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Pénalisations de marches aléatoires, Penalization of random walks

De
136 pages
Sous la direction de Bernard Roynette
Thèse soutenue le 09 novembre 2007: Nancy 1
Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité. La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail: Soit (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) la marche aléatoire symétrique où Fn est la filtration canonique. Pour des fonctionnelles positives et adaptées G:N*Omega->R+, j'étudie pour tout n dans N, pour tout An dans Fn, la limite quand p tend vers l'infini de la quantité: Ex[An Gp] / Ex[Gp] Quand cette limite existe, elle est égale à Q(An):=Ex[An Mn] où (Mn,n>=0) est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de Q induit une nouvelle probabilité sur (Omega,F) et on étudie alors (Xn,n>=0) sous Q. Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel. Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente.
-Temps de séjour
-Formule de Dynkin
-Chaînes et processus de Bessel
-Changement de probabilité
The subject of my thesis is the theory of penalisation originaly developed by B .Roynette, P. Vallois and M. Yor in the case of the brownian motion. In a few words, it consists in putting a weight on the probability measure to favorise trajectories with probability measure equals to zero. The first part of my thesis is the discrete counterpart of their work : let (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) the symmetric random walk and Fn is the canonical filtration. For some adapted and positive functionals G:N*Omega->R+, I study for all n in N, for all An in Fn, the limit when p goes to infinity of the quantity: Ex[An Gp] / Ex[Gp] When this limit exists, it is equal to Q(An):=Ex[An Mn] where (M_n,n>=0) is a positive non uniformly integrable martingale. The definition of Q induces a new probability on (Omega, F) and then I study (Xn,n>=0) under Q. In a second part, I try to expend this theory to birth and death Markov processes. Recall that these processes have the property that, after an exponential random length of time, only transitions to neighbouring states are possible. Precisely, I penalize the distribution of the transient birth and death process by the number of visits at the state 0 (which is like local time type penalization). When I force the process to visit an infinitely often the state zero, I prove that, under the new probability measure induced by penalization, the process behaves as a recurrent birth and death process.
Source: http://www.theses.fr/2007NAN10091/document
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LIENS


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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
´Ecole Doctorale IAE + M
Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
D.F.D. Math´ematiques
Th`ese
pr´esent´ee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I
en Math´ematiques
par
Pierre DEBS
P´enalisations de marches al´eatoires
Soutenue publiquement le 9 Novembre 2007
Membres du jury :
Jean Bertoin Examinateur Professeur, Universit´e Paris VI
Dominique L´epingle Examinateur Professeur, Universit´e d’Orl´eans
Bernard Roynette Examinateur Professeur, Universit´e Nancy I (Directeur de Th`ese)
Pierre Vallois Examinateur Professeur, Universit´e Nancy I
Rapporteurs :
Michel Emery Directeur de Recherche CNRS, Strasbourg
Marc Yor Professeur, Universit´e Paris VI
´Institut Elie Cartan Nancy, Laboratoire de Math´ematiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-l`es-Nancy CedexTable des mati`eres
Introduction 5
Premi`ere partie 7
Deuxi`eme partie 11
Chapitre 1. P´enalisation de la marche al´eatoire sym´etrique 13
1. Introduction 15
2. Principe de la P´enalisation : Quelques r´esultats g´en´eraux 20
3. P´enalisation par une fonction du maximum unilat`ere 25
4. P´ion par une fo de S 36gp
5. P´enalisation par une fonction de S 54dp
∗6. P´ion par une fo de S 60gp
7. P´enalisation par une fonction du temps local 73
8. P´ion par la longueur des excursions 82
9. P´enalisation par le nombre de descentes entre a et b 99
Chapitre 2. P´enalisation de chaˆınes et processus de naissance et de mort 111
1. Introduction 113
2. Notations et r´esultats principaux 114
3. D´emonstration des r´esultats principaux 117
4. Chaˆınes de Bessel et autres exemples 127
Conclusion et perspectives 131
Bibliographie 133
3P
E
P
P
E
P
1
P
Introduction
W
+Soit Ω =C(R→R ), (B,F, t≥ 0),F = F, (x∈R) le mouvement brownient t ∞ t xt≥0
canonique, ou`F :=σ{X ,s≤t}, t≥ 0 d´esigne la filtration naturelle.t s
Consid´erons `a pr´esent le processus de Bessel de dimension 3 issu de x > 0, not´e (R,t≥ 0).t
Ce dernier peut ˆetre obtenu en conditionnant le processus (B,t≥ 0), lorsqu’il est issu de x, a`t
atteindre 0 en un temps infini. Cependant il existe bien d’autres fa¸cons de le construire :
1 2 3(1) Soit(W = (W ,W ,W ),t≥ 0)unmouvementbrowniendedimension3telqueW =t 0t t t p
1 2 2 2 3 2(x,0,0). Si on pose R :=kWk = (W ) +(W ) +(W ) , alors (R,t≥ 0) est unt t tt t t
processus de Bessel de dimension 3 issu de x.
