Multicurrency extension of a multiple stochastic volatility libor market model [Elektronische Ressource] / von Stanley Sijan Mathew

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• Publié par: goethe_universitat_frankfurt_am_main
• Publié le: 01 janvier 2009
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• Langue: Deutsch
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Extrait

Multicurrency Extension of a Multiple
Stochastic Volatility Libor Market Model
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften
vorgelegt beim
Fachbereich Mathematik und Informatik
der Goethe-Universit¨at
in Frankfurt am Main
von
Stanley Sijan Mathew
Dipl. Math., M.A. Statistics
aus Sofia
Frankfurt
May 5, 2009
1vomFachbereichMathematikundInformatikderGoethe-Universit¨atals
Dissertation angenommen.
Dekan : Prof. Dr.-Ing. Detlef Kr¨omker
1. Gutachter: Prof. Dr. Peter E. Kloeden (Betreuer)
2. Gutachter: Dr. John G.M. Schoenmakers (Betreuer)
Datum der Disputation: 4. Mai 2009
2Danksagung
Die vorliegende Dissertation enstand aus einer Kooperation der Goethe-
Universit¨at in Frankfurt und des Weierstraß-Instituts fu¨r Angewandte Anal-
ysis und Stochastik in Berlin. Daher m¨ochte ich an erster Stelle meinen
Betreuern Prof. Dr. Peter E. Kloeden und Dr. John G.M. Schoenmakers
meinen ausdru¨cklichen Dank fu¨r die intensive und erfolgreiche Zusammenar-
beit aussprechen. In unseren Diskussionen profitierte ich vor allem von ihrer
Fachkenntnis und ihrem umsichtigen Fu¨hrungsstil. Besonderer Dank gilt ih-
nen fu¨r das mir entgegengebrachte Vertrauen, meine Forschungst¨atigkeit im
Rahmen des Promotionsprojektes weitgehend eigenverantwortlich zu gestal-
ten.
Ebenso schulde ich der Vereinigung von Freunden und F¨orderern der Johann
Wolfgang Goethe-Universit¨at e.V. und der Willkomm Stiftung aufrichtigen
Dank fu¨r die Finanzierung wesentlicher Forschungsaufenthalte.
GroßeDankbarkeit empfinde ich auch fu¨r den Ru¨ckhalt und das Verst¨andnis
seitens meiner Familie, die mir mit Geduld und Zuspruch beistand.
34Zusammenfassung
DasliborMarktModell(LMM)istseitseinerEntwicklungindenVer¨offent-
lichungen von Brace, Gatarek, Musiela (1997), einerseits, und unabh¨angig
von diesen von Miltersen, Sandmann, Sondermann (1997), andererseits, zu
dem anerkanntesten Instrument zur Modellierung der Zinsstruktur und der
damit verbundenen Preisfindung fu¨r relevante Finanzderivate geworden. li-
bor steht dabei fu¨r London Inter-Bank Offered Rate, ein t¨aglich in London
fixierter Referenz-Zins fu¨r kurzfristige Anlagen. Drei- oder sechsmonatige
Laufzeiten sind in Verbindung mit dem LMM u¨blich.
Die Forschung zur Verbesserung dieses Modells hat in den letzten Jahren an
Zuwachs gewonnen. Beim Versuch den Fehler der Anpassung an die t¨aglich
beobachtetenPreisevonZinsoptionenwieCapsundSwaptionszuverringern,
erh¨alt man in der Folge auch genauere Bewertungen fu¨r andere, exotischere,
Derivate. Die zugrunde liegende und zentrale Idee des LMM besteht darin,
die Forward (Termin) Zinsen direkt als prim¨aren (Vektor) Prozess mehrerer
libor S¨atze zu betrachten und diese simultan zu modellieren, anstatt sie
nur herzuleiten auseinem u¨bergeordneten, unendlich dimensionalen Forward
Zinsprozess, wie im zeitlich fru¨her entwickelten Heath-Jarrow-Morton Mod-
ell. Das u¨berzeugendste Argument fu¨r diese Diskretisierung ist, dass die
libor S¨atze direkt im Markt beobachtbar sind und ihre Volatilita¨ten auf
eine natu¨rliche Weise in Beziehung gebracht werden k¨onnen zu bereits liq-
uide gehandelten Produkten, eben jenen Caps und Swaptions.
