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MechanicalModelingof
MicrostructuresinElasto-PlasticallyDeformed
CrystallineSolids
Dissertation
zur
Erlangung des Grades
Doktor-Ingenieur
der
Fakultat¨ fur¨ Maschinenbau
der Ruhr-Universitat¨ Bochum
von
Dennis Michael Kochmann
aus Bottrop
Bochum 2009Dissertation eingereicht am: 29. April 2009
Tag der mundlichen¨ Prufung:¨ 29. Juni 2009
Erster Referent: Prof. Dr. rer. nat Klaus Hackl
Zweiter Prof. Dr. rer. nat. Khanh Chau Le
Vorsitzender: Prof. Dr. rer. nat. Alexander HartmaierDie Neigung der Menschen, kleine Dinge fur¨ wichtig zu halten,
hat sehr viel Großes hervorgebracht.
Georg Christoph LichtenbergHerausgeber:
Institut fur¨ Mechanik
— Schriftenreihe —
Ruhr-Universitat¨ Bochum
D-44780 Bochum
c ¨ ¨ 2009 Dennis M. Kochmann, Institut fur Mechanik, Ruhr-Universitat Bochum
Printed in Germanyv
Summary
This thesis reports research progress on several fields of modeling microstructures in crystal-
line solids under elasto-plastic deformations. Based on thermodynamic minimum principles,
the origin and subsequent evolution of microstructures is analyzed and computational tech-
niques for their determination are presented. The present work decomposes into two major
parts which emphasize different modeling aspects in this context.
In the first part, microstructures as minimizers of non-convex energy potentials in fini-
te plasticity are investigated, following the thermodynamic principles of minimum potential
energy and of minimum dissipation potential. The relaxation of these potentials by applicati-
on of a rank-one-convex approximation of the quasiconvex hull allows for the description of
the evolving microstructural parameters involved. A novel incremental solution formulation
is derived for the simulation of laminate microstructures and applied to problems of single-
and double-slip single-crystal plasticity. In contrast to many literature approaches which we-
re based on a condensed energy, the present incremental method accounts for the existing
microstructure at the beginning of each time step. Numerical results from the present va-
riational formulation comprise the evolution of all microstructural laminate characteristics
upon deformation, and they indicate a considerable reduction of the energy during the course
of loading as compared to previous models.
The second part deals with the description of dislocation structures by means of a con-
tinuum dislocation theory. The free energy is modified to account for the energy of lattice
defects, so that dislocation characteristics may enter the constitutive equations as an inte-
gral part. The particular choice of this defect energy entails a saturation behavior: the local
maximum dislocation concentration is bounded. Based on this approach, closed-form ana-
lytical solutions for the pile-up of dislocations at the boundaries of bicrystals subject to a
mixed deformation of shear and extension are presented. Interestingly, results indicate a
size-dependence of the yield stress and of the hardening behavior. A variational formulati-
on allows for the numerical treatment of fundamental two-dimensional problems with one
active slip system. Numerical results comprise the formation of dislocation sub-structures
within single-crystal grains as well as an underlying size effect through all results, which is
typical to problems of crystal plasticity. Finally, the continuum dislocation approach is ap-
plied to deformation twinning. The twinning mechanism is decomposed into a plastic shear
and a rigid plastic rotation. The present continuum dislocation approach successfully repres-
ents the influence of dislocations in the twin model: the pile-up of dislocations within the
parent and twin phases gives rise to the appearance of some of the specific characteristics of
TWIP alloys in the present model.vi
Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit thematisiert verschiedene Aspekte der Modellierung von Mikrostruk-
turen in elasto-plastisch deformierten, kristallinen Werkstoffen. Auf der Grundlage thermo-
dynamischer Minimumprinzipien werden die Ursachen von Mikrostrukturen analysiert so-
¨ ¨wie numerische Methoden zu deren Bestimmung prasentiert. Diese Arbeit lasst sich inhalt-
lich in zwei Hauptteile gliedern, die unterschiedliche Modellierungsgesichtspunkte in die-
sem Kontext hervorheben. Im ersten Teil der Arbeit werden Mikrostrukturen als Minimierer
nicht-konvexer Energiepotentiale vorgestellt. Eine neuartige inkrementelle Losungsstrate-¨
gie zur Simulation solcher Mikrostrukturen wird prasentiert¨ und angewandt. Im zweiten Teil
der Arbeit folgt eine Zusammenfassung der Moglichk¨ eiten, Versetzungsmikrostrukturen mit
Hilfe einer Kontinuumsversetzungstheorie zu beschreiben und vorherzusagen.
Der tatsachliche¨ Verformungszustand eines belasteten Korpers¨ resultiert aus den thermo-
dynamischen Prinzipien des minimalen Energiepotentials sowie des minimalen Dissipati-
onsfunktionals, die im Falle nicht-konvexer Energiedichten zur Ausbildung von feinskaligen
Strukturen fuhren.¨ Die Relaxierung der freien Energie durch eine Approximation der rank-
1-konvexen Hulle¨ ermoglicht¨ die Losung¨ eines korrekt gestellten Minimierungsproblems.
