
.
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.

.
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.
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2.7
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.
p
.
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.
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.
102
.
Existence
.
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.
117
.
lo
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t x
n n> 2
x
t
x
2 n∂ u(t,x)−Δ u(t,x)+V(t,x)u(t,x) =F(t,x), (t,x)∈R×R .xt
x

nu −div (a(t,x)∇ u) = 0, (t,x)∈R×R ,tt x x
n(u,u )(s,x) = (f (x),f (x)) =f(x), x∈R .t 1 2
∞ n+1a(t,x) ∈ C (R )
n(i) C >a(t,x)>c > 0, (t,x)∈R×R ,0 0
(ii) ρ> 0 a(t,x) = 1 |x|>ρ,
1+n α β 1+n(iii) (α,β)∈N , |∂ ∂ a(t,x)|6C , (t,x)∈R .α,βt x
d'établir

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une
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(0.1.3)

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est
par
quelques-uns
le
nous
propagateur
ondes.
Melrose
our
de
l'énergie
aux
étudié
v
eaucoup
tra
ar
les
ortemen
que
l'énergie
ainsi


p

diéren
L'analyse


in
(0.2.2)
à
problème
l'énergie
au
allons

exemples
asso
our

de
lo
l'énergie
l'énergie
t
our

p

que
l'énergie

(0.1.3)
dans
a
é
par
prouv
on
t
our
on
l'énergie
etz-Ralston-Strauss
résultats
w
quand
Mora
tendan
l'obstacle,
,
sur
t
othèses
v
yp
résultats
h
,
d'autres
ob
que
sera
ainsi
des

de
non
hartz.
la
Comp
qu'implique
t
fuite,
de
de
lo
fonction
L'énergie
d'une

l'existence

t
(0.1.3)
osan
dénie
supp
de
En
ter

allons
(0.2.2)
sous-section
sur
Dans
t
des
an
les
suiv
p
problème
lo
le
de
Considérons
la
.
t
ord
d'auteurs
b
b
à
la
dans
P
u

ten
t

de

lo
ble
quand
ensem
et
d'un
dans
dans
ermet
taire


ts
le
Dans
Soit
thèse
.
nous
Dans
téresserons

t
thèse
la
nous
de
étudierons
lo

Nous
t
présen
les
quelques
estimations
d'équations
de
p
la
lesquelles
solution
résultats
obstacle
la
du
de
problème
lo
(0.1.3)
on
p
été
our
0.2.1
un
de
ec
lo
v
On
a
que
ondes
lo
des
de
Équation

e.
on
exhaustiv
etz
.
Mora
En
établis
particulier,
t
en
ondes
supp
l'équation
osan
p
t
lo
que
de
et
de

premiers
phie
.
bibliogra-
ers
une
t
faire
fonction
est
et
p
de
ério
de
dique
endan
en
ec
temps
a
et
l'obstacle
sans
2

γ n −γ 2 n˙H (R ) = Λ (L (R )) Λ = −Δ
nR
n n˙ ˙U(t,s) : H (R ) → H (R ),γ γ
(f ,f ) =f 7! U(t,s)f = (u,u )(t,),1 2 t
n γ n γ−1 n˙ ˙ ˙H (R ) =H (R )×H (R )γ
u
n˙f ∈ H (R ) a(t,x)1
n> 3
∞ nkχU(t,s)χk , χ∈C (R ).˙ nL(H (R )) 01
t→ +∞
∞kχU(t,s)χk 6C p(t−s), t>s, χ∈C (|x|6ρ+1)˙ n χL(H (R )) 01
C > 0 t s p(t) 0 t→ +∞χ
nΩ R
∞{x : |x|6R} C
v −Δ v = 0, (t,x)∈R×Ω, tt x
v = 0 ∂Ω,
(v,v )(0,x) = (f (x),f (x)) =f(x), x∈ Ω.t 1 2
n> 3
et
à
Comp

ortemen
t
t
ondes
asymptotique
l'h
de

l'énergie
RA
lo
que

,
3
est
est
p
non


même,
et
en
en
dimension
utilisan
la
t
dev
la
t
propagation
démon
des
ério
singularités
a
de
indép
la
a
solution
[V
du
b
problème
p
(0.2.2)
tronquée.
(v
de
oir
on
[SS
our


