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Multiplicity-free Super Vector Spaces [Elektronische Ressource] / Tobias Pecher. Betreuer: Friedrich Knop

60 pages
Multiplicity-free super vector spacesDer Naturwissenschaftlichen Fakultätder Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergzurErlangung des Doktorgradesvorgelegt vonTobias Pecheraus NürnbergAlsDissertationgenehmigtvonderNaturwissenschaftlichenFakultätderFriedrich-AlexanderUniversität Erlangen-NürnbergTag der mündlichen Prüfung: 30. Juni 2011Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. R. FinkErstberichterstatter: Prof. Dr. F. KnopZweitberichterstatter: Prof. Dr. P. FiebigiZusammenfassungDie vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wann die supersymmetrische Al-gebra P (V ) eines Supervektorraumes V als Modul einer reduktiven Gruppe G multipliz-itätenfrei ist. Diese Klasse von Darstellungen wird auch supermultiplizitätenfrei genannt.DieTatsache, obeingegebenesPaar (G;V )dieseEigenschaftbesitzt, kannvonderGestaltdes Zentrums vonG abhängen. Hierbei treten technische Schwierigkeiten hinsichtlich derKlassifikation supermultiplizitätenfreier Räume auf, welche wir umgehen, indem wir einegewisse Maximalitätsbedingung an das Zentrum voraussetzen. Innerhalb dieses Rahmenserhalten wir eine komplette Klassifikation und verallgemeinern damit bekannte Resultateüber die Multiplizitätenfreiheit symmetrischer und äußerer Algebren.Für supersymmetrische Algebren stehen, im Gegensatz zur reichhaltigen Theorie der sym-metrischen Algebren, kaum für uns nützliche Strukturaussagen bereit.
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Multiplicity-free super vector spaces
Der Naturwissenschaftlichen Fakultät der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg zur Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von Tobias Pecher aus Nürnberg
Als Dissertation genehmigt von der Naturwissenschaftlichen Fakultät der Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der mündlichen Prüfung: 30. Juni 2011
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. R. Fink
Erstberichterstatter: Prof. Dr. F. Knop
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. P. Fiebig
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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wann die supersymmetrische Al-gebraP(V)eines SupervektorraumesVals Modul einer reduktiven GruppeGmultipliz-itätenfrei ist. Diese Klasse von Darstellungen wird auchsupermultiplizitätenfreigenannt. Die Tatsache, ob ein gegebenes Paar(G, V)diese Eigenschaft besitzt, kann von der Gestalt des Zentrums vonG treten technische Schwierigkeiten hinsichtlich derabhängen. Hierbei Klassifikation supermultiplizitätenfreier Räume auf, welche wir umgehen, indem wir eine gewisse Maximalitätsbedingung an das Zentrum voraussetzen. Innerhalb dieses Rahmens erhalten wir eine komplette Klassifikation und verallgemeinern damit bekannte Resultate über die Multiplizitätenfreiheit symmetrischer und äuerer Algebren. Für supersymmetrische Algebren stehen, im Gegensatz zur reichhaltigen Theorie der sym-metrischen Algebren, kaum für uns nützliche Strukturaussagen bereit. Ein wesentlicher Ansatzpunkt besteht deshalb darin, den Kreis potentieller supermultiplizitätenfreier Räume einzugrenzen, indem wir zumindest notwendige Bedingungen für Supermultiplizitätenfrei-heit bestimmen. So zeigen wir, dass - nach einer geeigneten Definition dieses Begriffs - jede Teilstruktur einer supermultiplizitätenfreien Darstellung ebenfalls supermultiplizitätenfrei ist. Ferner existiert für irreduzible DarstellungenVvonGeine bekannte Aussage über die Zerlegung vonVV Diesebezüglich Restriktion auf Levi-Untergruppen. verallgemeinern wir auf beliebige Darstellungen vonG. Hilfreich ist zudem die Tatsache, dass die Su-permultiplizitätenfreiheit von reduziblen SupervektorräumenVdavon unberührt bleibt, wenn einzelne irreduzible Summanden inV Wirdurch ihre Dualen ersetzt werden. zeigen dies unter Verwendung einer Aussage über die Struktur derG-invarianten Differentialop-eratoren auf supermultiplizitätenfreien Räumen, was im wesentlichen eine Übertragung einer aus dem symmetrischen Kontext bekannten Tatsache ist. Gerader und ungerader Anteil eines supermultiplizitätenfreien SupervektorraumsVsind selbst (super)multiplizitätenfrei. Da zu Beginn dieser Arbeit keine komplette Klassi-fikation multiplizitätenfreier äueren Algebren bekannt war, stellt die Vervollständigung dieser Liste den ersten Schritt in unseren Betrachtungen dar. Zum Nachweis der Multipliz-itätenfreiheit in den einzelnen Fällen erweist sich hierbei die Deutung der Gruppenaktion als Restriktion der Operation von allgemeinen linearen Gruppen als hilfreich. Die oben erwähnten Resultate erlauben es dann, die Ergebnisse über symmetrische und antisym-metrische Algebren effektiv zur Behandlung des Allgemeinfalls, d.h. die Untersuchung der Multiplizitätenfreiheit echter Supervektorräume, zu kombinieren und einzusetzen.