Im ersten Teil der Arbeit wird eine analytische Relaxierung der Energie eines inkompres-
siblen Neo-Hooke-Materials mit einem oder zwei aktiven Gleitsystemen prasentiert.¨ Die
relaxierte Energie wird zusammen mit einer inkrementellen Formulierung verwendet, um
die Evolution aller mikrostrukturellen Charakteristika eines Laminates erster Ordnung (d.h.
die plastische Gleitung in allen Laminatphasen, die zugehorigen¨ Volumenanteile und die
Verfestigungsparameter) zu modellieren. Im Gegensatz zu vielen fruheren¨ Ansatzen,¨ die
auf der Minimierung eines kondensierten Energiefunktionals beruhen, ermoglicht¨ die hier
vorgestellte Methode die Berucksichtigung¨ der bereits vorhandenen Mikrostruktur am An-
fang jedes inkrementellen Zeitschritts. Daruber¨ hinaus wird ein Verfahren zur Abbildung der
tatsachlichen¨ Veranderungen¨ der Mikrostruktur wahrend¨ eines Zeitschritts im inkrementel-
len Modell vorgestellt. Die Ergebnisse zeigen deutliche Vorteile gegenuber¨ der Benutzung
des kondensierten Energiefunktionals fur¨ einen einzigen Zeitschritt.
Der zweite Teil der Arbeit stellt die Beschreibung von Versetzungsstrukturen mit Hil-
fe der Kontinuumsversetzungstheorie in den Mittelpunkt. Die freie Energie wird um einen
zusatzlichen¨ Term erweitert, der die Defektenergie der Versetzungen berucksichtigt.¨ Die hier
getroffene Wahl der speziellen Form dieser Defektenergie birgt einen Sattigungsef¨ fekt: Die
Versetzungsdichte kann lokal nicht beliebig ansteigen, sondern ist durch einen Materialpara-
meter begrenzt. Auf der Grundlage dieses Ansatzes werden zunachst¨ analytische Losungen¨
¨fur den Aufstau von Versetzungen an den Korngrenzen eines Bikristalls, der einer kombi-
nierten Scher- und Zugbelastung ausgesetzt ist, hergeleitet. Eine variationelle Formulierung
erlaubt die Erweiterung des Modells zur numerischen Losung¨ beliebiger zweidimensionaler
Randwertprobleme mit einem aktiven Gleitsystem. Die Ergebnisse dieses Verfahrens umfas-
sen die Ausbildung von Versetzungssubstrukturen im Innern der einkristallinen Korner¨ eines
Polykristalls sowie einen durch alle Ergebnisse sichtbaren Skaleneffekt, der typisch fur¨ Pro-
bleme in der Kristallplastizitat¨ ist. Schließlich wird der Kontinuumsversetzungsansatz auf
die Modellierung von Deformationszwillingen angewendet. Hierbei spielt der Aufstau von
Versetzungen an den Zwillingsgrenzen im verzwillingten Material eine entscheidende Rol-
¨le, welcher im Modell berucksichtigt werden kann. Dies resultiert in der qualitativ korrekten
Reprasentation¨ vieler Charakteristika von TWIP-Legierungen im Modell.vii
Acknowledgements
Looking back on my time at the Institute of Mechanics at Ruhr-University Bochum, I would
like to express my sincere gratitude to all of those who have supported me and have thereby
contributed – in one or the other way – to the accomplishments reported in this thesis. This
work certainly would not have been possible without the help from very many persons, the
most important of whom I would like to mention here.
First of all, I would like to express my utmost gratitude to my advisors who have made
this dissertation possible. Let me thank Prof. Khanh Chau Le for actually bringing me back
to Bochum for my doctoral research on micro-mechanical dislocation models. Since then,
he has always been a great teacher and an excellent advisor, whose ideas and approaches
have laid the basis for parts of this thesis. His kind and open-minded but always focussed
way has been a valuable incentive for successful research over the last few years.
Equally important, let me thank Prof. Klaus Hackl for a variety of reasons. He introduced
me to the fields of microstructures and relaxation theory. Not only has he been an always
patient and imaginative research advisor but also the best possible supervisor. His liberal
style of leadership provided me with the freedom in research that has helped me pursue
many reserach ideas and projects beyond the scope of this thesis. In this context I would
also like to thank Prof. Walter J. Drugan who has not advised any of my thesis research but
our ongoing joined research has often been a very welcome change whenever I was stuck in
the tempting numerics of microstructure simulations.
Research of the present work was carried out within the framework of two research com-
munities which I am particularly thankful for: Ruhr-University Research School funded by
Germany’s Excellence Initiative (DFG GSC 98/1), and Forschergruppe Microplast (DFG
FOR 797). Not only the financial support is gratefully acknowledged but also the fruitful
interactions made possible in an interdisciplinary environment.
