Modular spin characters of symmetric groups [Elektronische Ressource] / Lukas Alexander Maas. Gutachter: Wolfgang Lempken ; Jürgen Müller ; Klaus Lux

Description

Modular Spin Characters of Symmetric GroupsDissertation zur Erlangung des akademischen Gradeseines Doktors der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat.)vonLukas Alexander Maasgeboren in Moersvorgelegt derFakultät für MathematikUniversität Duisburg–EssenEssen, 2011Gutachter: Prof. Dr. Wolfgang LempkenPD Dr. Jürgen MüllerProf. Dr. Klaus LuxDatum der mündlichen Prüfung: 19.12.2011für JuliaContentsIntroduction 61 The setting 112 Computing with characters 233 Computing with modules 33˜4 Graded representation theory ofS 45n4.1 Notions of superalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Spin representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Labels for characters I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56˜5 More onS 58n˜5.1 Conjugacy inS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58n5.2 Young subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Labels for characters II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 Class Fusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5 Some known results on decomposition numbers . . . . . . . . . . . . . . . 776 Basic spin representations 80˜ ˜7 The 3-modular spin characters ofS andA 8414 147.1 The blockB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8587.2 The blockb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: universitat_duisburg-essen
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 46
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Modular Spin Characters of Symmetric Groups

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr.rer. nat.)

von

Lukas Alexander Maas
geboren in Moers

vorgelegt der

Fakultät für Mathematik
Universität Duisburg–Essen

Essen, 2011

Gutachter: Prof.Dr. Wolfgang Lempken
PD Dr. Jürgen Müller
Prof. Dr. Klaus Lux
Datum der mündlichen Prüfung:19.12.2011

für Julia

Contents

Introduction

1

2

3

4

5

6

7

8

9

The setting

Computing with characters

Computing with modules

˜
Graded representation theory ofSn
4.1 Notionsof superalgebra .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Spinrepresentations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Labelsfor characters I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜
More onSn
˜
5.1 ConjugacyinSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Youngsubgroups .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Labelsfor characters II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 ClassFusions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Someknown results on decomposition numbers. . . . . . . . . . . . . . .

Basic spin representations

˜ ˜
The3-modular spin characters ofS14andA14
7.1 TheblockB8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Theblockb6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Theblockb5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 TheblockB7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
The5-modular spin characters ofS14andA14
8.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 TheblockB22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Theblockb13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Theblockb12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 TheblockB21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
The7-modular spin characters ofS14andA14
9.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6

11

23

33

45
45
50
56

58
58
65
70
72
77

80

84
85
86
87
89

99
99
99
99
102
102

109
109

9.2
9.3

The blockB54
The blockb28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
10 The3-modular spin characters ofS15andA15
10.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . .
10.2 Theblockb5. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 TheblockB8. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
11 The5-modular spin characters ofS15andA15
11.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Theblockb16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 TheblockB27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
12 The7-modular spin characters ofS15andA15
12.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 TheblockB53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Theblockb28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

˜ ˜
13 The3-modular spin characters ofS16andA16
13.1 TheblockB10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Theblockb8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Theblockb7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 TheblockB9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
14 The5-modular spin characters ofS16andA16
14.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Theblockb19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 TheblockB30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 TheblockB31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Theblockb20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
15 The7-modular spin characters ofS16andA16
15.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Theblockb40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 TheblockB68. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
16 The3-modular spin characters ofS17andA17
16.1 Theblockb7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 TheblockB10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 TheblockB9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Theblockb6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 CondensationforB10andb7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 CondensationforB9andb6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

109
111

116
116
116
118

126
126
126
129

137
137
137
139

143
143
143
144
147

155
155
155
157
159
159

168
168
168
170

175
175
176
177
178
182
183

˜ ˜
17 The5-modular spin characters ofS17andA17
17.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Theblockb17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 TheblockB27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Theblockb19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 TheblockB29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.6 TheblockB28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Theblockb18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
18 The7-modular spin characters ofS17andA17
18.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 TheblockB70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Theblockb38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 Theblockb40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.5 TheblockB72. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
19 The3-modular spin characters ofS18andA18
19.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Theblockb6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 TheblockB9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 TheblockB8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5 Theblockb5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
20 The5-modular spin characters ofS18andA18
20.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Theblockb21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 TheblockB38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 TheblockB37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Theblockb20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ ˜
21 The7-modular spin characters ofS18andA18
21.1 Spinblocks of defect 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Theblockb48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 TheblockB90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 TheblockB92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5 Theblockb50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A

B

The Brauer trees

Character tables from the GAP Character Table Library

5

188
188
188
190
190
190
193
194

206
206
206
207
210
210

218
218
218
219
219
221

231
231
231
233
235
235

245
245
246
246
247
247

257

272

Introduction

The present work is concerned with concrete computations of modular spin characters
of symmetric and alternating groups.More precisely, we calculate allp-modular spin
characters of the symmetric groupSnand the alternating groupAnforn∈{14, . . . , 18}
andp∈{3, 5, 7}we obtain the. Hencep-modular decomposition numbers of projective
representations ofSnandAnfor the specified values ofnandp.

A projective representation of a finite groupXon a finite dimensionalC-vector spaceV
ρ ρρ ρ
may be seen as a mapρ:X→GL(V)such that 1=idVand(xy) =r(x,y)x yfor all
×
x,y∈Xand a corresponding factor setr