(2) Le processus de Bessel de dimension 3 issu de x est la solution de l’EDS :
Z t 1
R =x+ ds+W (0.1)t t
R0 s
ou` (W,t≥ 0) est un mouvement brownien standard issu de 0.t
(3) Soit (W,t≥ 0) un mouvement brownien issu de x et posons S = sup{X ,s≤t}. Sit t s
l’on pose :
∀t≥ 0, R = 2S −X, (0.2)t t t
alors (R,t≥ 0) d´esigne un processus de Bessel de dimension 3 issu de x.t
Comme annonc´e plus haut, le processus de Bessel (R,t≥ 0) peutˆetre obtenu en conditionnantt
un mouvement brownien issu dex a` atteindre l’´etat 0 en un temps infini. Cependant, il n’existe
pas de mani`ere canonique de conditionner par un ´ev´enement de probabilit´e nulle.
L’une d’entre elles consiste en la construction d’une mesure de probabilit´e Q sur (Ω,F ),∞
”proche” de la mesure au sens suivant :
il existe une (F, ) martingale positive (M , t≥ 0), avecM = 1 et telle que, pour toutt≥ 0 :t t 0
Q =M , Q(X > 0,∀u≥ 0) = 1.|F t |F ut t
Pluspr´ecis´ement,supposonsalorsque(B,F, t≥ 0)soitissudex> 0,posonsI := inf{B ,s≤t}t t t s
BtetsoitM := .Ilest´evidentque(M,t≥ 0)estunemartingalearrˆet´eelorsque(B, t≥ 0)t I >0 t ttx
atteint le niveau 0. D´efinissons maintenant la probabilit´e Q sur (Ω,F ) par :x ∞
∀t≥ 0,∀Λ ∈F, Q (Λ ) = (M Λ ) (0.3)t t x t x t t
Posons pour tout a∈R, T := inf{t≥ 0,X =a}. En utilisant le Th´eor`eme d’arrˆet de Doob,a t
il est ´evident que :
Q (I < 0) =Q (T <∞) = [M ] = 0 (0.4)x ∞ x 0 x T0
et pour x>a> 0 :
a
Q (I <a) = [M ] = (0.5)x ∞ x Ta x
loi
Ainsi, sous Q : I =U ou`U est une variable al´eatoire uniforme sur [0,x].∞ [0,x] [0,x]
2Si l’on consid`ere f∈C (R,R), en utilisant la formule d’Itˆo et la d´efinition de la probabilit´e
51
E
1
1
E
P
1
P
1
P
E
E
P
1
E
E
E
E
E
1
E
E
E
P
E
1
E
E
E
6 INTRODUCTION
Q , on obtient :x

Bt∧TQ 0[f(B )] = f(B )t∧T x t∧Tx 0 0 x
Z Z Zt∧T t∧T t∧T0 0 0 0 0 00f (B )B +f(B ) f (B ) B f (B )s s s s s s
= f(x)+ dB + ds+ dsx s
x x 2x0 0 0
Z Z
t∧T 0 t∧T 000 0f (B ) B f (B )s s s
= f(x)+ ds+ dsx
x 2x0 0
Z Zt∧T t∧T0 0 0 00f (B ) f (B )s sQ= f(x)+ ds+ dsx B 2s0 0
et comme sous Q (T <∞) = 0 :x 0
Z Zt t0 00f (B ) f (B )s sQ Q[f(B )] = f(x)+ ds+ ds (0.6)tx x B 2s0 0
Sous Q , le g´en´erateur infinit´esimal du processus (B,t≥ 0) est donc :x t
01 f (r)
00Lf(r) = f (r)+ (0.7)
2 r
Par ailleurs, c’est celui d’un processus de Bessel de dimension 3.
