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Méthodes numériques pour des problèmes dynamiques de contact et de fissuration, Numerical methods for dynamic contact and fracture problems

De
156 pages
Sous la direction de Alexandre Ern
Thèse soutenue le 02 décembre 2010: Paris Est
On s'intéresse à la résolution numérique de problèmes de contact et de fissuration en dynamique. Le problème de contact envisagé est le problème de Signorini avec ou sans frottement de Coulomb. Quant au problème de fissuration, il s'agit d'un modèle de zone cohésive avec trajet de fissuration pré-défini. Ces problèmes se caractérisent par la présence d'une condition aux limites non-régulière et se formulent comme des inéquations variationnelles d'évolution ou des inclusions différentielles. Pour les résoudre numériquement, nous combinons, comme il est courant en dynamique des solides, une discrétisation en espace par éléments finis et des schémas d'intégration en temps (de types différences finies). Pour le problème de contact, nous commençons par comparer les principales méthodes proposées dans la littérature. Nous étudions ensuite plus particulièrement la méthode dite de masse modifiée récemment introduite par H. Khenous, P. Laborde et Y. Renard. Nous en proposons une variante semi-explicite. Par ailleurs, nous prouvons un résultat de convergence des solutions semi-discrètes en espace vers une solution continue dans le cas d'un problème de Signorini sans frottement et d'un matériau viscoélastique. Nous analysons également les methodes semi-discrètes en espace et totalement discrètes dans le cas d'un problème de Signorini avec frottement de Coulomb. Pour le problème de fissuration dynamique, la non-régularité de la condition aux limites rend impossible ou peu robuste l'utilisation de schémas totalement explicites. Nous proposons donc des schémas où cette condition aux limites est traitée de façon implicite. Enfin, nous présentons et analysons des méthodes de lagrangien augmenté pour la résolution numérique du problème de fissuration en statique
-Dynamique des solides
-Contact unilatéral
-Frottement de Coulomb
-Modèles de zone cohésive
-Éléments finis
-Schémas d\'intégration en temps
The present work deals with the numerical solution of dynamic contact and fracture problems. The contact problem is a Signorini problem with or without Coulomb friction. The fracture problem uses a cohesive zone model with a prescribed crack path. These problems are characterized by a non-regular boundary condition and can be formulated with evolutionary variational inequations or differential inclusions. For the numerical solution, we combine, as usual in solid dynamics, a finite element discretization in space and time-integration schemes. For the contact problem, we begin by comparing the main methods proposed in the literature. We then focus on the so-called modified mass method recently introduced by H. Khenous, P. Laborde et Y. Renard, for which we propose a semi-explicit variant. In addition, we prove a convergence result of the space semi-discrete solutions to a continuous solution in the frictionless viscoelastic case. We also analyze the space semi-discrete and fully discrete problems in the friction Coulomb case. For the dynamic fracture problem, using a fully explicit scheme is impossible or not robust enough. Therefore, we propose time-integration schemes where the boundary condition is treated in an implicit way. Finally, we present and analyze augmented Lagrangian methods for static fracture problems
-Solid dynamics
-Unilateral contact
-Coulomb friction
-Cohesive zone models
-Finite elements
-Time-integration schemes
Source: http://www.theses.fr/2010PEST1019/document
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137
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.
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6.2
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
6.8
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
.
4.2
.
Con
.
tin
.
uous
.
problem
.
.
.
.
.
.
tegration
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
95
.
tation
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
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.
.
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Numerical
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
.
ted
.
of
.
problems
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
.
4.3
.
Space
.
semi-discrete
.
form
.
ulation
113
.
duction
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
6.2
.
of
.
uous
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
three-eld
.
form
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.4
.
y
.
ts
.
.
.
.
.
.
.
.
67
.
4.4
.
F
.
ully
.
discrete
.
form
Algorithms
ulation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
134
.
of
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
of
.
tion
.
.
.
.
75
.
4.5
.
Con
.
v
.
ergence
.
of
.
the
.
fully
.
discrete
.
solutions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
.
Time-in
.
sc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
.
9
.
4.6
.
Conclusions
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
5.6
.
implemen
.
.
.
.
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.
5.7
.
sim
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
82
.
P
.
art
.
I
.
I
.
Cohesiv
.
e
.
zone
102
mo
A
dels
augmen
5
Lagrangian
Quasi-explicit
ulation
time-in
unilateral
tegration
tact
sc
with
hemes
v
for
forces
dynamic
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fracture
.
with
.
set-v
.
alued
.
cohesiv
.
e
.
zone
.
mo
.
dels
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1
.
tro
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
85
.
5.1
.
In
13
tro
W
duction
osedness
.
the
.
tin
.
problem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
116
.
A
.
augmen
.
Lagrangian
.
ulation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
.
Appro
.
b
.
mixed
.
elemen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
85
.
5.2
.
Cohesiv
6.5
e
.
zone
.
mo
.
del
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
.
6.6
.
results
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
.
5.3
.
Con
.
tin
.
uous
6.7
problem
of
.
Lemma
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
.
Pro
.
of
.
osi
.
6.10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
90
.
5.4
.
Finite
.
elemen
.
t
discretization
3.4
tel-00596029, version 1 - 26 May 2011.
.
.
Conclusion
.
et
.
p
.
er
.
sp
139
ectiv
.
es
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
7
tel-00596029, version 1 - 26 May 2011tel-00596029, version 1 - 26 May 2011d'inertie
16
.
In
sûreté
tro
.
duction
.
1.1
.
Applications
la
industrielles
conjoin
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tan
.
mener
.
décrit
.
du
.
p
.
.
.
frottemen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
nom
.
on
.
n
.
ouv
.
prédénie.
.

