Nuevos avances en la articulación y en las aplicaciones de lógicas aléticas

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Lorenzo Peña «NUEVOS AVANCES EN LA ARTICULACIÓN Y EN LAS APLICACIONES DE LÓGICAS ALÉTICAS» publicado en Lenguajes naturales y lenguajes formales VII comp. por Carlos Martín Vide Barcelona: PPU (Promociones y Publicaciones Universitarias) 1992 págªs 209-220. ISBN 84-7665-988-1 NUEVOS AVANCES EN LA ARTICULACIÓN Y EN LAS APLICACIONES DE LÓGICAS ALÉTICAS Lorenzo Peña Instituto de Filosofía del CSIC New Advances in the Implementation and Applications of Truth Logics Von Wright’s Truth Logics are are shown to enjoy strong philosophical motivations and to possess attractive model-theoretic qualities. Some objetions levelled at them are unwarranted. Nonetheless, von Wright’s claim that one of his truth logics is a paraconsistent one is found fault with, since, unlike paraconsistent systems, all those truth logics enforce Cornubia’s rule (namely: p, ~p q). Alternative truth logics are briefly sketched. Sumario 1.— El enfoque de los “estados” en [TCC] 2.— Concepto fuerte y concepto débil del operador de verdad 3.— El desarrollo ulterior de LT 4.— ¿Es LT una lógica paraconsistente? 5.— Discusión de algunas críticas dirigidas el tratamiento de von Wright Llámanse lógicas aléticas (en inglés Truth Logics) a aquellos sistemas lógicos que contienen un operador especial, ‘T’, dotado de ciertas características que lo aproximen a la teorematicidad del esquema T de Tarski. En términos de lógica algebraica, será [lo correspondiente a] un operador topológico aditivo.

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• Publié par: laurentius
• Publié le: 07 août 2013
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Lorenzo Pea

«N UEVOS AVANCES EN LA ARTICULACIÓN Y EN LAS APLICACIONES DE LÓGICAS AL‡TICAS »

publicado en Lenguajes naturales y lenguajes formales VII comp. por Carlos Martín Vide

Barcelona: PPU (Promociones y Publicaciones Universitarias) 1992 págãs 209-220.

ISBN 84-7665-988-1

N UEVOS AVANCES EN LA ARTICULACIÓN Y EN LAS APLICACIONES DE LÓGICAS AL‡TICAS

Lorenzo Pea Instituto de Filosofía del CSIC

New Advances in the Implementation and Applications of Truth Logics Von Wright's Truth Logics are are shown to enjoy strong philosophical motivations and to possess attractive model-theoretic qualities. Some objetions levelled at them are unwarranted. Nonetheless, von Wright's claim that one of his truth logics is a paraconsistent one is found fault with, since, unlike paraconsistent systems, all those truth logics enforce Cornubia's rule (namely: p, ~p q). Alternative truth logics are brie y sketched. ¯

Sumario 1.Ð El enfoque de los ªestadosº en [TCC] 2.Ð Concepto fuerte y concepto débil del operador de verdad 3.Ð El desarrollo ulterior de LT 4.Ð ¿Es LT una lgica paraconsistente? 5.Ð Discusin de algunas críticas dirigidas el tratamiento de von Wright

Llámanselgicas aléticas(en inglésTruth Logics) a aquellos sistemas lgicos que contienen un operador especial, `T' d delesquemaTdeTarski. , En o t t ér ad m o in d o e s c d i e er l t  as gi c c a a ra al c g te e r b í r s a t i i c c a a , s se q r u á e [ l l o o a c p o r rr o e x s i p m o e n n di a e l n a te te a o ] r u e n m o a p ti e c r i a d d a o d r topolgico aditivo.