La martingale (M,t≥ 0) s’obtient de mani`ere naturelle en ´etudiant la limite quandt→∞ det
la quantit´e :
[Λ ] [Λ [ ]]x s T >t x s T >s X T >t−s0 0 s 0= (0.8)
[ ] [ ]x T >t x T >t0 0
ou` s≥ 0 et Λ ∈F . En remarquant que :s s
x
√(T >t) ∼ (0.9)x 0
t→∞ 2πt
et en utilisant la propri´et´e de Markov, il est facile de montrer que (0.8) converge vers [Λ M ].s s
Remarquons que cela revient `a conditionner par l’´ev´enement de probabilit´e nulle I > 0.∞
L’exemple pr´ec´edent est une illustration de la m´ethode de p´enalisation : nous avons favoris´e
les trajectoires qui ne passent pas sous 0 en mettant un poids sur la mesure , c’est le rˆolex
jou´e ici par h(I ) = .t I >0t
La p´enalisation, si l’on se restreint au cadre pr´ec´edent, est une m´ethode m´ecanique de
construction de martingales, puis de probabilit´es Q sous lesquelles I est fini p.s.x ∞
L’id´ee est de mettre un ”poids” sur la mesure , lorsque c’est possible, avec des fonctions de
l’infimum moins triviales que pr´ec´edemment et qui auront pour effet de favoriser les trajec-
toires dont l’infimum ”ne descend pas trop bas”. Par exemple avec des fonctions h telles que
R∞
h(y)dy<∞.
0
Cette th´eorie a ´et´e introduite par B. Roynette, P. Vallois et M. Yor dans [RVY06b] mais elle
a vraiment ´et´e d´evelopp´ee dans [RVY06a].
Danscetarticle,sesauteursconsid`erent,commedansl’exemplepr´ec´edent,lemouvementbrow-
W
niencanonique (B,F, t≥ 0),F = F (x∈R) etconstruisentdesmartingales,puist t ∞ t xt≥0
desprobabilit´esQquinesontpasabsolumentcontinuesparrapporta` surF .Pluspr´ecis´ement,∞
B. Roynette, P. Vallois et M. Yor ont consid´er´e des fonctionnelles positives et adapt´ees Γ :
+
R ×Ω→R et pour Λ ∈F , ont ´etudi´e la limite de la quantit´e :s s
[ Γ ]x Λ ts
(0.10)
[Γ ]x t
lorquet tend vers l’infini. Ils´etablissent que pour beaucoup de processus (Γ,t≥ 0) cette limitet
existe et est de la formeQ (Λ ) := M ou` (M,t≥ 0) est une martingale positive nonx s {Λ } s ts
uniform´ement int´egrable. Ensuite, ils ´etudient les propri´et´es du processus canonique sous la1
1
E
P
E
P
E
E
1
E
`PREMIERE PARTIE 7
nouvelle probabilit´e Q .x
Cette ´etude a ´et´e r´ealis´ee pour plusieurs fonctionnelles et avec d’autres processus que le mou-
vement brownien unidimensionnel. Donnons un exemple : la p´enalisation par une fonction du
maximum unilat`ere du processus canonique not´e S := sup {B}. Ici, Γ = ϕ(S ) ou` ϕ estt s t ts≤t
+une fonction positive dont l’int´egrale surR vaut 1. Dans ce cas, le r´esultat obtenu est :
´ `Theoreme 0.1 (Th´eor`eme RVY).