.
m
.
ssuration
.
Elasto
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
cohésiv
.
.
.
.
.
16
.
.
.
.
.
.
.
de
.
.
.
1.5.2
.
.
.
.
2
.
1.1.1
parc
Cuv
notammen
es
s
des
ulation
réacteurs
herc
n
que
ucléaires
premier
.
a
.
l
.
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.
le
.
o
.
in
.
C'est
.
mo
.
tés
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Con
.
b
.
.
.
.
.
.
.
dèles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tra
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
unilatéral
.
.
.
.
.
.
.
.
.
zon
2
.
1.1.2
.
Barres
.
de
.
commande
.
dans
.
un
xp
réacteu
électrique,
r
é
n
gara
ucléaire
durée
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s.
.
recours
.
qui
.
te
.
domaine
.
ce
.
On
.
de
.
tions
.
trer
.
obstacle
.
uration
.
d'u
.
son
.
c'est-à-dire
.
pas
.
con
.
aux
.
sur
.
phénomène
.
condition
.
l'in
.
mathématique
.
deux
.
n
.
son
3
aux
1.2
biner
Mo
lois
dèles
dynamique
m
.
éc
.
a
.
niq
.
ue
.
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
.
unilatéral
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.4.3
.
zon
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Résumé
.
aux
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Con
.
frottemen
.
b
.
.
.
.
.
.
4
.
1.2.1
.
Elasto
.
dynamique
.
et
dèles
visco
cohésiv
élasto
.
dynamique
.
liné
.
a
.
i
.
r
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
.
qu'
.
t
.
pro
.
réalise
.
e
.
des
.
p
.
tir
.
maîtriser
.
vie
.
s
.
étu
.
naturellemen
.
la
.
umérique,
.
EDF
.
imp
.
de
.
dans
4
la
1.2.2
C'est
Con
texte
tact
cette
unilatéral
téresse
.
n
.
problèmes.
.
les
.
solide
.
t
.
con
.
ec
.
Le
.

.
s
.
le
.
in
.
deux
.
en
.
cadre
.
les
.
son
.
Mathématiquemen
.
nomène
.
est
.
une
.

