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Master equations in transport statistics: Success and failure of Non-Markovian and higher order corrections [Elektronische Ressource] / Philipp Zedler. Betreuer: Tobias Brandes

De
138 pages
Master equations in transport statisticsSuccess and failure of Non-Markovian and higher order correctionsvorgelegt vonDiplom-PhysikerPhilipp Zedleraus DarmstadtVon der Fakulta¨t II - Mathematik und Naturwissenschaftender Technischen Universita¨t Berlinzur Erlangung des akademischen GradesDoktor der NaturwissenschaftenDr. rer. nat.genehmigte DissertationPromotionsausschuss:Vorsitzende: Prof. Dr. rer. nat. Birgit Kanngießer1. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Tobias Brandes2. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Andreas WackerTag der wissenschaftlichen Aussprache: 4. Juli 2011Berlin 2011D 83ContentsZusammenfassung 5Abstract 7Acknowledgments 91. Introduction 112. The single resonant level model and exact solutions 132.1. Introduction to the single resonant level model . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.1. The Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. Approach One: The retarded and advanced Green’s functions . 142.1.3. Tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Approach Two: Time-dependent Fermion operators . . . . . . . . . . . 192.2.1. Solution with constant tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2. Occupation of the quantum dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3. The current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Approach Three: An exact master equation . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1. The equations of motion . . .
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Master equations in transport statistics
Success and failure of Non-Markovian and higher order corrections
vorgelegt von
Diplom-Physiker
Philipp Zedler
aus Darmstadt
Von der Fakulta¨t II - Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universita¨t Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzende: Prof. Dr. rer. nat. Birgit Kanngießer
1. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Tobias Brandes
2. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Andreas Wacker
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 4. Juli 2011
Berlin 2011
D 83Contents
Zusammenfassung 5
Abstract 7
Acknowledgments 9
1. Introduction 11
2. The single resonant level model and exact solutions 13
2.1. Introduction to the single resonant level model . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. The Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Approach One: The retarded and advanced Green’s functions . 14
2.1.3. Tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Approach Two: Time-dependent Fermion operators . . . . . . . . . . . 19
2.2.1. Solution with constant tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Occupation of the quantum dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3. The current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Approach Three: An exact master equation . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. The equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2. Finite bias and constant tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. A Lorentzian tunneling rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Approach Four: Scattering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Application to the single resonant level . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2. A Lorentzian tunneling rate and a system with two levels . . . . . 37
2.5. Including interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. The Full Counting Statistics and first order master equations 43
3.1. The Full Counting Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Approach five: The Non-Markovian master equation in first order . . . 46
3.3. Transport statistics with Non-Markovian master equations . . . . . . . . . 52
3.3.1. Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2. Approach six: The Markovian master equation in 1st order . . . 53
3.3.3. Why Non-Markovian effects matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Transients in the dot occupation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1. Approach seven: Dynamical Coarse Graining . . . . . . . . . . 59
3.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3Contents
4. Master equations in second order 65
4.1. Approach eight and nine: The 2nd order von Neumann approach . . 65
4.2. The single resonant level model in the 2vN approach . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1. Infinite bias and constant tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2. Infinite bias and one Lorentzian tunneling rate . . . . . . . . . . . 74