Una interesante familia de lgicas aléticas han sido propuestas e investigadas por Georg Henrik von Wright, en una serie de trabajos: «Time, Change and Contradiction» [1969, abr. aquí como «[TCC]»]; «Truth and Logic» [1984, abr. como «[TrL]»] Ðincluidos ambos en susPhilo- sophical Papers, resp. vols. II & IIIÐ; «Truth, Negation and contradiction»,Synthesevol. 66 [1986]; y «Truth Logics»,Logique et Analysimo lo abreviaré como «[ThLs]». El presente ensayo está dedi e lsalcigrpsaeupoasstesentrosajabcadoaestudiar ,7pp189ssE.3.11ulodltítelt . ee o s s t

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ §1.Ð Elenfoquedelosestadosen[TCC] La idea central de [TCC] es la de asociar unestadoa un lapso de tiempo. En vez de tomarse a so ectos p e r n á c c o t n ic si o d s er t a o c m i ar n u c n om es o t ª a t d ie o m y p l o l s a º m m a e r ro c s o i n ns l t a an e t x e p s r , e s s e i t  o n ma q n ue int u e s r e v m al o o s s p o a l ra p de s n . o Po m d i e na m rl o o sa a e l f aparte del tiempo en que el mismo tenga lugar. Así, si primero sucede que p y luego que no-p, diremos a q s u o e ci e a l ci la  p n so v total ás consideradose qu di e vi v d o e n e W n ri d g o h s t p s a u r p t o es n , e l q a u p e ri s m  e l r o a p p ue y de la ha s b e e g r u d n i d f a ere n n o- ci p a . e L n a tre a m lejos, puesto dos lapsos, t y t , si hay estados r y s tales que en t tenga lugar r y en t s, mas no viceversa. Eso equivale a suponer que serían idénticos cualesquiera lapsos indistinguibles por su contenido.

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Para que un lapso de tiempo sea in®nitamente divisible, es, pues, menester que haya una in®nidad de estados de cosas.

Supongamos ahora que primero sucede que p y luego que no-p. El cambio de p a no-p puede ser abrupto o bien continuo. Si es abrupto, no hay problema: podemos imaginar un cuerpo en tal estado durante todo el lapso t y que, perdiendo sbitamente esa cualidad, pasa de pronto al estado opuesto durante todo el lapso t , a pesar de que éste ltimo es inmediatamente posterior a t . Que eso se dé o no es otra cuestin. Pero Ðaade von WrightÐ hay cambios de los que pensamos que no son así, sino que son continuos; cambios en los cuales hay alguna transicin de lo uno a lo otro. En tales cambios no podemos tener que el estado p se dé durante todo el lapso t y no-p durante todo el lapso t , sino que ha de haber un tránsito de lo primero a lo segundo. Y, ¿en qué puede consistir ese tránsito? Segn von Wright no en que haya un lapso temporal durante todo el cual tengan lugar tanto p cuanto no-p, ya que ello constituiría una presencia completa del estado p y a la vez una ausencia completa de ese mismo estado; pueda darse o no, una combinacin tal de total presencia y total ausencia de un estado no podría constituir un paso de la presencia a la ausencia ni viceversa. ¡No!: lo que constituye el tránsito será un se la co sea verdad l l q o a u p e s s u o d b u t d r a i a l v n i q t d e u a e [ e t n o n i d p o s a ] e r a t él e v s s , e u r s c d i e a e d d m e p q q r u e u e e u d n n u a o r - a d p n e . te l E a s [ s t o o m d p i o u s ] e m d e a e s d s a e r r s p e á so s t i a s l u uc q n e u l d e a e p d s q u u ra e nt p e a n l p i a q t r a te e m , d p p e o or ell m a á s s ea q c u i e er s t e o o es t u que p pero también durante otra parte sea falso que p. Von Wright nos dice al respecto (p. 131):

I havenotwanted to assert that there are contradictions in nature, nor to deny that time is continuous. But I have tried to show that there is a relation between contradiction and the continuity of time. The observation is simply this: If a change is continuous, it will pass through a phase when the world is in both of two contradictorily related states.

