Etude de deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec terme de source relatif à la fonction ou à son gradient, Study of two elliptic quasilinear problems with a source term involving the function or its gradiant

Haydar Abdel Hamid

Description

Sous la direction de Marie-Françoise Bidaut-Veron
Thèse soutenue le 07 décembre 2009: Tours
Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l’existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d’introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d’inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d’inconnue v, contient un terme source d’ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l’aide d’un changement d’inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l’existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l’existence d’une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d’existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.
-Multiplicité des solutions
-P-Laplacien
In the thesis manuscript we present new results concerning existence, nonexistence, multiplicity and regularity of positive solutions for two elliptic quasilinear problems with Dirichlet data in a bounded domain. In chapter 1 we describe the two problems which we study in the sequel and we give the main results. The first one, of unknown u, involves a gradient term with natural growth. The second one, of unknown v, presents a source term of order 0. In chapter 2 we give new regularity results for renormalized solutions. Thanks to a change of unknown we establish a precise connection between problems in u and v. Chapter 3 is devoted to show this connection and to give a first application. In the chapters 4 and 5 we treat existence solutions, extremal solution and its regularity, the existence of a second bounded solution for the problem in v. In chapter 6 we prove a result of existence for the problem in v with general bounded Radon measures data. In chapter 7 we obtain new results for the problem in u by using the connection between these two problems.
Source: http://www.theses.fr/2009TOUR4018/document

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

´EIVERSITUNFRANC¸OISRABELAIS
TOURSDE

´EcoleDoctorale:Sant´e,Sciences,Technologies
LaboratoiredeMath´ematiquesetPhysiqueTh´eorique

TH`ESEpre´sente´epar:
HAMIDABDELydarHasoutenuele:7d´ecembre2009

pourobtenirlegradede:Docteurdel’universite´Fran¸cois-Rabelais
Discipline/Sp´ecialite´:Math´ematiquesPures

Etudededeuxproble`mesquasiline´aireselliptiques
avectermedesourcerelatifa`lafonctionoua`son
tneadigr

TH`ESEdirig´eepar:
BIDAUT-VERONMarie-Fran¸coise
:TEURSRORAPPIreneoLAPERSOUPLETPhilipe
:YJURBARLESGuy
BIDAUT-VERONMarie-Fran¸coise
MURATFran¸cois
IreneoLAPERAlainTPRIGNESOUPLETPhilipe
VERONLaurent

Professeura`l’Universite´deTours

Professeura`l’Universite´AutonomadeMadrid
Professeura`l’Universite´ParisXIII

Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´ParisVI
Professeura`l’Universite´AutonomadeMadrid
Maˆıtredeconf´erencesa`l’Universite´Paris-Est
Professeura`l’Universite´ParisXIII
Professeura`l’Universite´deTours