Dennoch beinhaltet das Modell eine gravierende Insuffizienz, indem es keine
Kru¨mmung der Volatilit¨atsoberfl¨ache, im Hinblick auf Optionen mit ver-
schiedenen Basiszinsen, abbildet. Wie im einfachen eindimensionalen Black-
Scholes Modell pr¨agen sich auch hier die Ungenauigkeiten der Verteilung in
fehlenden heavy tails deutlich aus. Smile und Skew Effekte sind erkennbar.
Imklassischen liborMarktModellwirdinRichtungderBasiszins-dimension
nur eineaffineStruktur erzeugt, welche bestenfalls alsApproximation fu¨rdie
erwu¨nschte Oberfl¨ache dienen kann. Die beobachteten Verzerrungen fu¨hren
naturgem¨ass zu einer ungenauen Abbildung der Realit¨at und fehlerhaften
Reproduktion der Preise in Regionen, die ein wenig entfernt vom Bereich am
Geld liegen. Derartig ungewollte Dissonanzen in Gewinn und Verlustzahlen
fu¨hrten z.B. in 1998 zu gravierenden Verlusten im Zinsderivateportfolio der
heutigen Royal Bank of Scotland.
Diverse Versuche sind in den letzten Jahren unternommen worden, um eine
bessere Anpassung an die beobachtete gekru¨mmte Fl¨ache zu erlangen. Es
wurde schliesslich offensichtlich, dass man nicht umhin kam, entweder eine
5SprungdiffusionzuintegrierenoderabergeeigneteFaktorenmiteinerstocha-
stischen Volatilit¨at auszustatten. Erstere wurden bereits von Merton (1976)
studiert, sp¨aterjedoch fu¨r liborModellierung von Glasserman und Merener
(2001), Glasserman und Kou (2003) und Belomestny und Schoenmakers
(2006)wiederentdeckt. DieKlasse,welchediegr¨ossteFlexibilit¨ataufzuweisen
schien, waren jedoch die Modelle mit stochastischer Volatilit¨at (SVM). Sie
wurden unter anderem von Andersen und Brotherton-Ratcliffe (2001), Wu
und Zhang (2002) und Piterbarg (2003) vorgeschlagen.
Noch bevor diesen sind sogenannte local-volatility Modelle erwogen wor-
den. Die zwei Arme dieser Klasse sind die constant elasticity of variance
(CEV) Modelle, mittlerweile mehrfach erweitert, z.B. von Wu (2003), aber
urspru¨nglich vorgeschlagen von Andersen-Andreasen (2000), und die dis-
placed diffusion (DD) Modelle, welche zwar auf die Arbeit von Rubinstein
(1983) zuru¨ckgehen, aber zuerst von Rebonato und Joshi (2002) auf Zins-
derivate angewendet wurden. Ein wesentlicher Kritikpunkt an beide Mod-
elltypen ist, dass sie zwar einen monotonen Skew generieren k¨onnen, aber
keinen zufriedenstellenden Smile hervorbringen. Abhilfe brachten die oben
erw¨ahnten Alternativen.
Sprungdiffusionen fingen das heavy tail Ph¨anomen erstaunlich gut ein. Es
gibt jedoch keine zufriedenstellenden Ergebnisse hinsichtlich der Stabilit¨at
von Kalibrationen, d.h. die Anpassung der Modellparameter an die realen
Marktdaten. Ob die Parameter von Sprungdiffusionen stetig variieren, wenn
Input Daten perturbiert werden, ist eine offene Frage.