.
-régulière
.
fron
.
e.
.
e
.
duit
.
limites
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genre
.
de
.
pro
.
justie
.
de
.
Puisque
.
de
.
et
.
nous
.
repré-
.
des
.
imites,
.
les
.
v
.
éren
.
comp
.
t
.
linéaire
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
1.2.3
.
Mo
.
dèles
.
de
.
zon
.
e
.
cohésiv
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.4.2
.
tact
.
et
.
t
.
Coulom
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
.
Mo
.
de
.
e
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
.
1.3
.
Cadre
.
mathématique
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.5
.
des
.
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.5.1
.
tact
.
et
.
t
.
Coulom
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
.
1.3.1
.
Con
.
tact
.
unilatéral
17
.
Mo
.
de
.
e
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
En
.
t
.
e
.
loitan
.
d'un
.
de
.
duction
.
EDF
.
de
.
breus
.
s
.
tu
.
mécaniques,
.
t
.
our
.
n
.
la
.
et
.
la
.
de
.
de
.
e
.
installation
.
Ces
.
des
10
t
1.3.2
t
Autres
à
mo
sim
dèles
n
.
ce
.
conduit
.
à
.
une
.
ortan
.
activité
.
rec
.
he
.
le
.
de
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mécanique
.
umérique.
.
dans
.
con
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industriel
.
s'inscrit
.
thèse.
.
s'in
.
à
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résolution
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umérique
.
deux
.
Le
.
décrit
.
déforma-
.
d'un
.
p
.
an
.
en
.
en
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tact
.
v
.
un
.
rigide.
.
second
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la
.
ss
.
d'un
.
o
.
ide
.
long
.
ne
.
terface
.
Ces
.
problèmes
.
t
.
visagés
.
le
.
dynamique,
.
que
.
eets
.
ne
.
t
.
négligés.
12
t,
1.4
phé-
Résolution
de
n
tact
umérique
représen
.
par
.
condition
.
limites
.
n
.
n
.

.
la
.
tière
.
solid
.
Le
.
d
.
ssuration
.
tro
.
une
.
aux
.
du
.
ême
.
sur
.
terface
.
ssuration.
.
cette
.
ximité
.
qui
.
l'étude
.
te
.
ces
.
problèmes.
.
les
.
dèles
.
co
.
tact
.
de
.
que
.
étudions
.
t
.
sen
.
par
.
conditions
.
l
.
on
.
eut
.
com
.
a
.
ec
.

.
tes
.
de
.
ortemen
12
1.4.1
1
tel-00596029, version 1 - 26 May 2011la
augmen
l'insertion
1
cisons
In
de
tro
la
duction
des
du
adaptés
solide.
mettons
P
rencon
ar
EDF
souci
a
de
cette
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mécanique
théorique,
ne
mais
(d'év
aussi
éri
parce
d'une
q
P
u
n
e
phénomènes
ces
prolonger
lois
la
son
analysons
t
du
souv
exemples
en
(Section
t
n
utilisées
limites
en
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pratique,
sa
nous
Dans
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rapp
des
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solides
en
élastiques
diéren
l
in
inéaires
tons
ou
concerne
visco
des
élastiques
n
linéaires.
t.
L'appro
n
c
rep
he
tra
la
cadre
plus
présen
couran
e
te
la
p
en
our
a
résoudre
industriels
un
et
problème
ensuite
de
dèles
dynamique
(Section
des
quoi
s
par
o