[V
[GP]),
ain75
et

Notons
[V
aux
ain88


non
[V
alors,
o

d99]
P
et
de
les
une
références
ec

p
dans
et


tra
[V
v
a
aux),
te
on
[V
mon
non
tre
une
que,
des
p
osan
our
la
0.2.
que
problème
est
au
p
impair,
a

exp
à
ério
supp
(0.2.3)
ort
l'énergie
dans
impaire,
asso
si

(v
lo
théorème
l'énergie
des
en

t
suiv
uniformémen
tra
un
V
our
o
,
mon
p
l'obstacle
our
et
p
est
que
our
tel
ort
existe
t
il
o
ornées
helot
b
solution
ées
v
dériv
erturbation
des
v
et
Équation
ec
a
v
pair,
a


p
de
te
et
lorsque
,
o
la
d99
solution
tré
e
des
ositiv
ec
p
indép
est
temps
de

(0.2.2)

v
othèse
érie
V
:
prop
t
générale
érian
t
v
de
et
és
our
sur
p
t
que
an

mon
am81
o
[T
.
dans
endan
é
et
prouv
est
t
p
notammen
a
a
onen
Il
est

dique
am81
p
[T
p

à
am78(2)
asso
[T
de

la
am78(1)
est
[T
la
oir
que
(v
oir
temps
GE
du
de
t
le
endan
singularités
dép
propagation
erturbations
de
p

des
qu'en
ec
an
v
les
a
v
ondes
de
des
o
l'équation
[V
our
d99
p
on
a
tre
v
si
ec
est


lo
l'analyse
l'énergie
utilisan
indép
pair,
endan
p
t
en
de
supp
de
dans
.
dans
De
tren
même,
v
en
etk
appliquan
et
t

les
la
tra
dique
v
(0.2.2)
aux
érie
de
p
Melrose
p

ec
Metcalfe
a
prouv
des
e
.
dans
v

(0.2.1)
que
on
si
our
l'obstacle
e,
est
non
non
erturbation

la
et
de

endan
de
est
résultats
que
est
d04
pair,
[V
alors,

p
o
our
dans
plusieurs
mon
à
Équation
supp
ondes
ort
v
dans
une
établi
erturbation
a
endan
ura
du
am
Dans
T
ain75
dique
et
ério
ain88
p
sous
non
yp
,
de
erturbation

p
ain
une
erg
ec
ose
v
analyse
a
du
ondes
ortemen
des
asymptotique
Équation
solutions
nie.
problèmes
dimension
erturb

rep
et
t
de
le
sous-espace
ortemen
un
dev
à
résolv
t
te
appartenan
Il
,
tre
la
si
solution
V

De
de
ec
(0.2.2)
indép
v
te
érie
v
ort
la
supp
erturbation
à
non
initiales
e,
données
our
des
(0.2.1)
our
impair,
p
(0.2.3)
tielle
de
∞n> 3 f {x : |x|6R} χ∈C (|x|6R)0
n06γ < v(t)
2
−δtkχv(t)k +kχv (t)k 6Ce kfk˙ γ ˙ γ−1 ˙tH (Ω) H (Ω) H (Ω)γ
δ > 0 t
n> 2
∞ nf {x : |x|6R} χ∈C (|x|6R) 06γ < v0 2
n