2

Je

edie´d

ettec

tha`ese`

Mestr`eschersparentsKhaledetAmal

Mach`erefemmeAbir

Mesch`eressœursSahar,Taghrid,WaadetSiran

Meschersfr`eresHilaletFiras

MesneveuxHadietJawad

Mesgrandsparents

onclesMestanteset

Mesenseignantstoutaulongdemes´etudes

i

ii

tsenmeRemerci

Recevez,MadameleProfesseurMarie-Fran¸coiseBidaut-Ve´ron,mesplussinc`eresremer-
cimentspouravoirdirige´cetteth`esedanslacontinuite´demonstagedeMaster2.Pour
l’attentionquevousm’avezport´ee,votregrandedisponibilite´,votrepatienceetvotre
soutienmoraljevousexprimetoutemareconnaissanceetmonprofondrespect.Votre
exp´erienceetvosgrandescompe´tencesontpermisl’accomplissementdecetravail.
LesprofesseursIreneoPeraletPhilipeSoupletonteul’extrˆemegentillessed’accepter
deleurjugerpatiencecetraetvailpetourd’enl’intˆe´retreeˆtlesqu’ilsrapponortporteurs.te´a`Jecelestravaremercieil.vivementpourleursefforts,
Jetiensa`remercier´egalementGuyBarles,Fran¸coisMurat,AlainPrignetetLaurent
V´erond’avoiraccepterdefairepartiedemonjury.
Ungrandmercivaa`monprofesseurdel’universite´libanaiseMoustafaJazarquia
sumeredonnerconfianceetm’aencourage´pourpoursuivremes´etudessup´erieures.Je
leAhmadremercieElSopoufiurpm’aourvsooirncoaidenseteille´sondesvuppenirorta`paTourternels.Jetoutauremercielong´egdealemenmestquatleresProfessann´eeseur
e.ncraFenMercia`touslesmembresdulaboratoiredeMathe´matiquesetPhysiqueth´eorique,
quim’ontpermisdetravaillerdansdetr`esbonnesconditions.Jeremercieenparticulier
lessecr´etairesAnne-MarieetBernadette.Jeremercie´egalementmescolle`guesdubureau
Ali,Ola,RamietThierry.
Jevoudraisremerciertousmesamis,maisilm’estimpossibledelescitertousici.
J’aiuneattentiontr`esparticuli`erea`MoustafaElhaj,MouhammadHawashetleDocteur
SalahElraiidem’avoirsupport´e,danstoutlessensduterme,toutaulongdecetteth`ese.
JevoudraisremerciermesparentsKhaledetAmaletmafamilleenti`erequi,deloin,
atoujourssum’offrirsonsoutien,sacompr´ehension,sesencouragements,sapatienceet
sonaffection.Aeuxjed´ediecetteth`ese.

iii

iv

le

La

deioer´p

plusla

nsdatendreplus

rte,om’app

ail.vtra

puro

sa

difficile

de

ettce

ese`th

a´ete´partage´avec

celle

qui

lemonde.Alorsmillemercisa`Abirpourtout

e,cniepat

son

soutien...

Elle

erite´m

tamplemen

le

e`osspde

le

cœur

qu’elleonheurb

que

je

lui

edie´d

ce

Etudededeuxproble`mesquasiline´aireselliptiques
avectermedesourcerelatifa`lafonctionoua`son
tneadigr

e´esum´R

Danscemanuscritdeth`esenouspr´esentonsdesnouveauxr´esultatsconcernantl’exis-
tence,lanon-existence,lamultiplicite´etlare´gularite´dessolutionspositivespourdeux
proble`mesquasilin´eaireselliptiquesavecconditionsdeDirichletdansundomaineborne´.
Danslechapitre1d’introduction,nousde´crivonslesdeuxprobl`emesquenousallons
´etudieretnousdonnonslesprincipauxr´esultats.Lepremier,d’inconnueu,comporte
untermedesourcedegradienta`croissancecritique.Lesecond,d’inconnuev,contient
untermesourced’ordre0.Danslechapitre2nousdonnonsdesnouveauxre´sultatsde
r´egularite´dessolutionsrenormalis´eesutilespournotre´etude.
Al’aided’unchangementd’inconnue,nous´etablissonsunlienpr´ecisentrelesprobl`emes
enuetv.Lechapitre3estconsacre´a`montrercelieneta`donnerunepremi`ereapplication.
Dansleschapitres4et5noustraitonsdel’existencedesolutions,lasolutionextr´emale
etsar´egularit´e,l’existenced’unedeuxi`emesolutionborn´eeduprobl`emeenv.Dansle
chapitre6nousd´emontronsunr´esultatd’existencepourleprobl`emeenvavecdesdonn´ees
mesuresdeRadonborn´eesquelconques.Danslechapitre7nousobtenonsdesnouveaux
r´esultatspourleprobl`emeenuenutilisantlaconnexionentrecesdeuxprobl`emes.

