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Robust calibration of the Libor market model and pricing of derivative products [Elektronische Ressource] / Dennis Schätz

200 pages
ECOD·ODNEICS·MLUTÄTUniversitat UlmInstitut fur FinanzmathematikRobust Calibration of the Libor Market ModelandPricing of Derivative ProductsDissertationzur Erlangung des DoktorgradesDr. rer. nat.der Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften an der Universitat Ulmvorgelegt vonDipl.-Math. oec. Dennis Schatzaus IllertissenUlm, 2011ISREVINU·ODNARUC·ODNAmtierender Dekan: Professor Dr. Werner Kratz1. Gutachter: Professor Dr. Rudiger Kiesel, Universitat Duisburg-Essen2. Gutachter: Dr. Ulrich Rieder, Universitat UlmTag der Promotion: 28.02.2011AbstractThe Libor market model has established itself as the benchmark model for interest ratederivatives. If the observed correlation and volatility surfaces cannot be reproduced bya model, we cannot hope to get meaningful prices, therefore the crucial task, beforeit comes to pricing and hedging, is to calibrate the model to given market data. Anoverview of the Libor market model is given and it is shown how to obtain a robustcalibration. The big disadvantage of the model is that it cannot reproduce the typicallyobserved implied volatility smile.We show how to extend the model to include the market smile by making use ofstochastic volatility. For these stochastic volatility Libor market models a new timehomogeneous skew parametrization is introduced which has the capability of tting theobserved market data very well.
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Universitat Ulm
Institut fur Finanzmathematik
Robust Calibration of the Libor Market Model
and
Pricing of Derivative Products
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
Dr. rer. nat.
der Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften
an der Universitat Ulm
vorgelegt von
Dipl.-Math. oec. Dennis Schatz
aus Illertissen
Ulm, 2011
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NAmtierender Dekan: Professor Dr. Werner Kratz
1. Gutachter: Professor Dr. Rudiger Kiesel, Universitat Duisburg-Essen
2. Gutachter: Dr. Ulrich Rieder, Universitat Ulm
Tag der Promotion: 28.02.2011Abstract
The Libor market model has established itself as the benchmark model for interest rate
derivatives. If the observed correlation and volatility surfaces cannot be reproduced by
a model, we cannot hope to get meaningful prices, therefore the crucial task, before
it comes to pricing and hedging, is to calibrate the model to given market data. An
overview of the Libor market model is given and it is shown how to obtain a robust
calibration. The big disadvantage of the model is that it cannot reproduce the typically
observed implied volatility smile.
We show how to extend the model to include the market smile by making use of
stochastic volatility. For these stochastic volatility Libor market models a new time
homogeneous skew parametrization is introduced which has the capability of tting the
observed market data very well. Furthermore a new approximative terminal correlation
formula based on the same parameter averaging technique used for pricing in a stochas-
tic volatility Libor market model is presented. We look at a very robust calibration
procedure and show how to use it if there are no starting values available, here we
introduce some new approximations making it possible to use global optimizers. The
optimal choice of local and global optimizers for each step of the calibration will be
dealt with, especially how to make use of the di erential evolution algorithm, which has
attracted interest in the nancial community in recent times. Furthermore an analysis
of the robustness of the calibrated parameters over a speci c period is performed.
Two extensions to the cross currency Libor market model introduced by Schlogl are
developed. These make use of displacements and stochastic volatility to t the observed
skew and smile respectively.
The calculation of the Greeks for exotic interest rate derivatives is crucial for hedging
and therefore for trading these products. For a Libor market model this task can only
be ful lled by means of nontrivial Monte Carlo based methods. One possibility is to use
the proxy simulation scheme method, which makes use of the transition densities of the
discretized processes. When it comes to the calculation of these transition densities in
stochastic volatility models they can only be calculated by means of Fourier inversion.
A new method for the calculation of the weights is developed making use of the con-
ditional independence of the underlying from the stochastic volatility process, which
can be used for any model for which this independence holds. This is also the case
for the new stochastic volatility cross currency model. The developed estimators are
very similar to the estimators for a Libor market model and are fast enough to be used
in everyday practice. We show how the Greeks calculated by these proxy simulation
scheme methods perform compared to the nite di erences approximation and show
how the use of Sobol sequences in uences the results.Zusammenfassung
Das Libor Markt Modell hat sich mittlerweile als Benchmark-Modell fur Zinsderivate
etabliert. Wenn ein Modell die am Markt beobachteten Korrelationen und Volatilitats-
ober achen nicht reproduzieren kann, ist auch nicht davon auszugehen, dass es korrekte
Preise fur exotische Produkte liefert. Deshalb ist die entscheidende Aufgabe zuerst das
Modell an Marktdaten zu kalibrieren, bevor es zur Bewertung und zum Hedgen von
Produkten verwendet werden kann. In der vorliegenden Arbeit wird ein Uberblick uber
das Libor Markt Modell gegeben und gezeigt, wie man eine solche robuste Kalibrierung
erreichen kann. Der gro e Nachteil des Modells liegt darin, dass es nicht in der Lage
ist den am Markt beobachtbaren Smile abzubilden.
