Exponential dichotomy and smooth invariant center manifolds for semilinear hyperbolic systems [Elektronische Ressource] / von Mark Lichtner

Lichtner Mark

Description

Exponential Dichotomy and Smooth InvariantCenter Manifolds for Semilinear HyperbolicSystemsDISSERTATIONzur Erlangung des akademischen Gradesdoctor rerum naturalium(Dr. rer. nat.)im Fach Mathematikeingereicht an derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät IIHumboldt-Universität zu BerlinvonHerr Dipl.-Math. Mark Lichtnergeboren am 14.6.1976 in ToridePräsident der Humboldt-Universität zu Berlin:Prof. Dr. Christoph MarkschiesDekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:Prof. Dr. Uwe KüchlerGutachter:1. Priv.-Doz. Dr. L. Recke2. Prof. Dr. A. Mielke3. Prof. Dr. K. Lueingereicht am: 12. Jan. 2006Tag der mündlichen Prüfung: 30. Mai 2006SelbständigkeitserklärungHiermit versichere ich, dass ich meine Dissertation“Exponential Dichotomy and Smooth Invariant Center Manifolds forSemilinear Hyperbolic Systems”selbständig und ohne unerlaubte Hilfe angefertigt habe.Mark LichtnerRRRRAbstractA “spectral gap mapping theorem”, which characterizes exponential dichotomy, is provenfor a general class of semilinear hyperbolic systems of PDEs in a Banach space X ofcontinuousfunctions. Thisresolvesakeyproblemonexistenceandsmoothnessofinvariantmanifolds for semilinear hyperbolic systems.

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Extrait

Exponential Dichotomy and Smooth Invariant
Center Manifolds for Semilinear Hyperbolic
Systems
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herr Dipl.-Math. Mark Lichtner
geboren am 14.6.1976 in Toride
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Uwe Küchler
Gutachter:
1. Priv.-Doz. Dr. L. Recke
2. Prof. Dr. A. Mielke
3. Prof. Dr. K. Lu
eingereicht am: 12. Jan. 2006
Tag der mündlichen Prüfung: 30. Mai 2006Selbständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, dass ich meine Dissertation
“Exponential Dichotomy and Smooth Invariant Center Manifolds for
Semilinear Hyperbolic Systems”
selbständig und ohne unerlaubte Hilfe angefertigt habe.
Mark LichtnerAbstract
A “spectral gap mapping theorem”, which characterizes exponential dichotomy, is proven
for a general class of semilinear hyperbolic systems of PDEs in a Banach space X of
continuousfunctions. Thisresolvesakeyproblemonexistenceandsmoothnessofinvariant
manifolds for semilinear hyperbolic systems.
The system is of the following form: For 0<x<l and t> 0
    
u(t,x) u(t,x) ∂ ∂    v(t,x) v(t,x) +K(x) +H(x,u(t,x),v(t,x),w(t,x)) = 0, ∂t ∂x
w(t,x) w(t,x)
(SH) d
 [v(t,l)−Du(t,l)] =F(u(t,·),v(t,·)), dt u(t,0) =Ev(t,0),
u(0,x) =u (x), v(0,x) =v (x), w(0,x) =w (x),0 0 0
n n n1 2 3where u(t,x) ∈ , v(t,x) ∈ and w(t,x) ∈ , K(x) = diag (k (x)) is ai i=1,...,n
1diagonal matrix of functions k ∈ C ([0,l], ), k (x) > 0 for i = 1,...,n and k (x) < 0i i 1 i
for i =n +1,...n +n , k ≡ 0 for i =n +n +1,...,n +n +n =n, and D and E1 1 2 i 1 2 1 2 3
are matrices.
It is shown that weak solutions to (SH) form a smooth semiflow in X under natural
conditions on H and F. For linearizations of (SH) high frequency estimates of spectra
and resolvents in terms of reduced diagonal and blockdiagonal systems are given. Using
these estimates and the theory [36, 42] of Kaashoek, Lunel and Latushkin a spectral gap
mapping theorem for linearizations of (SH) in the “small” Banach space X is proven: An
open spectral gap of the generator is mapped exponentially to an open spectral gap of
the semigroup and vice versa. Hence, a phenomenon like in the counterexample [61] of
Renardy cannot appear for linearizations of (SH). The results here differ to the work
[48] of Lopes, Neves and Ribeiro in essential directions: First, the focus is on the “small”
pBanach space X (not L spaces), which is required for nonlinear problems like (SH).
Second, degenerate and equal speed systems are considered needed for applications to
laser dynamics. Existence of smooth center manifolds for (SH) is shown by applying the
above results and general theory on persistence and smoothness of invariant manifolds,
obtained by Bates, Lu and Zeng [7, 8], in the Banach space X.
The results are applied to traveling wave models of semiconductor laser dynamics.
For such models mode approximations (ODE systems which approximately describe the
dynamics on center manifolds) are derived and justified, and generic bifurcations of mod-
ulated waves from rotating waves are shown. Global existence and smooth dependence of
nonautonomous traveling wave models with more general solutions, which possess jumps,
are considered, and mode approximations are derived for such nonautonomous models. In
particular the theory applies to stability and bifurcation analysis for Turing models with
correlated random walk [33, 31]. Moreover, the class (SH) includes neutral and retarded
functional differential equations.
Keywords:
Semilinear Hyperbolic Systems, Smooth Dependence on Data, Center Manifold Theorem,
Linearized Stability, Linear Hyperbolic Systems, Estimates for Spectra and Resolvents,
Exponential Dichotomy, Spectral Mapping Theorem, C Semigroups, Laser Dynamics0
RRRRZusammenfassung
Eswirdgezeigt,dasseinSatzüberdieAbbildungspektralerLücken,welcherexponentielle
Dichotomie charakterisiert, für eine allgemeine Klasse von semilinearen hyperbolischen
Systemen von partiellen Differentialgleichungen in einem Banach-Raum X von stetigen
Funktionen gilt. Dies beantwortet ein Schlüsselproblem für die Existenz und Glattheit
invarianter Mannigfaltigkeiten semilinearer hyperbolischer Systeme. Das System besitzt
die folgende Gestalt: Für x∈ ]0,l[ und t> 0 gelte
    
