Etude par des méthodes analytiques et numériques de la répartition des champs induits dans les supraconducteurs à haute température critique, Study by anatical and numerical methods of the distribution of induced fields in high temperature superconductors

Abelin Simplice Kameni Ntichi

Description

Sous la direction de Denis Netter, Bruno Douine
Thèse soutenue le 24 juin 2009: Nancy 1
Les propriétés des supraconducteurs sont à la base d’une multitude d’applications dans les domaines tels que l’ingénierie, la médecine, ou encore la recherche fondamentale. Les travaux de caractérisation réalisés depuis la découverte de la supraconductivité ont permis d’introduire des lois d’évolution macroscopiques. Elles sont aujourd’hui très utilisées pour dimensionner les nouvelles applications de ces matériaux. L’une d’elle est une relation de type puissance qui relie la densité de courant au champ électrique E Jn. Lorsqu’elle est associée aux équations de Maxwell, on obtient des problèmes différentiels complexes dont la résolution est devenu un axe de recherche très important pour la caractérisation des ces matériaux. Les travaux présentés dans ce manuscrit s’articulent autour de la résolution du problème de diffusion non linéaire satisfait par le champ électrique. Dans ceux-ci, on utilise d’abord une approche analytique basée sur le principe d’auto-similarité pour caractériser la pénétration de la densité de courant dans une plaque supraconductrice bornée. Cette solution nous permet de valider la méthode numérique mixte éléments finis-volumes finis (FEM-FVM) proposée pour faire face aux difficultés qu’introduit l’exposant n de la caractéristique E(J). L’exploitation des calculs numériques effectués pour n 2 [1, 200], nous ont notamment permis de mettre en évidence l’influence de la vitesse de variation d’une source imposée sur l’aimantation et la dissipation dans le matériau.
-Equations de diffusion non linéaires
The properties of superconductors are behind of many applications in fields such as engineering, medicine or yet fundamental research.The works of characterization performed since the discovery of superconductivity has enabled the introduction of macroscopic evolution laws. They are now widely used to size the new applications of these materials. One of them is a power law linking the current density the electric field E Jn. When it is coupled with Maxwell equations, we obtain complex differentials problems, whose resolution has become an very important axis of research for the characterization of these materials. The work presented in this manuscript are focused on solving the nonlinear diffusion equation satisfied by the electric field. In these, one first uses an analytical approach based on the principle of self-similarity in order to characterize the penetration of the current density in a superconducting bounded plate. This solution allows us to validate the mixed finite element-finite volume (FVM-FEM) method proposed in order to face up the difficulties introduced by the exponent n of power law E(J). The use of numerical calculations performed for n in[1, 200] allowed us to highlight the influence of the rate of change of imposed source on the magnetization and dissipation in the material.
Source: http://www.theses.fr/2009NAN10059/document