4.2.3. Finite bias and constant tunneling rates . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Derivation with real time diagramatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5. Frequency-dependent noise and Keldysh Green’s functions 89
5.1. Approach ten: The Keldysh formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2. Frequency-dependent noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.1. Formulas for current and noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.2. The limit of infinite bias and constant tunneling rates . . . . . . . 97
5.2.3. Low bias limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.4. 1/f noise achieved with appropriate tunneling rates . . . . . . . . . 99
5.3. The third cumulant (skewness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6. Conclusions 109
A. Appendix 111
A.1. Two resonant levels in series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.2. The transmission coefficient for the single resonant level . . . . . . . . . . 113
A.3. The zero frequency noise formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.4. Integrals with rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.5. Integrals with an oscillating factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.6. Integrals with Fermi functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.6.1. Slowly decreasing integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.6.2. Using the Digamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Bibliography 129
4Zusammenfassung
Wie la¨sst sich koha¨rentes Tunneln von Elektronen gut mit Mastergleichungen beschrei-
ben? Diese Frage stellt sich, weil Mastergleichungen urspru¨nglich fu¨r sequentielles, also
klassisches Tunneln konzipiert wurden. Die große Sta¨rke von Mastergleichungen liegt
darin, dass sich mit ihnen sehr gut und einfach Mehrteilchen-Wechselwirkungen inner-
halb eines mesoskopischen Systems beschreiben lassen. Diese Sta¨rke beruht allerdings
darauf, dass die Kopplung zur Außenwelt nur na¨herungsweise beru¨cksichtigt wird, so
dass eine perfekte Beschreibung von koha¨renten Tunnelprozessen in das System hinein
oder aus dem System heraus im Allgemeinen ausgeschlossen ist. Allerdings wurden
Methoden entwickelt, mit denen sich systematisch Korrekturen zur gewo¨hnlichen Mas-
tergleichung berechnen lassen, etwa die Realzeit-Diagrammatik. Normalerweise sollten
koha¨rente Tunnelprozessedeutlich besserbeschrieben werden, wenn ho¨hereKorrekturen
beru¨cksichtigt werden.
In dieser Arbeit bescha¨ftigen wir uns mit einer bestimmten Methode, um solche Ko-
rrekturen selbstkonsistent auszurechnen. Sie wurde ku¨rzlich von Jonas Pedersen und
Andreas Wacker entwickelt. Um die Qualita¨t der Korrekturen beurteilen zu k¨onnen,
vergleichen wir alle Ergebnisse mit der exakten Lo¨sung eines einfachen Modells in nicht-
trivialen Realisierungen. Um Hinweise zu erhalten, ob auch Korrelationen zwischen
Elektronen gut beschrieben werden, untersuchen wir Gro¨ßen aus dem Gebiet der vollen
Za¨hlstatistik (Full Counting Statistics).
Eine weitere M¨oglichkeit, Mastergleichungen zu verbessern, besteht darin, Geda¨chnis-
effekte (auch: nicht markoffsche Effekte) zu beru¨cksichtigen. Diese werden bei der Her-
leitung der Mastergleichung erzeugt und ha¨ufig hinterher weggelassen. Wir verwenden
neue Formalismen, die die Berechnung nicht markoffscher Korrekturen vereinfachen und
testen die Ergebnisse anhand der exakten Lo¨sung.
Außer denN¨aherungenstellen wirauch mehrereexakte Lo¨sungenunseresTestmodells
vor (ein resonantes Niveau mit Zu- und Abfluss von Elektronen). Mit diesen berech-
nen wir verschiedene physikalische Gro¨ßen bis hin zu frequenzabha¨ngigen Kumulanten,
¨bei denen sich besonders gut der Ubergang von rein sequentiellem zu rein koha¨rentem
Tunneln veranschaulichen l¨asst. Außerdem geben wir ein Beispiel, wie sich Wechsel-
wirkungseffekte in die exakten Lo¨sungen einbauen lassen.
DieArbeitschließt miteinerBeurteilungderuntersuchtenLo¨sungenundN¨aherungen,
insbesonderemitderEmpfehlung,beikleinenSpannungenallebehandeltenKorrekturen
zu beru¨cksichtigen, aber bei ungew¨ohnlichen spektralen Eigenschaften generell mit Mas-
tergleichungen vorsichtig zu sein.
5Abstract
How can we gain a good description of coherent tunneling of electrons? This question
arises as originally the master equation was made to describesequential tunneling which
is classical. The strength of master equations lies in the fact that they give an easy
and good description of many particle effects within a mesoscopic system. However,
this stength emerges because the coupling to the outside world is only approximately
incorporated. Thus, a perfect description of tunneling processes into and out of the
system is in general excluded. But methods have been developed that give systematic
corrections to usual master equations, for example real time diagrammatics. Usually,
when higher order corrections are incorporated this should lead to a remarkably better
description of coherent tunneling processes.