2kχv(t)k +kχv (t)k 6C|t| kfk .˙ γ t ˙ γ−1 ˙H (Ω) H (Ω) H (Ω)γ
n> 2 f B ={x : |x|6R}R
v
−nk∇ v(t)k +kv (t)k 6C|t| kfk .x 2 t 2 ˙L (Ω∩B ) L (Ω∩B ) H (Ω)R R 1
a(t,x)
t n> 3
−δtp(t) =e a(t,x)
t n> 4
−np(t) =t
V(t,x) t
n = 3 V(t,x)
1(i)V(t,x) C
(ii) ρ> 0 V(t,x) = 0 |x|>ρ,
−α(iii)∂V(t,x) = O (t ) 0<α6 1, x,t
t→+∞

nu −Δ u+V(t,x)u = 0, (t,x)∈R×R ,tt x
n(u,u )(0,x) = (f (x),f (x)) =f(x), x∈R ,t 1 2ordinaire
.
v
In
h
tro


se

ondes
de
exemples
façon
de
exp
dicile.
onen
(0.2.5)
tielle.
our
En
érian

h
t
de
de
duit.
p
soit
etites
p
p
t
erturbations
qu'il
dép
l'on
endan
tielle.
tes
dériv
du

temps,

Matcalfe
our
et
pro
T

ataru
non
on
de
t

obten
Considérons
u
ersale
la
b


de
de
l'énergie
l'équation
lo
Flo

oir
(v
d'instabilité,
oir
et
[MT08]
er
et
de
[MT09]).
yp
0.2.2
our

plus
exp
ondes,
onen
(0.2.6)
tielle
que
de
solution
l'énergie
(0.2.4)
lo
équations

eut
P
sous
our
othèse
un
sous
problème
othèse
de
L'ob
Cauc

h
ter
y
problèmes
asso
se

exemple
à
diéren
une
au
équation

d'év
régulier
olution
)
d'ordre
un
4
des
,
lo
on
onen
dit
On
que
en
l'énergie
théorie

Il
de
u
façon
exemple
exp
des
onen
our
tielle
de
s'il
,
existe
eut
sur
solutions
s'écrit

qui
exp
t,
même
an
de
mouv
duit
obstacle
équations
un
partielles
ec
t
et
équations
une
l'analyse
solution
est
v
(0.2.4)
du
Notons
problème
la

d'une
telles
v
qu'on
t
a
p
a
les
ondes
des
des
p
l'équation
se
à
duire

une
asso
yp
mixte,
de
problème
et
le
une
Considérons
yp
.
de
que

osera

supp

on
est
plus,
présen
De
quelques
a
de
qu'on

tel
phénomène
existe
pro
qu'il
Un
ose

supp
l'équation
on
tielle
et
temps
par
de
,
transv
noté
la
,
et
temps
ord
au
à
l'obstacle
(
dénit
domaine
On
Soit
.
problèmes
(0.2.4)
our
P

our
l'énergie
le
tielle
problème
exp
(0.1.3)
(0.2.5)
,
étudie

(0.2.5)
trairemen
utilisan
t
la
à
de
la
quet.

est
de

l'énergie
(v
lo
par


la
existe

régions
d'une
p
solution
les
v
aleurs
érian
plus
t
eaucoup
(0.2.4)

implique
p
que
trouv
l'énergie
des
globale
de
n'est
qui
pas
t
uniformémen
façon
t
onen
b
Le
ornée.
t
P
e
our
phénomène

pro
problèmes
p
asso
les

aux
à
ées
une
et
équation
précisémen
des
p
ondes
les
il
des
existe
mais
des
de
solutions
phénomènes
v
b
érian
t
bien
2
∞ nϕ ∈ C (R ) u0
−Ctlimsupe kϕ(u(t),u (t))k > 0.˙ nt H (R )1
t→+∞
2d x 2+k(t) x = 0, k(t) = 1+εcos(ωt).
2dt
ω ε
nΩ R ×R n> 2 Σt x
nΩ ={x∈R : (t,x)∈ Ω}t
Ω t t O(t)
nO(t) =R rΩ T > 0t
O(t+T) =O(t), t∈R.
O(t) ⊂ B = {x : |x| 6 R }R 00

v −Δ v = 0, (t,x)∈ Ω, tt x
v = 0 Σ,
(v,v )(s,x) = (f (x),f (x)) =f(x), x∈ Ω ,t 1 2 s