Motscle´s:proble`mesquasilin´eaireselliptiques,p-Laplacien,mesuresdeRadonborn´ees,
p-capacit´e,topologiee´troite,topologiefaible∗,solutionrenormalis´ee,solutionatteignable,
solutionminimaleborn´ee,solutionextr´emale,r´egularite´,multiplicite´,deuxi`emesolution
born´ee,fonctionnelled’Euler,solutionsemi-stable,ge´om´etriedecol,suitesdePalais-
Smale.

v

vi

Studyoftwoellipticquasilinearproblemswitha
sourceterminvolvingthefunctionoritsgradient

acttrAbs

Inthethesismanuscriptwepresentnewresultsconcerningexistence,nonexistence,
multiplicityandregularityofpositivesolutionsfortwoellipticquasilinearproblemswith
Dirichletdatainaboundeddomain.Inchapter1wedescribethetwoproblemswhichwe
studyinthesequelandwegivethemainresults.Thefirstone,ofunknownu,involves
agradienttermwithnaturalgrowth.Thesecondone,ofunknownv,presentsasource
termoforder0.Inchapter2wegivenewregularityresultsforrenormalizedsolutions.
Thankstoachangeofunknownweestablishapreciseconnectionbetweenproblems
inuandv.Chapter3isdevotedtoshowthisconnectionandtogiveafirstapplication.
Inthechapters4and5wetreatexistencesolutions,extremalsolutionanditsregu-
larity,theexistenceofasecondboundedsolutionfortheprobleminv.Inchapter6we
provearesultofexistencefortheprobleminvwithgeneralboundedRadonmeasures
data.Inchapter7weobtainnewresultsfortheprobleminubyusingtheconnection
betweenthesetwoproblems.

Keywords:ellipticquasilinearproblems,p-Laplacien,boundedRadonmeasures,p-
capacity,narrowtopology,weak∗topology,renormalizedsolution,reachablesolution,
minimalboundedsolution,extremalsolution,regularity,multiplicity,secondbounded
solution,Eulerfunction,semi-stablesolution,geometryofMountainPath,Palais-Smale
es.sequenc

vii

ivii

Tabledesmati`eres

1Introduction:Pre´sentationdusujet&Organisationdelath`ese
1Probl`emes´etudi´es................................
1.1Changementd’inconnueset´equivalenceformelle...........
1.2Complexite´...............................
1.3Historique................................
2Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux...............
2.1Connexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)............
2.2Etudeduprobl`eme(Pv,λ)sansmesure................
2.3Probl`eme(Pv,λ)avecmesureetretoursurleprobl`eme(Pu,λ)....
3Listedespublications..............................

2Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables
2.1Introduction...................................
2.2Notionsdesolutions..............................
2.2.1Solutionsrenormalis´ees.........................
2.2.2Solutionsatteignables.........................
12.2.3SecondmembredansL(Ω)etine´galite´detypePicone........
2.3R´egularite´....................................
2.3.1R´egularite´debase...........................
2.3.2R´esultatsdere´gularite´.........................
2.3.3Preuves.................................

3Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)
3.1Introduction...................................
3.2Changementponctueldefonctions......................
3.2.1D´efinitionsetpropri´et´es........................
3.2.2Exemples................................
3.3Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2......................
3.4Lecasβconstant,glin´eaire..........................
3.4.1Quelquespropri´et´esdeλ(f).....................
13.4.2PreuveduTh´eor`eme3.1.3.......................

ix

1335677111351

12323232923013233353

491545456516172737

x

4

5

6

7

Tabledesmati`eres

Existencedesolutionspourleproble`me(P).81
,λv4.1Introduction...................................83
4.2L’intervalled’existencepourλ.........................84
4.3Egalite´desintervalles..............................86
4.3.1Convexite´................................86
4.3.2Casou`gaunecroissancelente....................93

Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextre´male101
5.1Introduction...................................103
5.2Outilstechniques...............................