u(t,x) u(t,x) ∂ ∂    v(t,x) +K(x) v(t,x) +H(x,u(t,x),v(t,x),w(t,x)) = 0, ∂t ∂x
w(t,x) w(t,x)
(SH) d
 [v(t,l)−Du(t,l)] =F(u(t,·),v(t,·)), dt u(t,0) =Ev(t,0),
u(0,x) =u (x), v(0,x) =v (x), w(0,x) =w (x),0 0 0
n n n1 2 3wobei u(t,x) ∈ , v(t,x) ∈ und w(t,x) ∈ , K(x) = diag (k (x)) isti i=1,...,n
1eine Diagonalmatrix von Funktionen k ∈ C ([0,l], ), k (x) > 0 für i = 1,...,n undi i 1
k (x)< 0 füri =n +1,...n +n ,k ≡ 0 füri =n +n +1,...,n +n +n =n,D undi 1 1 2 i 1 2 1 2 3
E sind Matrizen. Unter natürlichen Annahmen an H und F wird gezeigt, dass schwache
Lösungen von (SH) einen glatten Halbfluß im Raum X bilden. Für Linearisierungen von
(SH) werden Abschätzungen für Spektren sowie Resolventen unter Verwendung von re-
duzierten diagonal und blockdiagonal Systemen hergestellt. Darauf aufbauend wird unter
Verwendung der Theorie [36, 42] von Kaashoek, Lunel und Latushkin der Abbildungs-
satz für spektrale Lücken im “kleinen” RaumX bewiesen: Eine offene spektrale Lücke des
Generators wird exponentiell auf eine offene spektrale Lücke der Halbruppe abgebildet
und umgekehrt. Es folgt, dass ein Phänomen wie im Gegenbeispiel von Renardy [61] nicht
auftreten kann. Die Ergebnisse unterscheiden sich von der Arbeit [48] von Lopes, Neves
und Ribeiro in wesentlichen Punkten: Erstens liegt das Hauptaugenmerk beim “kleinen”
pBanach-Raum X (nicht bei L Räumen), welcher für nichtlineare Probleme wie (SH) be-
nötigt wird. Zweitens werden Systeme betrachtet, die sowohl degeneriert als auch gleiche
Geschwindigkeiten besitzen dürfen, was für Anwendungen in der Laserdynamik benötigt
wird. Die Existenz von glatten Zentrumsmannigfaltigkeiten für (SH) wird gezeigt, indem
die genannten Ergebnisse sowie die allgemeine Theorie [7, 8] von Bates, Lu und Zeng
über die Persistenz und Glattheit invarianter Mannigfaltigkeiten im Rahmen des Banach
Raumes X angewandt werden. Die Ergebnisse werden auf traveling wave Modelle für
die Dynamik von Halbleiter Lasern angewandt. Für diese werden Moden Approximatio-
nen (Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen, welche die Dynamik auf gewissen
Zentrumsmannigfaltigkeiten approximativ beschreiben) hergeleitet und gerechtfertigt, die
generische Bifurkation von modulierten Wellen aus rotierenden Wellen wird gezeigt. Glo-
bale Existenz und glatte Abhängigkeit von nichtautonomen traveling wave Modellen mit
allgemeineren schwachen Lösungen, welche Sprünge beinhalten können, werden betrach-
tet,außerdemwerdenModenApproximationenfürsolchenichtautonomenModellerigoros
hergeleitet. Insbesondere arbeitet die Theorie für die Stabilitäts- und Bifurkationsanaly-
se von Turing Modellen mit korellierter Zufallsbewegung [33, 31]. Ferner beinhaltet die
Klasse (SH) neutrale und retardierte funktionale Differentialgleichungen.
Schlagwörter:
Semilineare Hyperbolische Systeme, Glatte Abhängigkeit von den Daten, Zentrumsmannigfaltigkeiten,
Linearisierte Stabilität, Lineare Hyperbolische Systeme, Abschätzungen von Spektrum und Resolvente,
Exponentielle Dichotomie, Spektraler Abbildunssatz, C Halbgruppen, Laserdynamik0
RRRRContents
1 Introduction 1
2 An overview of hyperbolic systems and frequently used sym-
bols 11
3 Examples of semilinear hyperbolic systems 17
3.1 Turing model with correlated random walk . . . . . . . . . . . 18
3.2 Traveling wave model for semiconductor laser dynamics . . . . 20
3.3 Neutral and retarded functional differential equations / linear
hyperbolic systems with dynamic boundary conditions . . . . 26
3.4 Boltzmann systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Nondegenerate linear hyperbolic systems 29
4.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Estimates for spectra and resolvents . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Exponential dichotomy / spectral gap mapping 50
5.1 General abstract theory: Growth rate, spectral gap, charac-
terization of exponential dichotomy in terms of the resolvent
(results of Kaashoek, Lunel and Latushkin) . . . . . . . . . . . 54
5.2 Proof of the spectral gap mapping / exponential dichotomy
theorem for hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Systems containing identical speed and degeneracies 75
6.1 Nondegenerate linear hyperbolic systems with full coupling
containing identical speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Degenerate linear hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Semilinear hyperbolic systems: Fréchet differentiability of
the solution map and stability by linearization 92
ix8 Smooth