Informations

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Extrait

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UFR Sciences et Techniques Math´ematiques, Informatique, Automatique
Ecole Doctorale IAEM
D´epartement de Formation Doctorale ”Electrotechnique et Electronique”
Th`ese
pr´esent´ee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’universit´e Henri Poincar´e, Nancy I
en G´enie Electrique
Par :
KAMENI NTICHI Abelin
Etude par des m´ethodes analytiques et num´eriques
de la r´epartition des champs induits
dans les supraconducteurs `a haute temp´erature critique.
Soutenue le 24 juin 2009
Membres du Jury :
Frederic Bouillault Professeur, Universit´edeParisXI Rapporteur
Bertrand Dutoit Docteur, EPFL Lausanne Examinateur
Bruno Douine Maˆıtre de Conf´erences, U.H.P Co-Encadrant
Christophe Geuzaine Professeur, Universit´e de Li`ege Examinateur
G´erard Meunier Directeur de Recherche CNRS, Rapporteur
ENSIEG-INPG Grenoble
Denis Netter Maˆıtre de Conf´erences, U.H.P Directeur de th`ese
Groupe de Recherche en Electronique et Electrotechnique de Nancy
Universit´e Henri Poincar´e, nancy I
Facult´e des Sciences et Techniques BP 239, 54506 Vandoeuvre CedexTable des mati`eres
Introduction g´en´erale 1
1 Description g´en´erale des Mat´eriaux supraconducteurs 3
1.1 D´ecouverte de la supraconductivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Signature de l’´etat supraconducteur : L’aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Classification des Supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Les supraconducteurs de type I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Les supraconducteurs de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Les supraconducteurs `a hautes temp´eratures critiques (HTC) . . . . . . . 12
1.4 Mod`eles macroscopiques des supraconducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Mod`ele de Bean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 La Loi de type Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Les supraconducteurs en ´electrotechnique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 La question de l’influence de la vitesse de variation d’une source impos´ee sur
la caract´erisation des supraconducteurs. 17
2.1 Equations de diffusions des champs ´electriques et magn´etiques dans les supra-
conducteurs de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Equation de diffusion du champ magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Equation de diffusion du champ ´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Outils de calcul de champs en supraconductivit´e appliqu´ee . . . . . . . . 22
2.2 Probl`emes d’´evolutions du champ ´electrique dans un supraconducteurs HTC . . 26
3 Description analytique de la p´en´etration de la densit´e de courant dans une
plaque supraconductrice. 29
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Description et mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 R´esolution analytique du probl`eme de diffusion de la densit´e de courant . . . . . 31
3.3.1 Les solutions auto-semblables et le probl`eme diff´erentiel ordinaire ´equi-
valent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 R´esolution du probl`eme diff´erentiel ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Densit´e de courant dans la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.1 Comparaison des profils analytiques et num´eriques pour p = 0 . . . . . . 41
3.4.2 Influence de l’exposant n sur la p´en´etration de J dans la plaque . . . . . 44
3.4.3 Influence de la vitesse de variation du champ magn´etique V . . . . . . 46B
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Sch´ema FEM-FVM pour la diffusion non lin´eaire dans les supraconducteurs 51
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Probl`emes ´equivalents pour les formulations EF et VF . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Semi-discr´etisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Discr´etisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Discr´etisation ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Discr´etisation volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Sch´ema Num´erique Mixte EF-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.1 Principe de couplage EF-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.2 Op´erateurs passerelles El´ements finis - Volumes finis . . . . . . . . . . . . 60
4.5.3 Association des discr´etisations EF et VF sur des maillages duaux . . . . 62
4.5.4 Probl`eme discret sur un maillage dual barycentrique . . . . . . . . . . . . 63
4.6 R´esolution du probl`eme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.1 Existence et unicit´e de la solution discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.2 Impl´ementation et calcul num´erique de la solution . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Validation du sch´ema EF-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7.1 Validationparlasolutionanalytique:densit´edecourantdansuneplaque
supraconductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7.2 Comparaison a` la m´ethode SAM : Cylindre supraconducteur dans un
champ magn´etique transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Influence de la forme et de la vitesse de variation d’une source impos´ee sur
la caract´erisation d’un cylindre supraconducteur. 75
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Cylindre supraconducteur en champ magn´etique transverse . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 P´en´etration de la densit´e de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Aimantation et ´energies dissip´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Influence de la vitesse de variation du champ magn´etique. . . . . . . . . 84
5.3 Cylindre supraconducteur en courant de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Courants de mˆeme valeur maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2 Influence de la vitesse de variation du courant . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.3 Courants de mˆeme valeur ´efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Conclusion g´en´erale 99
Notations et Unit´es 101
Bibliographie. 107Introduction g´en´erale
L’´etude des m´etaux `a basse temp´erature est a` l’origine de la d´ecouverte de la supraconducti-
vit´e. Elle concerne un ensemble de mat´eriaux dont les propri´et´es sont modifi´ees sous certaines
conditions de temp´erature et de champ magn´etique. En dessous de certaines valeurs critiques,
ladynamique des´electrons danslessupraconducteurs diff`eredecelle desconducteurs classiques
a` temp´erature ambiante. La supraconductivit´e est d´ecrite par des ph´enom`enes tels que la perte
de r´esistivit´e et l’expulsion de l’induction magn´etique. Ce sont les deux principaux aspects sur
lesquels s’est port´eel’attentionde la communaut´e scientifique depuis plus d’un si`ecle. Les avan-
c´ees scientifiques et technologiques r´ealis´ees en ´electromagn´etisme et en cryogenie ont oeuvr´e
`a l’introduction de ces mat´eriaux dans l’industrie et ouvert la voie a` de nouvelles perspectives
d’utilisationetd’applicationdansd’autredomainestelsquel’´electroniqueoul’´