(1) Pour tout s≥ 0 et tout Λ ∈F :s s
[ ϕ(B )]x Λ ts
lim = [ M ] (0.11)Λ ss
t→∞ [ϕ(B )]x t
La martingale obtenue est la martingale d’Az´ema-Yor. Plus pr´ecis´ement :
M =ϕ(S )(S −X )+1−φ(S ) (0.12)t t t t t
Rx
ou` φ(x) = ϕ(s)ds. Cette martingale est positive, non uniform´ement int´egrable : en
0
fait elle tend vers 0 lorsque t→∞.
(2) Sous la nouvelle probabilit´e Q :
(a) S est finie p.s. et sa densit´e de probabilit´e est ´egale a` ϕ.∞
(b) soit T := inf{t≥ 0,X =S }; (X,t≤ T ) et (S −X ,t≥ 0) sont deux∞ t ∞ t ∞ ∞ t+T∞
processus ind´ependants.
(c) Sachant que{S =a}, (X,t≤T ) est un mouvement brownien stopp´e lorsqu’il∞ t a
atteint le niveau a.
(d) (S −X ,t≥ 0) est un processus de Bessel de dimension 3 issu de 0, not´e∞ T +t∞
(R,t≥ 0), ind´ependant de (S ,T ).t ∞ ∞
(3) Soit R = 2S−X . Alors sous Q, (R,t≥ 0) est un processus de Bessel de dimensiont t t t
3.
Cette th`ese a pour objet d’´etablir une th´eorie semblable pour des processus discrets et se
d´ecompose en deux parties :
.dans la premi`ere, nous donnons une d´efinition g´en´erale du principe de p´enalisation puis nous
donnons le pendant discret de plusieurs r´esultats obtenus par B. Roynette, P. Vallois et M. Yor
(cf.[RVY06a],[RVY]).
.dansladeuxi`emepartie,nous´etudionslap´enalisationdanslecadredeschaˆınesetdesprocessus
de naissance et de mort.
Premi`ere partie
Dans cette partie, nous donnons la version discr`ete de r´esultats obtenus par B. Roynette,
P. Vallois et M. Yor, par p´enalisation du mouvement brownien unidimensionnel.
L’´equivalentdiscretdumouvementbrownienestlamarcheal´eatoiresym´etrique.Pluspr´ecis´ement,
soitΩl’ensembledesfonctionsX deNdansZ,tellesqueX(n+1) =X(n)±1,(X ,n≥ 0)lepro-n W
cessusdescoordonn´eesdecetespace,(F ,n≥ 0)lafiltrationnaturelleassoci´ee,F = Fn ∞ nn≥0
et (x∈N) la famille de probabilit´es sur (Ω,F ) telle que sous , X = (X ,n≥ 0) soit lax ∞ x n
marche al´eatoire standard issue de x. Lorsque x n’est pas indiqu´e, on consid`ere, pour all´eger
les notations, que la marche est issue de 0. Tout d’abord, nous donnons une d´efinition du
principe g´en´eral de la p´enalisation. Ce principe explique pourquoi lorque l’on ´etudie, pour des
+fonctionnelles G : Ω×N→R , des quantit´es du type :
[ G ]x Λ pn ,∀n∈N,∀Λ ∈F , (0.13)n n
[G ]x p1
E
1
1
E
E
P
E
E
1
E
1
8 INTRODUCTION
lorque p tend vers l’infini, alors les limites sont de la forme [ M ] ou` (M ,n≥ 0) estx Λ n nn
une martingale non-uniform´ement int´egrable. Ainsi, lorsque l’on d´efinit la probabilit´e Q parx
Q (Λ ) := [ M ], cette probabilit´e sousF n’est pas ´equivalente `a , ce qui justifiex n x Λ n ∞ xn
l’int´erˆet de l’´etude de (X ,n≥ 0) sous Q .n x
D’autre part,dans cette partie, onessaie d’expliquerpourquoi, dans laformule (0.13), on prend
des ´ev´enements qui sont dansF et non pas dansF .n ∞
Ce principe une fois ´etabli, la suite de cette partie est constitu´ee de plusieurs exemples de
p´enalisations de la marche al´eatoire. Pour faire le lien avec l’exemple que nous avons donn´e
dans le cas continu, nous n’´enon¸cons dans cette introduction que le r´esultat obtenu lorsque
+nous p´enalisons par une fonction du maximum unilat`ere. Soit donc ϕ :N→R telle que :
X
ϕ(k) = 1,
k≥0
+et on d´efinit φ :N−→R par :
k−1
X
φ(k) := ϕ(j)
j=0
Nous obtenons :
´ `Theoreme 0.2.