l
duit
ides
ces
consiste
es
à
inclu
com
1.4,
biner
Après
une
des
discrétisation
usuelles
spatiale
éa
par
dif-
élémen
de
ts
ssuration.
nis
aux
et
s
u
1.5).
n
o
sc
prob
héma
ingénieurs
d'in
cuv
tégration
in
en
dynamique.
temps
commande
(d
in
e
tact
t
des
yp
en
es
pressurisée
diérences
Cette
nies).
meilleure
L'application
complète
directe
aux
de
hors
cette
y
appro
Nous
c
e
he
métho
au
de
problème
p
de
n
con
de
tact
Nous
donne
tro
de
ec
mauv
p
ais
pliquan
résultats
de
:
con
oscillations
Nous
parasites,
form
mauv
des
ais
d
comp
cette
ortemen
Nous
t
t
énergétique.
conditions
Diéren
tro
tes
mo
mé-
t
tho
.
des
in
n
outils
umériques
l'étude
p
dèles,
our
oir
le
v
con
et
tact
(diéren
en
a
dynamique
ab
on
n
t
v
donc
les
été
u
prop
u
osées
our
dans
solides
l
res,
a
évidence
littérature
que
depuis
la
une
tact
vingtaine
terface
d'années.
résumé
Après
tra
a
au
v
th
oir
clôt
comparé
duction
les
Applications
princip
commencer,
a
s
l
exemples
e
es
s
par
métho
Le
des
tégrité
(Chapitre
des
2),
et
nous
rv
étudions
de
plus
second
particuli
barres
ère
un
men
et
t
enir
la
de
métho
de
d
Cuv
e
n
dite
actuel
de
58
masse
à
mo
et
diée
durée
récemmen
h
t
sur
i
d
n
durée
tro
les
duite
v
par
sur
H.
ssuration,
Khenous,
du
P
d
.
n
Lab
mique.
orde
y
et
tons
Y.
t
Renard
des
[74,
d
75].
s
Nous
Lagrangien
en

prop
our
osons
résolution
une
umérique
v
problème
arian
ssuration
te
statique.
semi-explicite
commençons
(Section
in
2.7).
duction
Nous
v
prouv
quelques
ons
de
un
roblèmes
résultat
im-
de
t
con
phénomènes
v
ssuration
ergence
de
des
tact
solutions
1.1).
semi-discrétis
donnons
é
une
es
ulation
en
détaillée
es-
mo
pace
étudiés
v
a
ers
s
une
thèse
solution
1.2).
con
pré-
tin
notammen
ue
en
dans
les
le
aux
cas
in
d'un
duites
problème
ces
de
dèles
Signorini
son
sans
pas
frottemen
régulières
t
La
et
1.3
d'u
tro
n
quelques
matériau
mathématiques
visco
à
élastique
de
(Chapitre
mo
3).
à
Nous
v
analysons
l
égalemen
inéquations
t
ariationnelles
les
olution)
problèmes
les
semi-discrétisés
sions
en
tielles).
espace
l
et
Section
totalemen
nous
t
ordons
discrétisés
résolution
dans
umérique.
le
a
cas
oir
d'un
elé
problème
métho
de
n
Signorini
m
a
q
v
es
ec
p
frottemen
la
t
des
de
lin
Coulom
i
b
nous
(Ch
en
apitre
les
4).
cultés
P
soulèv
our
t
le
présence
problème
con
de
ou
ssuration
in
dynamique,
de
q
Un
u
des
i
ts
est
v
un
eectués
phénomène
cours
rapide,
cette
il
è
sem
e
ble
cette
préférable
tro
d'utiliser
(Section
des
1.1
sc
industrielles
hémas
our
en
n
temps
u
explicites,
présen
moins
deux
coûteu
de
x
lèm
.
industriels
Malheureusemen
trés
t,
les
la
d'EDF.

premier
non-régularité
l'in

des
d
es
e
réacteurs
la
ucléaires
condition
fait
aux
te
limites
enir
rend
phénomènes
imp
ssuration
ossible
Le
ou
concerne
p
des
eu
de
robuste
dans
l'utilisation
réacteur
de
ucléaire
sc
fait
hémas
terv
totalemen
des
t
dynamiques
expli
con
c
et
i
frottemen
tes.
1.1.1
Nous
es
prop
réacteurs
osons
ucléaires
donc
exploite
des
lem
sc
t
hémas
réacteurs

ucléaires
cette
eau
condition
(REP)
aux
souhaite
limites
leur
est
d'exploitation.
traitée
démarc
de
e
façon
ose
implicite
une
(Chapitre
analyse
5).
e
Le
6
Chapitre
2
tel-00596029, version 1 - 26 May 2011