Pattern formation of magnetic nanoparticles on surfaces [Elektronische Ressource] / Andrea Elisabeth Kampfer

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• Publié par: technische_universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Pattern Formation of
Magnetic Nanoparticles on Surfaces
Andrea Elisabeth Kampfer
VollständigerAbdruckdervonderFakultätfürMathematikderTechnischenUniversitätMünchen
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof.Dr. Martin Brokate
Prüfer der Dissertation: 1. UnivDr.Dr.h.c.mult. Karl-Heinz Hoffmann
2. Univ.-Prof.Dr. Peter Rentrop
3. Priv.-Doz.Dr. Martin Kružík,
Akademie der Wissenschaften Prag / Tschechien
(schriftliche Beurteilung)
Die Dissertation wurde am 20.05.2010 bei der Technischen Universität München eingereicht
und durch die Fakultät für Mathematik am 08.09.2010 angenommen.Abstract
Magnetic nanoparticles on a surface form a pattern under the influence of an applied external
magnetic field. This thesis encompasses the derivation of a new mathematical model for this
pattern formation, its detailed analytical treatment and numerical simulation. The obtained
model combines the concepts of micromagnetism with a particle distribution function first
introduced by Cahn and Hilliard. The model takes into account the underlying physical forces
and energies. The existence of a minimum of the free energy is proved by means of the direct
method. Fornumericalsimulation,theproblemisconsideredasaconstraintglobalminimization
problem. Thesimulationresultsareingoodagreementwiththeexperimentaldataandtherefore
support the derived model.
Zusammenfassung
Unter dem Einfluss eines externen Magnetfeldes bilden magnetische Nanopartikel auf einer
Oberfläche ein Muster. Diese Arbeit umfasst die Herleitung eines neuen mathematischen
Modells, das diese Musterbildung beschreibt, dessen mathematische Analyse und numerische
Simulation. Das verwendete Modell kombiniert mikromagnetische Beiträge mit einer Par-
tikelverteilungsfunktion nach Cahn und Hilliard, wobei die relevanten physikalischen Effekte
berücksichtigt werden. Durch die direkte Methode wird die Existenz eines Minimums der freien
Energie gezeigt. Für die numerische Simulation wird das Problem als beschränktes globales
Optimierungsproblem aufgefasst. Die Simulationsergebnisse stimmen gut mit experimentellen
Ergebnissen überein und bestätigen somit das hergeleitete Modell.iiAcknowledgement
First of all I would like to thank my advisor Prof.Dr.Dr.h.c.mult. Karl-Heinz Hoffmann for
having confidence in me and for his support over the years. He encouraged this work and en-
abled my stay at caesar where I met various scientists that study nanoparticles.
I would like to thank the chemist Dr. Michael Hilgendorff who I met at caesar. He introduced
me to the matter of nanoparticles and answered patiently my questions. He also made it pos-
sible for me to synthesize nanoparticles in the laboratory.
My special thanks go to Priv.-Doz. Dr. Martin Kružík for the various interesting and fruitful
discussions during his stays in Munich and for his encouragement.
Financial support by the Deutsche Forschungsgemeinschaft through the graduate program
“Angewandte Algorithmische Mathematik” at the Technische Universität München is grate-
fully acknowledged.
I thank my fellow members of the graduate program and my colleagues at the TU for their
support. The discussions with you were motivating and brightened up my days.
I am indebted to Christian and Irmi for proofreading and helpful comments on my drafts.
Last but not least I would like to thank my boyfriend, my family and my friends for all their
support, patience and encouragement during the ups and especially the downs while I was
working on this thesis.ivContents
Table of symbols ix
1 Introduction 1
2 Modeling 5
2.1 Introduction to nanoparticle technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Nanoparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Basic modeling assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Concepts of micromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Magnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Magnetic domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Magnetic particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 Recapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Energy equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
vvi Table of Contents
2.3.1 Magnetic energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Energy due to particle interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Total energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Mathematical analysis 29
3.1 Direct method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Coercivity of E(·,·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Weak sequential lower semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Simulation 39
4.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 Triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 Finite element discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Global Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Basics: nonlinear constrained optimization problem . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Results of simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.2 Initial values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Table of Contents vii
4.4.3 Parameters and their influence on the simulation . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Summary and perspective 73
A Analytical help 75
A.1 Boundedness of divergence of m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B Discretization 77
B.1 Basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.2 Elementwise calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.3 Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Bibliography 81viii Table of Contents