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UNIVERSITE Orsay Paris-Sud
ECOLE DOCTORALE ED 107
LABORATOIRE Institut de Physique Théorique, CEA Saclay

DISCIPLINE Physique théorique





THÈSE DE DOCTORAT
soutenue le 23/06/2011



par



Gaëtan Borot


Quelques problèmes de géométrie énumérative,
de matrices aléatoires, d'intégrabilité,
étudiés via la géométrie des surfaces de Riemann



Directeur de thèse : Bertrand EYNARD (CEA Saclay, CERN)


Rapporteurs : Philippe BIANE (Université Marne-la-Vallée)
Marcos MARIÑO (Université de Genève)

Examinateurs : Pavel BLEHER (Indiana Purdue University)
Henk HILHORST (Université Orsay Paris Sud)
Kurt JOHANSSON (KTH Stockholm)
Pierre VAN MOERBEKE (Brandeis University, UC Louvain)


Cette thèse a été financée par l’Ecole Normale Supérieure (2008-2009), puis une
bourse AMN du Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche (2009-
2011). Lors de mes travaux, j’ai bénéficié du soutien financier de l’ANR GranMa
(ANR-08-BLAN-0311-01), du CEA Saclay via l’IPhT, et de la fondation CFM pour
la recherche.Résumé
La géométrie complexe est un outil puissant pour étudier les systèmes inté-
grables classiques, la physique statistique sur réseau aléatoire, les problèmes de
matrices aléatoires, la théorie topologique des cordes, ... Tous ces problèmes ont
en commun la présence de relations, appelées équations de boucle ou contraintes de
Virasoro.Danslecasleplussimple,leursolutioncomplèteaététrouvéerécemment
[EO07a], et se formule naturellement en termes de géométrie différentielle sur une
surface de Riemann : la "courbe spectrale", qui dépend du problème. Cette thèse
est une contribution au développement de ces techniques et de leurs applications.
Pour commencer, nous abordons les questions de développement asymptotique
à tous les ordres lorsque N !1, des intégrales Ndimensionnelles venant de la
théorie des matrices aléatoires de taille NN, ou plus généralement des gaz de
Coulomb. Nous expliquons comment établir, dans les modèles de matrice et
dans un régime à une coupure, le développement asymptotique à tous les ordres
en puissances de N. Nous appliquons ces résultats à l’étude des grandes dévia-
tions du maximum des valeurs propres dans les modèles , et en déduisons de
façon heuristique des informations sur l’asymptotique à tous les ordres de la loi de
Tracy-Widom , pour tout > 0. Ensuite, nous examinons le lien entre intégra-
bilité et équations de boucle. En corolaire, nous pouvons démontrer l’heuristique
précédente concernant l’asymptotique de la loi de Tracy-Widom pour les matrices
hermitiennes.
Nous terminons avec la résolution de problèmes combinatoires en toute to-
pologie. En théorie topologique des cordes, une conjecture de Bouchard, Klemm,
Mariño et Pasquetti [BKMP09] affirme que des séries génératrices bien choisies
d’invariants de Gromov-Witten dans les espaces de Calabi-Yau toriques, sont so-
lution d’équations de boucle. Nous l’avons démontré dans le cas le plus simple, où
ces invariants coïncident avec les nombres de Hurwitz simples. Nous expliquons les
progrès récents vers la conjecture générale, en relation avec nos travaux. En phy-
sique statistique sur réseau aléatoire, nous avons résolu le modèleO(n) trivalent
sur réseau aléatoire introduit par Kostov, et expliquons la démarche à suivre pour
résoudre des modèles plus généraux.
Tous ces travaux soulignent l’importance de certaines "intégrales de matrices
généralisées" pour les applications futures. Nous indiquons quelques éléments ap-
pelant à une théorie générale, encore basée sur des "équations de boucles", pour
les calculer.Abstract
Complex analysis is a powerful tool to study classical integrable systems, sta-
tistical physics on the random lattice, random matrix theory, topological string
theory, ... All these topics share certain relations, called "loop equations" or "Vi-
rasoro constraints". In the simplest case, the complete solution of those equations
was found recently [EO07a] : it can be expressed in the framework of differential
geometryoveracertainRiemannsurfacewhichdependsontheproblem:the"spec-
tral curve". This thesis is a contribution to the development of these techniques,
and to their applications.
First, we consider all order large N asymptotics in some N-dimensional in-
tegrals coming from random matrix theory, or more generally from "log gases"
problems. We shall explain how to use loop equations to establish those asympto-
tics in matrix models within a one cut regime. This can be applied in the study
of large fluctuations of the maximum eigenvalue in