Escrito en un momento en que las lgicas paraconsistentes apenas habían empezado a existir, ese trabajo de von Wright nos impresiona por su enorme lucidez, por el destello de clarividencia conelcualelg á ranlgicoesca a n r d a in n a u v es o tr s o e p a r n e ti s c e i n p t a e a pr p o l p an  t s e i a to mi e e s n e to x s am ac i t n u a a r le e s lo d p el er p a r d o o b r le q m ue a , . p S a i r n a embargo, lo m s interesante p un tratamiento formal de su enfoque, propone nuestro autor en ese lugar. Von Wright lo escribe como `N' (que quiere recordar la nocin de necesidad y así traer a colacin similitudes con el o el p l e o r s a e d r o á r i m lu o s d t alfuerte).Masvoy x a po p n er dr m é it m ir á m s e a t b r a a j n o s . c P ri a b r i a rl e o se co op m e o ra ` d T' o , r p p uestoquemepareceque rativo para lo que e ropone von Wright cuatro axiomas:

B1. T(p&q)↔.Tp&Tq B3. T(p∨ ~T(p&~p)~p) B4.

B2. T(p∨q)→.Tp∨Tq

bienes Es ci f er á t c o il q p u e e r l c a at c a o rs n e yu d n e ci q  ue n t d o e do es s o e s s c os ua p tr rincipiossededucend o e d l o, es m qu á e s m d a éb T il d q e ue Ta e rski,si o axiomas es, así y t l citado esquema. Podríamos ver en una lgica con ese operador un tratamiento formal de la nocin de verdad que no llegara tan lejos como la nocin presuntamenteªintuitivaº capturada por el esquema de Tarski, pero que se aproximara a ella razonablemente. Pues bien, la propuesta de von Wright al ®nal de su trabajo Ðcuando sugiere aceptar en cierto sentido contradicciones verdaderasÐ es, no la de suponer que haya lapsos a los que no se aplique el axioma B4 (principio alético de no- contradiccin), sino que los haya a los que se aplique la negacin de la instancia correspondiente

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d c e ont B ra 3.Esore v s e u n lt d a rá sindudasorprendente,yaqueentoncesunasituacindealgnmodo dictoria caracterizada no por la verdad de una contradiccin sino por la falsedad de la instancia correspondiente del tercio excluso. Si leemos `T' como `siempre' Ðque es una lectura prxima a la que en el citado trabajo brinda nuestro ®lsofoÐ, esos lapsos serán aquellos m lí p e r n o l p o o s n q e u o e tr s a e l a ec v t e u r r d a a d d e qu T e '( a en v l e a ce p s á p gã y 1 a 29 ve d c e e l s lo n c o .c - i p oom,c.)t roel.Pe v p e r r o d p a i d o t v o o t n al r o W p ig re h s t e i nc p ia c c o it m a p m l e e n t t a e ` del estado en cuestin. La idea sería entonces que hay situaciones en las cuales falla B3 porque en las mismas no es completamente verdad quep-o-no-p, toda vez que, en virtud de B2, si esto fueraverdad,ent d o e n y c o es p o on bi g e o n ` s c e o rí m a p c le o t m am pl e e n ta te m ' enteve á rdadquepobienseríacompletamenteverdad que no-p. (Don Ðtom ndolo del propio texto de von Wright: `the complete presence' vs `the complete absence of this state', expresadas respectivamente por «Tp» y por «T~p»Ð, cabe poner `siempre', que es una lectura preferida por von Wright en ese lugar.)