In this thesis we are dealing with a certain method to evaluate such corrections in a
self-consistentwaywhichwasrecentlydevelopedbyJonasPedersenandAndreasWacker.
To be able to make statements about its accuracy we compare all results to the exact
solution of a simple model in non-trivial realizations. To get a hint if also correlations
willbedescribedwell, weinvestigate quantities formthefieldofFullCountingStatistics.
A further possibility to improve master equations consists of includingmemory effects
(also: Non-Markovian effects). Theyarecreated inthederivation ofthemaster equation
and often neglected afterwards. We will use a new formulation which simplifies the
evaluation ofNon-Markovian correctionsandwetesttheresultsusingtheexactsolution.
Apart from the approximations we also present several exact solutions of our test
model (a resonant level with a source and a drain of electrons). We use them to eval-
uate various physical quantities up to the frequency-dependent cumulants where it is
especially easy to visualize the transition form purely sequential to purely coherent tun-
neling. We furthermore give an example of how interaction effects can be built into our
exact solutions.
The work concludes with statements about the solutions and approximations. Partic-
ularly, wesuggest thatoneshouldincorporateall correctionsconsidered hereforsystems
withsmallbias,butthatifthespectralpropertiesareunusualoneshouldbecarefulwith
master equations.
7Acknowledgments
I would like to take the opportunity and say thank you to a few people who have con-
tributed their ideas to this work.
My supervisor Tobias Brandes has created a paradisian environment for research, so I
could develop and follow my own ideas and discuss them at large with him and many
collegues, visitors and collaborators.
Toma´ˇs Novotny´ had the idea that I should generalize the second order von-Neumann
approach to the Full Counting Statistics. He always had clear suggestions and opinions
and I enjoyed the collaboration with him greatly, as well.
Gernot Schaller, Gerold Kießlich and Clive Emary have collaborated with me on Non-
Markovian effects and Dynamical Coarse Graining and always had ideas when I was
stuck during my reseach.
Robert Hussein and Anja Metelmann have collaborated with me on Green’s functions
and phonons and have helped me in many intense discussions to better understand our
common problems.
Jin-Jun Liang, Marten Richter and Carsten Weber have shared their office with me for
years and helped me in various ways with many everyday problems that appeared in my
calculations.
With many other members of our institute I had inspiring discussions, especially with
ChristinaPo¨ltl, CarlosLo´pez-Mon´ıs,David Marcos, GerardoPaz, MartinKliesch, Malte
Vogl, Victor Bastidas, Mathias Hayn, Mario Schoth, Yin-Tsan Tang, Georg Engelhardt,
and Emely Wiegand.
I spent a week in Lund where people had a lot of time and interest to discuss my and
their work, especially Andreas Wacker who is my co-supervisor, Olov Karlstr¨om, and
Peter Samuelson.
IalsohadfruitfuldiscussionswithournumberlessvisitorsespeciallywithRafaelSanchez,
Ramon Aguado, ShmuelGurvitz, Christian Flindt, John. H. Reina, Federica Haupt and
with Daniel Urban.
I should not forget to mention Peter Kopietz, Peyman Pirooznia, Francesca Sauli, Mat-
hias Geueke, Friedrich Heß, Jan Lamprecht, Claudia Bl¨oser and Kirsten Vogeler who
are the most important collaborators and friends whom I have met during my studies
in Frankfurt am Main. Crucial for my decision to become a physicist were my two most
important physics teachers Mrs. Frank and Mr. Spengler as well as discussions with my
parents.
It is very strange, but the music by Clueso always helped me to proceed in my calcula-
tions.
Gaby, Emma and Isabel have supported me a lot, especially during the last few weeks.
9

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