Noncommutative Gravity and Quantum Field Theory on Noncommutative Curved Spacetimes [Elektronische Ressource] / Alexander Schenkel. Betreuer: Thorsten Ohl

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• Publié par: julius-maximilians-universitat_wurzburg
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 7
• Langue: English
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Extrait

Noncommutative Gravity and
Quantum Field Theory onve Curved Spacetimes
Dissertation zur Erlangung des
naturwissenschaftlichen Doktorgrades
der Bayerischen Julius-Maximilians-Universitat¨ Wurzb¨ urg
vorgelegt von
Alexander Schenkel
aus Hardheim
Wurzb¨ urg 2011Eingereicht am: 14. Juni 2011
bei der Fakultat¨ fur¨ Physik und Astronomie
1. Gutachter: Prof. Dr. Thorsten Ohl
2. Gutachter: Prof. Dr. Haye Hinrichsen
3. Gutachter: Prof. Dr. Peter Schupp (Jacobs University Bremen)
der Dissertation
1. Prufer:¨ Prof. Dr. Thorsten Ohl
2. Prufer:¨ Prof. Dr. Haye Hinrichsen
3. Prufer:¨ Prof. Dr. Peter Schupp (Jacobs University Bremen)
4. Prufer:¨ Prof. Dr. Thomas Trefzger
im Promotionskolloquium
Tag des Promotionskolloquiums: 24. Oktober 2011
¨Doktorurkunde ausgehandigt am:Abstract
Over the past decades, noncommutative geometry has grown into an established field in pure mathematics
and theoretical physics. The discovery that noncommutative geometry emerges as a limit of quantum gravity
and string theory has provided strong motivations to search for physics beyond the standard model of particle
physics and also beyond Einstein’s theory of general relativity within the realm of noncommutative geometries.
A very fruitful approach in the latter direction is due to Julius Wess and his group, which combines deformation
quantization (?-products) with quantum group methods. The resulting gravity theory does not only include
noncommutative effects of spacetime, but it is also invariant under a deformed Hopf algebra of diffeomorphisms,
generalizing the principle of general covariance to the noncommutative setting.
The purpose of the first part of this thesis is to understand symmetry reduction in noncommutative gravity,
which then allows us to find exact solutions of theve Einstein equations. These are important
investigations in order to capture the physical content of such theories and to make contact to applications
in e.g. noncommutative cosmology and black hole physics. We propose an extension of the usual symmetry
reduction procedure, which is frequently applied to the construction of exact solutions of Einstein’s field equations,
to noncommutative gravity and show that this leads to preferred choices of noncommutative deformations of
a given symmetric system. We classify in the case of abelian Drinfel’d twists all consistent of
spatially flat Friedmann-Robertson-Walker cosmologies and of the Schwarzschild black hole. The deformed
symmetry structure allows us to obtain exact solutions of the noncommutative Einstein equations in many of our
models, for which the noncommutative metric field coincides with the classical one.
In the second part we focus on quantum field theory on noncommutative curved spacetimes. We develop a new
formalism by combining methods from the algebraic approach to quantum field theory with noncommutative
differential geometry. The result is an algebra of observables for scalar quantum field theories on a large class
of noncommutative curved spacetimes. A precise relation to the algebra of observables of the corresponding
undeformed quantum field theory is established. We focus on explicit examples of deformed wave operators and
find that there can be noncommutative corrections even on the level of free field theories, which is not the case in
the simplest example of the Moyal-Weyl deformed Minkowski spacetime. The convergent deformation of simple
toy-models is investigated and it is shown that these quantum field theories have many new features compared to
formal deformation quantization. In addition to the expected nonlocality, we obtain that the relation between
the deformed and the undeformed quantum field theory is affected in a nontrivial way, leading to an improved
behavior of the noncommutative field theory at short distances, i.e. in the ultraviolet.
In the third part we develop elements of a more powerful, albeit more abstract, mathematical approach
to noncommutative gravity. The goal is to better understand global aspects of homomorphisms between and
connections on noncommutative vector bundles, which are fundamental objects in the description
ofve gravity. We prove that all homomorphisms and connections of the deformed theory can
be obtained by applying a quantization isomorphism to undeformed homomorphisms and connections. The
extension of homomorphisms and connections to tensor products of modules is clarified, and as a consequence
we are able to add tensor fields of arbitrary type to the noncommutative gravity theory of Wess et al. As a
nontrivial application of the new mathematical formalism we extend our studies of exact noncommutative gravity
solutions to more general deformations.
iZusammenfassung
¨Uber die letzten Jahrzehnte hat sich die nichtkommutative Geometrie zu einem etablierten Teilgebiet der
reinen Mathematik und der theoretischen Physik entwickelt. Die Entdeckung, dass gewisse Grenzfalle¨ der
Quantengravitation und Stringtheorie zu nichtkommutativer Geometrie fuhren,¨ motivierte die Suche nach Physik
jenseits des Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Einstein’schen allgemeinen Relativitatstheorie¨
im Rahmen von nichtkommutativen Geometrien. Einen ergiebigen Ansatz zu letzteren Theorien, welcher
Deformationsquantisierung (Sternprodukte) mit Methoden aus der Theorie der Quantengruppen kombiniert,
wurde von der Gruppe um Julius Wess entwickelt. Die resultierende Gravitationstheorie ist nicht nur imstande
nichtkommutative Effekte der Raumzeit zu beschreiben, sondern sie erfullt¨ ebenfalls ein generalisiertes allge-
meines Kovarianzprinzip, welches durch eine deformierte Hopf Algebra von Diffeomorphismen beschrieben
wird.