No me parece que, a pesar de sus inexagerables méritos, ese pl anteamiento resulte adecuado para comprender el cambio, por lo menos si persistimos en leer el operador considerado segn lo hace el propio von Wright, con una lectura temporal. Porque, si durante t es verdad que p y durante t que no-p, sin que t esté separado de t por ningn lapso intermedio, ¿como vamos a entender la existencia de un lapso en el que no sea verdad p-y-no-p, pero sí sea verdad que a veces p y a veces no-p? Sin duda podemos pensar en un lapso t que se superponga en parte con t y en parte con t y tal que en t se dé el tránsito del estado p al estado no-p. Lo que viene a proponernos ese tratamiento de von Wright es, no que sea verdad que en t sucede p o de otro yt o a d m o biénsucedeno-p,sinoqueentesverdadqueavec s es qu p e y [s a ie v m ec p e re s ] n n o o - - p; p. o, El di l c a h psotserá t m alqu , e, q p u o e r e m n á t s n q i u e e s lo a® d r iv m i a d b a l m e o q s, ue en [ c si o e n m tr p a r r e e ] m p os ni pa l r o te e ssuyasenlasquep,partesenlasque no-p, y partes en las que ni p ni no-p, e.d. partes en las que durante una parte p y durante otra ea u p n a á r a te de no e r - s d p t a . a d s P q e  r u l o t e i ¿ p m c , a  s ot m r p o a o r s t e e e s s g , q u t u n e e d n o d p r u e á e n d q e e l u s e q e u r h e a a b s s e e í r a ? u P m n a á r s e s u c b v e l e a o r p d b s a o v d io p q ri q u m u e e e , n r o o pa e r n a e c l u q al u q e ui s e e r a, la p p o s r o l t o q m u e e n s os, m s ve -p. Lo de que siempre quede un residuo, por minsculo que sea, en el que no sean discernibles los estados sucesivos p y no-p slo se entendería si es que hubiera una ªmezclaº irresoluble de los mismos, p.ej. en casos de oscilacin. Pero evidentemente la intencin de von Wright no es la de referirse a oscilaciones, pues eso quitaría generalidad a su solucin.

Encambio,sileemoselop W e r radorc e o n m to o n u c n e o s deverd á a c d l completa(lectura de paso sugerida Ðya lo hemos vist sí est continuountrecho o te Ð m p p o o r ra v l o e n nelq i u g e ht f ) a , lleB3.Enesetrecho a s r e o rá po p r ar q c u i é al h m a e b n r t á ev e e n rd c a a d da p- tr y- á n n o s - i p t . o Lo que pasa es que para esta lectura sería probablemente mejor reforzar B2, reemplazando en él el functor condicional por un bicondicional. No slo es implicada la disyuncin entre la completa verdad de p y la de q por la completa verdad de la disyuncin entre p y q, sino también viceversa. En l decir ment a e m v e er di d d a a d e q n ue qu p e -o s - e q a . t S o i ta e l l m v e a n s t o ec e i s e t r á to d q el ue to p d , o se ll r e á no ( , a e m n a to y n o c r e a s bu es nd t a ot m al ie m n e t n o t , e ca v b e e rdadq ) ue to e t s a t l- á lleno-o-vacío (salvo que se rechace el principio de adicin, cual lo proponen algunos).

Lo que en cualquier caso resulta palmario es que, dentro de este enfoque, hay, o puede haber, entre lo [completamente o siempre] verdadero y lo [completamente o siempre] falso una ªzonaº intermedia. Si se identi®ca loverdaderoa secas con lo completamente o siempre verdadero, entonces esa zona será una en la que no se dará ni verdad ni falsedad. Dicho de otro modo: si los nicos valores veritativos son ªla verdadº a secas, entendida como lo totalmente

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verdadero, y ªla falsedadº a secas, entendida como lo totalmente falso, entonces este tratamiento contempla la existencia de «truth-value gaps» o huecos verivalentes.