Stochastische Volatilit¨ats Modelle, andererseits, performen gut, wenn es um
die Erzeugung von gekru¨mmten Fl¨achen geht. Unglu¨cklicherweise produ-
zieren sie keinen Skew, wenn man Unkorreliertheit zwischen libor Rateund
stochastischem Volatilit¨atsprozess unterstellt. Unter den bekannten Mod-
ellen erlauben nur das bereits erw¨ahnte Wu/Zhang und das SABR Modell
die notwendigen nicht trivialen Korrelationskoeffizienten.
Ein Nachteil des Wu/Zhang Modells ist, dass der CIR Prozess, welcher
als Volatilit¨atskomponente eingefu¨hrt wird, nur eindimensional ist. Insta-
bilit¨aten sind somit bei der Kalibrierung zu erwarten, wenn dieser eindimen-
sionale Prozess an n− 1 libor S¨atze anzugleichen ist. Fu¨r verschiedene
Maturit¨aten weisen diese nachweislich ein sehr verschiedenartiges Verhalten
auf. So ist es nicht verwunderlich, dass Wu und Zhang in ihrem numerischen
Teil ihr Modell nicht an Marktpreise kalibrieren, sondern lediglich mit exo-
gen vorgegebenen Parametern arbeiten. SABR Modelle, andererseits, bein-
halten zwar sehr allgemeine Ausdru¨cke fu¨r libor Modelle mit stochastischer
6Volatilit¨at, jedoch bleibt auch hier unklar, wie eine stabile Kalibrierung er-
folgen soll.
Beim direkten Vergleich der beiden zuletzt betrachteten Ans¨atze, unter-
stu¨tzen Experten und Teilnehmer des libor DerivateMarktes die Idee, dass
die Dynamik von Prozessen mit stochastischer Volatilit¨at eine ausgepr¨agtere
Flexibilit¨at offeriert und einen besseren Fit gew¨ahrleistet, als die Dynamik
von Sprungprozessen. Fu¨r Details siehe Chen and Scott (2001).
Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Das erste Kapitel dient als Einfu¨hrung in
dieThematikundbehandeltinsp¨aterenKapitelnerforderlicheKonzepte. Im
zweiten Kapitel werden einige fru¨here Modelle erl¨autert und eine Methode
eingefu¨hrt mit deren Hilfe die Optimierung der Parameter gelingt. Als Kon-
sequenzausdenobenbeschriebenen Ergebnissen, wirdimdrittenKapitelein
multiples stochastisches Volatilit¨ats Modell vorgeschlagen, welches Korrela-
tionen zwischen libor Raten und Volatilit¨atsprozessen zul¨asst. Ferner wird
dort eine Routine zur Kalibration der Parameter empfohlen, welche robuste
Sch¨atzungenverspricht. ImviertenKapitelwirddasModellerweitertaufden
Fall zweier W¨ahrungen. Der Algorithmus zur Kalibrierung wird u¨bertragen.
Das in dieser Arbeit betrachtete Modell ist das Folgende:
√dLi 2=(...)dt+ 1−r γ dW +rγ dU, 1≤i<n,i i
Li
√ fdU = v dW ,k k k q√
2fdv =κ (θ −v )dt+σ v ρ dW + 1−ρ dW ,k k k k k k k k kk
fwobei k = 1,...,n− 1. W und W sind unabh¨angige (n-1)-dimensionale
Standard Brownsche Prozesse, beide wiederum unabh¨angig von W. Somit
n−1 n−1sind γ ∈ R und γ ∈ R . Die Dynamik ist im zugrunde liegendeni i
Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben, daher ist der Drift zun¨achst nicht n¨aher
spezifiziert.
Fu¨r r = 0 erh¨alt man das Standard libor Markt Modell. Der Parameter
r sollte somit als ”Allokations”- oder ”Proportio