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Inaugural Dissertation
¨zurErlangungderDoktorwurde
derNaturwissenschaftlich MathematischenGesamtfakult at¨
derRuprecht Karls Universit at¨ Heidelberg
vorgelegtvon
Diplom Mathematiker VolkerReichenberger
ausBruchsal
Tagdermundlic¨ henPruf¨ ung: 20. Januar2004NUMERICAL SIMULATION OF
MULTIPHASE FLOW IN
FRACTURED POROUS MEDIA
Gutachter: Prof.Dr.PeterBastian
Prof.Dr.GabrielWittumPreface
This work is an interdisciplinary effort and would not have been possible without many
contributionsfromdifferentsources. Mygratitudegoesto:
. Peter Bastian who laid the basis to this work in many different ways and always sup
portedme. Icouldn’tthinkofabetterteacheroftheartofscientificcomputing.
. Gabriel Wittum for recognizing the importance of scientific software development,
hissupportandforsharingmyMacintoshenthusiasm.
. RainerHelmiggenerouslysupportedmywork. Workingwithhimandhisgroupwas
alwaysapleasure.
. Theothermembersoftheugdevelopmentteamfortheirwork: PeterBastian,Klaus
Birken, Klaus Johannsen, Stefan Lang, Nicolas Neuß, Henrik Rentz Reichert, Chris
tianWieners.
. Hartmut Jakobs, my colleague in Braunschweig and Stuttgart. Howdy, and I’m look
ing forward to the next time we get pulled over by the Police on a lonely Texas high
way.
. Lina Neunhauser¨ er found and fixed errors in the fracture discretization module. The
meshesforthesingle phaseflowfractureddomainwerecreatedbyher.
. Annette Hemminger created the fractured domain generator and generously gave it
tometoproducethedomainsforthethree dimensionalsimulations.
. Special thanks to the other members of the Heise Reload Club. Olaf Ippisch is the
bestproofreaderIknow.
5Preface
6Contents
Preface 5
1. Introduction 11
2. TheModelofFluidFlowinFracturedPorousMedia 13
2.1. Materialproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. PorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Lengthscalesinthesubsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3. TypesofDiscontinuitiesinPorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4. Fractureclassification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.5. Porosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6. RepresentativeElementaryVolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.7. HeterogeneityandAnisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Singlephasefluidflowinfracturedporousmedia . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Darcy’slawforflowofasinglefluidphaseinaporousmedium . . . 23
2.2.2. Singlephasefluidflowinafracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Multiphaseflowatthemicroscopicscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Capillaryforcesandtheshapeofthecapillarysurface . . . . . . . . . 26
2.3.2.ypressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3. Capillarybehaviorintheporespaceandinfractures . . . . . . . . . 28
2.3.4. Dynamicprocessesatthemicroscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Thetransitiontothemacroscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Multiphaseflowequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3. Capillarypressurefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.4. Relativepermeabilityfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.5. Themodelfortwo phaseflowinporousmedia . . . . . . . . . . . . 35
2.4.6. InterfaceconditionsatMediaDiscontinuities . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. ModelsforFracturedPorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1. EquivalenceModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.2. DiscreteModelingandNumericalSimulation . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Approachtakeninthiswork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7Contents
3. FiniteVolumeDiscretizationandMultigridSolution 43
3.1. Numericalsolutionschemesforthetwo phaseequations . . . . . . . . . . . 43
3.2. Characteroftheequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3. Numericalmethodsforhyperbolicanddegenerateparabolicequations . . . 47
3.3.1. Nonlinearhyperbolicequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2. Degenerateparabolicequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Phasepressure Saturationformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. TheFiniteVolumeMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1. GeometryoftheproblemandthePrimaryandSecondaryMesh . . . 51
3.5.2. TheApproximationSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.3. Weakformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.4. Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6. Timediscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7. NonlinearSystemSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8. Multigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.1. TheMultigridAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.2. RobustMultigridAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.3. ParallelandAdaptiveMultigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8.4. MultigridforSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.5. Truncatedrestrictionfordiscontinuousproblems . . . . . . . . . . . 71
3.9. ComputerProgramImplementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.1. Thesimulationenvironment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.2. Thenumericalframeworkug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.3. Pre andpost processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4. TheDiscontinuousGalerkinMethodforEllipticproblems 79
4.1. DevelopmentoftheDiscontinuousGalerkinMethod . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. Formulationofthebilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3. MultigridSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. NumericalResultsfortheDGMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.1. SinglePhaseFlowinHomogeneousMedia . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2.PhaseFlowinHeterogeneousMedia . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5. SinglePhaseFlowinFracturedMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Numericalexperiments 97
5.1. Verticalwater gasflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Wellsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3. Three dimensionalOil Watersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4. ThrGas Watertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Conclusion 115
A. TheHele ShawAnalogforViscousFlowinParallelPlates 117
8Contents
B. Integraltransformations 123
B.1. Two dimensionalelementsintwospacedimensions . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2. One dimensionalintwospace . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3. Lower dimensionalelementsinthreespacedimensions . . . . . . . . . . . . 125
9Contents
10

Un pour Un
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