Oscillateur harmonique-Oscillateur couplé
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calculer la capacité calorifique et comparé celle de Debye et Einstein.

Informations

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Publié le 06 décembre 2013
Nombre de lectures 103
Langue Français

Extrait

OSCILLATEUR
Capacité spécifique HARMONIQUE-
des solides.
OSCILLATEUR COUPLÉ
Détermination de la capacité calorifique des solides aux températures
élevées, aux très basses températures et aux températures intermédiaires
en comparant l’approximation de Debye à celle d’Einstein. Oscillateur Harmonique-oscillateur Couplé :
Chaleur spécifique des solides dans le modèle de
DEBYE
Hardet Aimlain NGOMA
1
Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.Sommaire :
Introduction………………………………………………………………………………………3
1. Mode de variation de la chaine d’atomes………………………………….3
2. Vitesse de dispersion……………………………………………………………….4
3. Variation de la capacité calorifique…………………………………………...6
3.1. Capacité calorifique aux températures élevées……………….7
3.2. Capacité aux très basses températures………….8
3.3. Capacité calorifique aux températures intermédiaires…..10
4. Conclusion……………………………………………………………………………..12
Bibliographie……………………………………………………………………………………13
2
Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.Introduction
Contrairement à Einstein qui considère les atomes comme des
oscillateurs indépendants qui vibrent avec des fréquences quelconques,
Debye considère qu’ils bougent collectivement (oscillateurs couplés).
Série 1
0.015
0.01
0.005
Série 10
-0.005
-0.01
-0.015
On remarque que les atomes sont alignés suivant l’axe
horizontal (ox), puis ils se déplacent suivant les axes y et z.
1. Mode de variation de la chaine d’atomes (à 1
dimension)
La solution des équations de propagation d’une onde s’écrit :
(, ) = ( ‒ )0 (1)
3

Catégorie 1
Catégorie 2
Catégorie 3
Catégorie 4
catégorie5
catégorie6
catégorie7
catégorie8
catégorie9
catégorie10
Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.Pour compter les modes propres on ne s’intéresse qu’au
.terme de phase On utilise la méthode des conditions aux
limites périodiques :
Soit la longueur de la ligne d’atomes.
On suppose que les extrémités de la ligne ont le même état
de vibrations à l’instant .
2(0) = ()→ → = 2 =1=
2'ù = .
Chaque valeur de représente un mode de vibration. La
2
quantification de entraine celle de , c’est-à-dire =
= = 1,2,3…..avec , (mode de vibration dans un
cristal à 1 dimension).

Série 2
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Catégorie 1 Catégorie 2 Catégorie 3 Catégorie 4
La distance entre deux atomes (représenté par le point bleu) est .
2. Vitesse de dispersion
4

Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.= Vibrations transversales ;
= longitudinales.
Même raisonnement pour un cristal à trois (3) dimension :
⃗ ⃗( , ) = ( ,) ⁡ ( + + + )0 (2)
Conditions aux limites périodiques :
(,,, ) = ( + ,, ) = (, + , ) = (,, + )
2 2 2
=> = = =
; ; .
est le vecteur vibration (vecteur d’onde) de coordonnées
2 2 2
,
( , )
Lorsque nous traitons les oscillateurs en mécanique
quantique, l’énergie est quantifiée comme pour l’oscillateur
harmonique :
1( ) = + ℏ (), ( )2 (3)
() ,L’énergie totale s’obtient en sommant la moyen de :

1= (〈 〉 + )∑∑ 2 ()ℏ
ℏ () 1 = + ℏ ()∑∑[ ]exp ℏ ( ) ‒ 1 2[ ]
Dans la distribution de Bose, l’énergie moyen ainsi que la moyenne du
nombre de particules sont :
1〈 〉 = + + + ℏ〈 〉 〈 〉 〈 〉( )2 (4)
5

Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.1= = =〈 〉 〈 〉 〈 〉 exp (ℏ ) ‒ 1
(5)
〈 〉Détermination de
On sait que la fonction de répartition est de la forme :

= ⁡ ( ‒ ) = ⁡ ( ‒ )∑ ∑
= 1 0 et pour ; on a avec
= ℎ .
∂ ℎ ⁡ ( ‒ ℎ )=‒ =∂ 1 ‒ ⁡ ( ‒ ℎ )Or
ℎ= exp ( ℎ ) ‒ 1
ℏ exp ( ℎ ) ‒ 1 =
(6)
1= 1 ‒ ⁡ ( ‒ ℎ)Etant donné que
(7),
1= ℏ( + )2 => 〈 〉~ℏ 〈 〉On sait que
(8)
1〈 〉 ==> exp (ℏ ) ‒ 1(6)=(8) relation de Bose-Einstein.
(9)
Déterminons l’énergie par particule
2 3= ( )⃗Dans l’espace des Le volume à trois dimension est et contient
3 3(2 ) 8= =( )
une valeur de c’est-à-dire .
6

Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.38( )Le nombre de valeurs possibles dans la couronne est avec
= (densité des modes longitudinaux).
+ + +
ℏ () 1= + ℏ ()∑∫ ∫ ∫ 3{ }⁡ (ℏ ()) 28
‒ ‒ ‒D’où :
+ + +
ℏ ()
= ∑∫ ∫ ∫3 ⁡ (ℏ ())8
‒ ‒ ‒
+
+ … ℏ3∑∫16

+ + +

= +∑∫ ∫ ∫3 exp ( ) ‒ 1( )8
‒ ‒ ‒

(10)
3. Variation de la capacité calorifique
∂= ( )∂Par définition : (11)
3.1. Capacité calorifique aux températures élevées
ℏ ( ) ≪ 1 =>Pour les températures élevées

7

Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.ℏ ()
=
Avec
ℏ ()
≅1 + ()∞ = 1 + =>A l’infini ( ) ;
ℏ ()= 1 +

On a alors :
+ + +
ℏ ()
= +3∑∫ ∫ ∫ ℏ ()8
‒ ‒ ‒
+ + +3
= +3∑ ∫ ∫ ∫8
= 1
‒ ‒ ‒
+ 3= × 3 [ ]3 ( )‒8
3 3 = ( )38
= 3( 3)

= 3 (12)
= 3
On suppose que le nombre total d’atomes est (13)
∂=> = ( )∂
= 3 = 3 (14)
→∞ => = 3 pour une mole(résultat de la théorie d’Einstein).
8

Hardet Aimlain NGOMA-capacité calorifique des solides.C’est la loi de Dulong et Petit.
3.2. Capacité calorifique aux très basses
températures
∞Dans ce cas la limite supérieure de l’intégrale devient infini ( ), c’est-à-dire
ℏ () ≫ 1que
ℏ ()=> ≪ =

= : Et
+ ∞ + ∞ + ∞

= +∑∫ ∫ ∫3 ‒ 1( )8
‒ &#

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