Gegenstand des ersten Teils dieser Dissertation ist es Symmetriereduktion im Rahmen von nichtkommutativer
¨Gravitation zu verstehen und damit exakte Losungen der nichtkommutativen Einstein’schen Gleichungen zu
konstruieren. Diese Untersuchungen sind von großer Bedeutung um den physikalischen Inhalt dieser Theorien
herauszuarbeiten und den Kontakt zu Anwendungen, z.B. im Rahmen nichtkommutativer Kosmologie und Physik
schwarzer Locher¨ , herzustellen. Wir verallgemeinern die ubliche¨ Methode der Symmetriereduktion, welche
eine Standardtechnik im Auffinden von Losungen¨ der Einstein’schen Gleichungen ist, auf nichtkommutative
Gravitation. Es wird gezeigt, dass unsere Methode zur nichtkommutativen Symmetriereduktion fur¨ ein gegebenes
symmetrisches System zu bevorzugten Deformationen fuhrt.¨ Fur¨ Abelsche Drinfel’d Twists klassifizieren wir
alle konsistenten Deformationen von raumlich¨ flachen Friedmann-Robertson-Walker Kosmologien und des
Schwarzschild’schen schwarzen Loches. Aufgrund der deformierten Symmetriestruktur dieser Modelle konnen¨
wir viele Beispiele von exakten Losungen¨ der nichtkommutativen Einstein’schen Gleichungen finden, bei welchen
das nichtkommutative Metrikfeld mit dem klassischen ubereinstimmt.¨
Im Fokus des zweiten Teils sind Quantenfeldtheorien auf nichtkommutativen gekrummten¨ Raumzeiten. Dazu
entwickeln wir einen neuen Formalismus, welcher algebraische Methoden der Quantenfeldtheorie mit nichtkom-
mutativer Differentialgeometrie verknupft.¨ Als Resultat unseres Ansatzes erhalten wir eine Observablenalgebra
fur¨ skalare Quantenfeldtheorien auf einer großen Klasse von nichtkommutativen gekrummten¨ Raumzeiten. Es
wird eine prazise¨ Relation zwischen dieser Algebra und der Observablenalgebra der undeformierten Quan-
tenfeldtheorie hergeleitet. Wir studieren ebenfalls explizite Beispiele von deformierten Wellenoperatoren und
finden, dass im Gegensatz zu dem einfachsten Modell des Moyal-Weyl deformierten Minkowski-Raumes, im
Allgemeinen schon die Propagation freier Felder durch die nichtkommutative Geometrie beeinflusst wird. Die
Effekte von konvergenten Deformationen werden in einfachen Spezialfallen¨ untersucht, und wir beobachten
neue Aspekte in diesen Quantenfeldtheorien, welche sich in formalen Deformationen nicht zeigten. Zusatzlich¨
zu der erwarteten Nichtlokalitat¨ finden wir, dass sich die Beziehung zwischen der deformierten und der unde-
¨formierten Quantenfeldtheorie nichttrivial verandert. Wir beweisen, dass dies zu einem verbesserten Verhalten
der nichtkommutativen Theorie bei kurzen Abstanden,¨ d.h. im Ultravioletten, fuhrt.¨
Im dritten Teil dieser Arbeit entwickeln wir Elemente eines leistungsfahigeren,¨ jedoch abstrakteren, mathema-
tischen Ansatzes zur Beschreibung der nichtkommutativen Gravitation. Das Hauptaugenmerk liegt auf globalen
Aspekten von Homomorphismen zwischen und Zusammenhangen¨ auf nichtkommutativen Vektorbundeln,¨ welche
fundamentale Objekte in der mathematischen Beschreibung von nichtkver Gravitation sind. Wir
beweisen, dass sich alle Homomorphismen und Zusammenhange¨ der deformierten Theorie mittels eines Quan-
tisierungsisomorphismus aus den undeformierten Homomorphismen und Zusammenhangen¨ ableiten lassen. Es
wird ebenfalls untersucht wie sich Homomorphismen und Zusammenhange¨ auf Tensorprodukte von Moduln
induzieren lassen. Das Verstandnis¨ dieser Induktion erlaubt es uns die nichtkommutative Gravitationstheorie von
Wess et al. um allgemeine Tensorfelder zu erweitern. Als eine nichttriviale Anwendung des neuen Formalismus
erweitern wir unsere Studien zu exakten Losungen¨ der ni