Finally, I would like to thank all those who have gone a long way towards the completion
of this thesis. I am especially thankful for my family and my friends for always supporting
me and for bearing with me even when I worked late or weekends to eventually submit this
thesis. Furthermore, I would like to thank all of my colleagues at the Institute of Mechanics
and in particular at the Lehrstuhl fur¨ Allgemeine Mechanik. There are so many former and
current colleagues whose ideas and comments have been a crucial help for my research
and – maybe even more importantly – whose friendship has been an enduring inspiration:
our pleasent atmosphere and research conditions have predominantly been their merit. Let
me express my gratitude also to a number of student assistants I could advise during the
last few years and who have been an enourmous support in doing some of the cumbersome
computational tasks of this research.ix
TableofContents
Nomenclature xiii
1 Introduction 1
1.1 Structures and Patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Experimental Evidence of Microstructures in Solids . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Modeling Plasticity and Microstructures: Motivation and State of the Art . . 5
1.3.1 Description of Based on Energy Relaxation in Fi-
nite Elasto-Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Continuum Dislocation Description of Dislocation Pile-Ups and Dis-
location Substructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 An Energy-Based Continuum Dislocation Approach to Deformation
Twinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Scope of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 MathematicalandMechanicalFundamentals 11
2.1 Vector and Tensor Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Basic Vector and Tensor Transformations . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Vector and Tensor Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Notions of Convexity and Minimum Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Fundamentals of Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Elastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Plastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Stresses and Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Constitutive Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.5 Variational Formulation for Linear Elasticity . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Continuum Theories of Plasticity and Dislocations . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1 Bridging the Scales in Elasto-Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.2 The Crystal Lattice, Elastic and Plastic Deformation . . . . . . . . 41
2.4.3 Lattice Defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.4 Properties of Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.5 Dislocation Interactions and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.6 Continuum Theory of Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.7 of Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Thermodynamic Principles and the Origin of Microstructure . . . . . . . . 60
2.5.1 Thermo-Mechanical Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2 Energy Minimizers, Minimizing Sequences and Microstructure . . 66
2.5.3 Material Microstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Time-ContinuousEvolutionofInelasticMicrostructuresinFinitePlasticity 73
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Application of Relaxation Theory to Inelastic Microstructures . . . . . . . 75x TableofContents
3.2.1 Minimum Principles and Young Measures . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.2 Approximation via Lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Incompressible Neo-Hooke Material in Single-Slip Plasticity . . . . . . . . 79
3.3.1 Constitutive Framework for a Single Active Slip System . . . . . . 79
3.3.2 Time-Continuous Evolution for a Single Active Slip System . . . . 83
3.3.3 Numerical Scheme for a Single Active Slip System . . . . . . . . . 86
3.4 Generalization to Multiple Active Slip Systems . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.1 Constitutive Framework for Multiple Active Slip Systems . . . . . 86
3.4.2 Numerical Scheme for Double-Slip . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.1 Relaxed and Condensed Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.2 Single-Slip Plastictiy for a First-Order Laminate . . . . . . . . . . 93
3.5.3 Double-Slip Plasticity for a . . . . . . . . . . 104
3.6 Discussion and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 ModelingMicrostructuresviaContinuumDislocationTheory 107
4.1 Introduction to Continuum Dislocation Theory . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.2 Continuum Dislocation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.3 Energy of Dislocations and Constitutive Framework . . . . . . . . 109
4.2 Plastic Deformation of Bicrystals: Boundary Value Problem . . . . . . . . 113
4.3 Energetic Threshold for Dislocation Nucleation . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4 Plane-Constrained Shear of Single-Slip Bicrystals . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.1 Shear at Zero Dissipation . . . . . . . . . . . . 120
4.4.2 Plane-Constrained Shear at Non-Zero Dissipation . . . . . . . . . . 122
4.4.3 Numerical Solution for Plane-Constrained Shear with Non-Symmetric
Active Slip Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5 Plane-Strain Uniaxial Extension of Single-Slip Bicrystals . . . . . . . . . . 132
4.5.1 Plane-Strain Uniaxial Extension at Zero Dissipation . . . . . . . . 132
4.5.2 at Non-Zero Dissipation . . . . . . 134
4.5.3 Numerical Solution for Uniaxial Extension for Non-Symmetric Ac-
tive Slip Systems and for Arbitrary Crystal Heights . . . . . . . . . 137
4.6 Combined Shear and Extension of Single-Slip Bicrystals . . . . . . . . . . 139
4.6.1 Combined Shear and Extension at Non-Zero Dissipation . . . . . . 139
4.6.2 Shear and at Zero Dissipation . . . . . . . . . 142
4.7 Size Effects of the Bicrystal Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.8 Variational Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.8.1 Finite Element Formulation at Zero Dissipation . . . . . . . . . . . 146
4.8.2 Finite F at Non-Zero Dissipation . . . . . . . . 157
4.9 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.10 Discussion and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5 AContinuumModelfortheInitiationandEvolutionofDeformationTwins 175
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2 Plane-Constrained Shear of Twins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3 Energy Minimizers and the Initiation of Slip and Twinning . . . . . . . . . 181
5.3.1 Deformation of the Crystal at Zero Dissipation . . . . . . . . . . . 181
5.3.2 Onset of Twinning and Number of Twins . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.3 Stress-Strain Behavior at Zero Dissipation . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4 Plastic Deformation at Non-Zero Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . 188

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