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Numerical simulation of multiphase flow in fractured porous media [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Volker Reichenberger

149 pages
Inaugural Dissertation¨zurErlangungderDoktorwurdederNaturwissenschaftlich MathematischenGesamtfakult at¨derRuprecht Karls Universit at¨ HeidelbergvorgelegtvonDiplom Mathematiker VolkerReichenbergerausBruchsalTagdermundlic¨ henPruf¨ ung: 20. Januar2004NUMERICAL SIMULATION OFMULTIPHASE FLOW INFRACTURED POROUS MEDIAGutachter: Prof.Dr.PeterBastianProf.Dr.GabrielWittumPrefaceThis work is an interdisciplinary effort and would not have been possible without manycontributionsfromdifferentsources. Mygratitudegoesto:. Peter Bastian who laid the basis to this work in many different ways and always sup portedme. Icouldn’tthinkofabetterteacheroftheartofscientificcomputing.. Gabriel Wittum for recognizing the importance of scientific software development,hissupportandforsharingmyMacintoshenthusiasm.. RainerHelmiggenerouslysupportedmywork. Workingwithhimandhisgroupwasalwaysapleasure.. Theothermembersoftheugdevelopmentteamfortheirwork: PeterBastian,KlausBirken, Klaus Johannsen, Stefan Lang, Nicolas Neuß, Henrik Rentz Reichert, Chris tianWieners.. Hartmut Jakobs, my colleague in Braunschweig and Stuttgart. Howdy, and I’m look ing forward to the next time we get pulled over by the Police on a lonely Texas high way.. Lina Neunhauser¨ er found and fixed errors in the fracture discretization module. Themeshesforthesingle phaseflowfractureddomainwerecreatedbyher..
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Inaugural Dissertation
¨zurErlangungderDoktorwurde
derNaturwissenschaftlich MathematischenGesamtfakult at¨
derRuprecht Karls Universit at¨ Heidelberg
vorgelegtvon
Diplom Mathematiker VolkerReichenberger
ausBruchsal
Tagdermundlic¨ henPruf¨ ung: 20. Januar2004NUMERICAL SIMULATION OF
MULTIPHASE FLOW IN
FRACTURED POROUS MEDIA
Gutachter: Prof.Dr.PeterBastian
Prof.Dr.GabrielWittumPreface
This work is an interdisciplinary effort and would not have been possible without many
contributionsfromdifferentsources. Mygratitudegoesto:
. Peter Bastian who laid the basis to this work in many different ways and always sup
portedme. Icouldn’tthinkofabetterteacheroftheartofscientificcomputing.
. Gabriel Wittum for recognizing the importance of scientific software development,
hissupportandforsharingmyMacintoshenthusiasm.
. RainerHelmiggenerouslysupportedmywork. Workingwithhimandhisgroupwas
alwaysapleasure.
. Theothermembersoftheugdevelopmentteamfortheirwork: PeterBastian,Klaus
Birken, Klaus Johannsen, Stefan Lang, Nicolas Neuß, Henrik Rentz Reichert, Chris
tianWieners.
. Hartmut Jakobs, my colleague in Braunschweig and Stuttgart. Howdy, and I’m look
ing forward to the next time we get pulled over by the Police on a lonely Texas high
way.
. Lina Neunhauser¨ er found and fixed errors in the fracture discretization module. The
meshesforthesingle phaseflowfractureddomainwerecreatedbyher.
. Annette Hemminger created the fractured domain generator and generously gave it
tometoproducethedomainsforthethree dimensionalsimulations.
. Special thanks to the other members of the Heise Reload Club. Olaf Ippisch is the
bestproofreaderIknow.
5Preface
6Contents
Preface 5
1. Introduction 11
2. TheModelofFluidFlowinFracturedPorousMedia 13
2.1. Materialproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. PorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Lengthscalesinthesubsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3. TypesofDiscontinuitiesinPorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4. Fractureclassification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.5. Porosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6. RepresentativeElementaryVolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.7. HeterogeneityandAnisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Singlephasefluidflowinfracturedporousmedia . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Darcy’slawforflowofasinglefluidphaseinaporousmedium . . . 23
2.2.2. Singlephasefluidflowinafracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Multiphaseflowatthemicroscopicscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Capillaryforcesandtheshapeofthecapillarysurface . . . . . . . . . 26
2.3.2.ypressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3. Capillarybehaviorintheporespaceandinfractures . . . . . . . . . 28
2.3.4. Dynamicprocessesatthemicroscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Thetransitiontothemacroscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Multiphaseflowequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3. Capillarypressurefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.4. Relativepermeabilityfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.5. Themodelfortwo phaseflowinporousmedia . . . . . . . . . . . . 35
2.4.6. InterfaceconditionsatMediaDiscontinuities . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. ModelsforFracturedPorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1. EquivalenceModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.2. DiscreteModelingandNumericalSimulation . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Approachtakeninthiswork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7Contents
3. FiniteVolumeDiscretizationandMultigridSolution 43
3.1. Numericalsolutionschemesforthetwo phaseequations . . . . . . . . . . . 43
3.2. Characteroftheequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3. Numericalmethodsforhyperbolicanddegenerateparabolicequations . . . 47
3.3.1. Nonlinearhyperbolicequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2. Degenerateparabolicequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Phasepressure Saturationformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. TheFiniteVolumeMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1. GeometryoftheproblemandthePrimaryandSecondaryMesh . . . 51
3.5.2. TheApproximationSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.3. Weakformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.4. Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6. Timediscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7. NonlinearSystemSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8. Multigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.1. TheMultigridAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.2. RobustMultigridAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.3. ParallelandAdaptiveMultigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8.4. MultigridforSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.5. Truncatedrestrictionfordiscontinuousproblems . . . . . . . . . . . 71
3.9. ComputerProgramImplementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.1. Thesimulationenvironment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.2. Thenumericalframeworkug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.3. Pre andpost processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4. TheDiscontinuousGalerkinMethodforEllipticproblems 79
4.1. DevelopmentoftheDiscontinuousGalerkinMethod . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. Formulationofthebilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3. MultigridSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. NumericalResultsfortheDGMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.1. SinglePhaseFlowinHomogeneousMedia . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2.PhaseFlowinHeterogeneousMedia . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5. SinglePhaseFlowinFracturedMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Numericalexperiments 97
5.1. Verticalwater gasflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Wellsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3. Three dimensionalOil Watersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4. ThrGas Watertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Conclusion 115
A. TheHele ShawAnalogforViscousFlowinParallelPlates 117
8Contents
B. Integraltransformations 123
B.1. Two dimensionalelementsintwospacedimensions . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2. One dimensionalintwospace . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3. Lower dimensionalelementsinthreespacedimensions . . . . . . . . . . . . 125
9Contents
10

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