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ §2.Ð Conceptofuerteyconceptodbildeloperadordeverdad En [TrL] ofrece von Wright un tratamiento formal del operador alético que aspira a poder dar cuenta satisfactoriamente de problemas como los de la verdad parcial, la vaguedad o tima cacin se s g i r m ad il u it a u li d d ( a p d ar d c e ia c l) ie c r o ta n s la pr p o r p o i b e l d e a m de á s tic y a e d l el ca es m c b r i it o o . a P n o t r er e i s o t r. a P  er l olac a o p n l e i xinvamu e c c h h o a m de ás v l e e r jo la s, do con los u t h o e d m a o v s ez vi q st u o el m os ás ax a i r o ri m ba a . sq H u e e lo p s ro aq p u on í: eahoravonWrightguardanestrechopareciqe

A1. T~p→~Tp

A2. Tp↔T~~p

A3. T(p&q)↔.Tp&Tq

A4. T~(p&q)↔.T~p∨T~q

A5. T~Tp↔~Tp

T Trátas E e l , p p r u o e p s i , o d v e o l n av W e r r i s g i h  t n pr r o e p fo o r n z e ad co a m d o el v a e x r i si o  m n a a B lt 2 er d n e ati § v 1 a . d P e er A o 4 e é n st e a l : nu T e ( v p∨ one q)↔p e . qufo ∨ any q.T o s a ® u x g s i t o u i r t m a u n y á e t l i n o c s d o o : vi c u e a j n o d if s a o a e r x s m i q o e u m m e a e m s n a t B e o 3 r e a y n ci B é o l 4 n c a d a l e d q a § u 1 l e , e s t s r i e a n a o e t s q e q u o u r e e e v m m ie á á n t t e i i n c c o a re e p e n o m r L p u l C a n z a (l a al T- d  os f g  i p r c o a r m c e l l a á si s e g i l c) ui a soda t á e r e e n r r u á e q s s e e l a t m su e qleu, ta teoremáticoenLT(lalgicaalética)ÐdondeunaT-frmulaesunafrm u u l l , aenlaquenohay a ningunaoracinque á n t o ic e o st t é o e d n as el la a s lc in an st c a e n d ci e a a s l d m e e A n 1 o , s A u 2 n , a A o 3 c , ur A re 4 n y ci A a 5 de y l d o o p s e r r e a g d l o a r s ` d T e '. i L nf T er a e  n a ci d a e , ese esquema axiom a saber: (MP): p , p→ Tp p Sin embargo estas dos reglas .q q la regla de Gdel, (RG): ; vienen propuestas tan slo para deducir teoremas a partir de teoremas.

Lo más de sealarse es que este sistema no reconoce como verdades lgicas aquellas que sean teoremas de LC y en las cuales algn enunciado no esté bajo el alcance de ninguna ocurrencia d of e r l e o c perado á r s de re verdad.Esavaaserunaconstantedelasreelaboracionesulterioresquenosha ido m cientemente von Wright.

Salta a la vista que este tratamiento no incorpora el esquema T de Tarsk a t n e o or e e s m te á o t r i e co m s á e t n ic L o T en est L á T. n Nisiquier p a ∨ me pT t , s )p o ~ eer ∨ áticoTp oV.p~T → n uenomasqsquelosep.Entre cealrespWrightdi)3 y,iTeuq ceo p tp(3. ↔ uqe p osn éstos: T( en ese marco aparecen como equivalentes el principio de tercio excluso y la llamada ley de bivalencia Ðlo que no quita para introducir un distingo terminolgico, si uno lo desea, diciendo que el tercio excluso es el esquema Tp∨~Tp , que sí es teoremático.

Ahorabien,siene m lt á raba u j e oa u n n teriormenteconsideradovonWrightparecenoadmitirentre lo verdadero y lo falso s q a zona que carecería tanto de verdad cuanto de falsedad (al haber identi®cado implícitamente la verdad con completa verdad), ahora contempla un operador dual del recién presentado `T'; aunque él no ofrece ninguna escritura especial, yo lo transcribiré como `L'. Defínese Lp como ~T~p . Vale en LT el esquema Tp→Lp : lo que es verdadero no es falso.