ii
Abstract The current thesis is engaged in the question when the supersymmetric algebraP(V)of a super vector spaceVis multiplicity-free as a module of a reductive groupG. This class of representations is calledsuper multiplicity-free. For a given pair(G, V)this property can depend on the structure of the center ofG. This causes technical difficulties concerning the classification of super multiplicity-free spaces, which we circumvent by assuming a certain maximality condition on the center. Within this framework, we obtain a com-plete classification and thus generalize well-known results on the multiplicity-freeness of symmetric and exterior algebras. In contrast to the comprehensive theory of symmetric algebras, there is hardly any useful statement for superssymmetric algebras. A main approach lies in narrowing down the list of potential super multiplicity-free spaces by determining at least necessary conditions for super multiplicity-freeness. Thus, we show that - given an appropriate definition for this term - every substructure of a super multiplicity-free representation is super multiplicity-free either. In addition, for irreducible representationsVofG, there is a known propositon on the decomposition ofVVwhen restricted to Levi subgroups. As a further useful fact, the super multiplicity-freeness of reducible super vector spacesVis not affected by the exchange of some irreducible summands by their duals. We show this by making use of a statement on the structure ofG-invariant differential operators on super multiplicity-free spaces, which is in turn mainly a translation of a fact that is known in the symmetric context. Even and odd part of a super multiplicity-free super vector space are again (super) multiplicity-free. Since at the beginning of this project there was no complete classifi-cation of multiplicity-free exterior algebras, its finishing is the first step in our consider-ations. The interpretation of group actions as restricted operations from general linear groups proves useful for the verification of the multiplicity-freeness in the indivual cases. The above mentioned conclusions then allow a combination and effective application of the results on symmetric and anti-symmetric algebras for the treatment of the general case, i.e. the investigation of muliplicity-freeness for proper super spaces.
iii
Danksagungen In diesen Tagen jährt sich zum 175. Mal die erste Fahrt einer deutschen Eisenbahn zwischen Nürnberg und Fürth. Neben seiner landesweiten Bedeutung zeigt dieses Eregnis zudem, wie die Bürger der zueinander in Rivalität stehenden beiden Städte trotz der gegenseitigen Ressentiments zu einer fruchtbaren Zusammenarbeit fähig sind. Auch wenn man es auf keiner Seite offen zugeben möchte, respektiert man doch tief im Inneren den anderen, und der Lohn der gemeinsamen Anstrengung lät viele Schmähungen (die vor allem die Fürther von ihren “groen Nachbarn” erleiden müssen) schnell verblassen. Das Thema dieser Arbeit - und die daraus resultierenden Anstrengungen - wurden an-geregt von Friedrich Knop, dem ich hiermit meinen gröten Dank aussprechen möchte: Dafür, dass er mich die ganze Zeit meiner Promotion hinweg bestens unterstützt und mir viele Dinge verständlich erklärt hat. Auerdem nahm er sich immer wieder die Zeit, meine Ideen und Berechnungen nachzuvollziehen und mich dabei auch verlälich auf ver-steckte Fehler und Ungenauigkeiten hinzuweisen. Vor allem in der Anfangsphase war die Gewiheit, durch seine Leitung stets die Zielrichtung im Blick zu behalten, eine enorme Hilfe. Die Gespräche mit ihm über die Mathematik waren jedesmal äuerst motivierend und inspirierend. Dem Prädikat meines Vorgängers [We] über Friedrich Knop kann ich deshalb nur voll und ganz zustimmen. Auch allen anderen Mitarbeitern des Emmy-Noether-Zentrums möchte ich für die kol-legiale Arbeitsatmosphäre und die nette gemeinsame Zeit danken. Besonders erwähnen möchte ich hierbei Peter Fiebig, nicht nur für seine Bereitschaft, als Zweitberichterstatter zu fungieren. Durch seine weitere Unterstützung in den letzten Monaten stellte er für mich sicher auch eine Art Zweitbetreuer dar. Ein kleiner, aber entscheidender, Teil dieser Arbeit enstand während eines Aufenthalts am “Centro di Ricerca Mathematica Ennio De Giorgi” in Pisa. Die gemeinsamen Diskussionen mit Oksana Yakimova waren äuerst hilfreich und auch ansonsten waren die Tage in Pisa ein sehr schönes Erlebnis. Ich danke ihr an dieser Stelle nochmals herzlich für die Einladung dorthin, sowie dafür, dass Sie groe Teile des Manuskripts las und eine Vielzahl von Verbesserungsvorschlägen lieferte. Desweiteren danke ich Bertfried Fauser, für viele interessante Informationen über sym-metrische Funktionen, Branching rules, sowie etliche andere mathematische und physikalis-che Anekdoten. Zudem kam ich durch ihn in Kontakt mit Ron C. King, von dem ich entscheidende Hinweise bezüglich der Modification rules erhielt. Dies machte mir den Be-weis der Schiefmultiplizitätenfreiheit vonSL3SO2n+1möglich und so schulde ich auch ihm groen Dank. Abschlieend bedanke ich mich bei Guido Pezzini, Petra Weber und Miriam Wegner für mathematische und sprachliche Korrekturen der Arbeit, sowie beim gesamten Team der Rechenanlage des Departments, das mich all die Jahre hinweg mit ausreichend Kaffee versorgt hat.
Contents 1 Introduction 2 Preliminaries 2.1 The category of super vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Invariant Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Characters of the classical groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Branching rules forSOmandSp2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Decomposition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Main Results 3.1 Classification of saturated indecomposable super MF space . . . . . . . . . 3.2 Reduction arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Classification of super MF spaces 4.1 Irreducible skew MF spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Decompositions of reducible super MF spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Completion of the proof of Theorem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exhaustiveness of Theorem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Exhaustiveness of Theorem 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Open problems References
1 5 5 9 12 14 17 19 19 22 25 25 33 36 41 47 49 52
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