(1) (a) Pour tout n≥ 0 et tout Λ ∈F , la limite suivante existe et vaut :n n
[ ϕ(S )]0 Λ pn ϕlim = [ M ] (0.14)0 Λn n
p→∞ [ϕ(S )]0 p
ϕou` M :=ϕ(S )(S −X )+1−φ(S ).n n n nn
ϕ(b) (M ,n≥ 0) est une martingale positive, non uniform´ement int´egrable : en fait,n
elle tend vers 0 p.s. lorsque n→∞.
ϕ(2) Soit Q la probabilit´e sur (Ω,F ) caract´eris´ee par :∞
ϕ ϕ∀n∈N,Λ ∈F , Q (Λ ) = [ M ] (0.15)n n n 0 Λn n
ϕAlors sous Q , on a :
(a) S est fini p.s. et v´erifie pour tout k∈N :∞
ϕQ (S =k) =ϕ(k). (0.16)∞
ϕ(b) Soit T := inf{n≥ 0,X =S }; sous Q , T est fini presque surˆ ement et :∞ n ∞ ∞
(i) (X ,n≤T ) et (S −X ,n≥ 0) sont deux processus ind´ependants.n ∞ ∞ n+T∞
(ii) Sachant que{S =k}, (X ,n ≤ T ) est une marche al´eatoire standard∞ n k
stopp´ee lorsqu’elle atteint le niveau k.
(iii) (S −X ,n≥ 0) est une marche de Bessel de dimension 3 issue de 0,∞ T +n∞
not´ee (R ,n≥ 0), ind´ependante de (S ,T ).n ∞ ∞
ϕ(3) SoitR = 2S −X . Alors sousQ , (R ,n≥ 0) est une marche de Bessel de dimensionn n n n
3.P
P
`PREMIERE PARTIE 9
Dans la premi`ere partie de cette th`ese, les autres r´esultats se pr´esentent tous sous une
forme analogue a` celle du Th´eor`eme 0.2 : on donne d’abord la martingale puis on pr´esente
les propri´et´es de (X ,n≥ 0) sous la nouvelle probabilit´e Q. Remarquons que dans tous nosn
exemples, il existe une variable al´eatoire temps T qui joue un rˆole central, intimement li´ee
`a la fonctionnelle (T pour l’exemple ci-dessus). D’autre part, sous Q, avant cette variable∞
al´eatoire T, le processus conditionn´e par un ´ev´enement de probabilit´e positive (sous et Q),
estlemˆemesous etsousQ,lesmodifications´etantr´ealis´eesapr`esT.Afind’all´egercer´esum´e,
nousr´ecapitulonsdansletableauci-dessousnosautresr´esultats.Pourchaquep´enalisationnous
donnons la fonctionnelleG consid´er´ee, les conditions impos´ees `aG , la martingale obtenue, lap p
variable al´eatoire T et une description du processus apr`es T. Dans ce tableau, nous donnons
une description du processus apr`es T, ce processus apr´es T ´etant ind´ependant du processus
avant T.
Dans le tableau, MB(3) d´esigne une marche de Bessel de dimension 3, i.e. une marche al´eatoire
i+2positive dont les sauts sont d’amplitude 1 et telle que p = , i≥ 0.i,i+1 2i+2
De la mˆeme fa¸con, MB*(3) d´esigne une marche de Bessel* de dimension 3, i.e. une marche
al´eatoire strictement positive, dont les sauts sont aussi d’amplitude 1 et telle que p =i,i+1
i+1, i≥ 1.
2i