Es wird gezeigt, wie man es durch den Einsatz von stochastischer Volatilitat so erwei-
tern kann, dass auch der Smile kalibriert werden kann. Fur diese Libor Markt Mo-
delle mit stochastischer Volatilitat wird eine neue zeithomogene Parametrisierung fur
die Skews eingefuhrt, welche sehr gut geeignet ist um die Marktdaten zu reprodu-
zieren. Desweiteren wird eine neue approximative Formel fur die Terminale Korrela-
tion prasentiert die auf der gleichen Parametermittelung basiert, wie man sie beim
Preisen in einem solchen Modell anwendet. Eine bekannte robuste Kalibrierungsproze-
dur wird vorgestellt und es wird aufgezeigt, wie man diese verwenden kann wenn
keine Startwerte verfugbar sind. An dieser Stelle werden mehrere Approximationen
eingefuhrt welche den Einsatz von globalen Optimierern erlauben. Wir beschaftigen
uns mit der optimalen Wahl verschiedener lokaler und globaler Optimierer fur jeden
einzelnen Schritt der Kalibrierung und zeigen an welcher Stelle der Di erential Evo-
lution Algorithmus, welcher in letzter Zeit die Aufmerksamkeit der Finanzwelt erregt
hat, eingesetzt werden kann. Ausserdem wird die Stabilitat der Parameter uber einen
gewissen Zeitraum hinweg analysiert.
Wir entwickeln zwei Erweiterungen des Cross Currency Libor Markt Modells, welches
von Schlogl eingefuhrt wurde und verwenden dabei ein Displacement um den beobachte-
ten Skew und stochastische Volatilitat um den Smile zu reproduzieren.
Die Berechnung der Griechen fur exotische Zinsderivate ist zum Hedgen und damit
fur den Handel dieser Produkte von entscheidender Bedeutung. Fur ein Libor Markt
Modell muss auf nicht triviale Monte Carlo Methoden zuruckgegri en werden um diese
Aufgabe zu erfullen. Eine Moglichkeit ist das Proxy-Simulations-Schema Verfahren,
welches von den Ubergangsdichten der diskretisierten Prozesse abhangt. In einem Libor
Markt Modell mit stochastischer Volatilitat konnen diese nur mit Hilfe einer inversen
Fourier-Transformation berechnet werden. Es wird eine neue Methode zur Berechnung
der Gewichte fur das Proxy-Simulations-Schema Verfahren entwickelt, welche die bed-
ingte Unabhangigk eit der Forward-Zinsraten von der stochastischen Volatilitat ausnutzt
und fur alle Modelle anwendbar ist fur die diese Unabhangigkeit gilt. Dies ist insbeson- dere auch der Fall bei unserem neu entwickelten Cross Currency Libor Markt Modell mit
stochastischer Volatilitat. Die berechneten Schatzer sind sehr ahnlich zu denen in einem
normalen Libor Markt Modell und sind schnell genug um im Tagesgeschaft eingesetzt
werden zu konnen. Ausserdem wird die Performance dieser Proxy-Simulations-Schema
Verfahren im Vergleich zur Finiten-Di erenzen Approximation analysiert und gezeigt,
wie der Einsatz von Sobol Quasi-Zufallszahlen die Resultate beein usst.Contents
1 Introduction 1
2 Libor Market Model 7
2.1 Basic Products and De nitions in the Fixed Income Market . . . . . . . 7
2.2 Development of Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Introduction of the Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Modeling of Forward Libor Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Equivalent Speci cation and Rank Reduction . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Volatility Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.4 Correlation Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 Terminal Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Pricing of Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Caps and Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 CMS Spread Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4 Bermudan Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 Stripping of the Forward Interest Rate Curve . . . . . . . . . . . 38
2.5.2 Volatilities and Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.3 Caplet Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.4 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.5 CMS Spread Option Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.6 Choosing Products for the Calibration . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Displaced Di usion Libor Market Model 47
3.1 Modeling of Forward Libor Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Equivalence of the Modeling Approaches . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Terminal Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Pricing of Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Caplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55viii Contents
4 Stochastic Volatility Libor Market Model 57
4.1 Introduction of the Stochastic Volatility Libor Market Model . . . . . . 57
4.1.1 Modeling of Forward Libor Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Skew Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Parameter Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 E ective Skew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2 E ective Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Moment Explosion in Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Stochastic Volatility Swap Rate Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Fourier Transform-based Pricing of Products . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5.1 Caplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5.2 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.3 CMS Spread Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 A New Approximative Terminal Correlation Formula . . . . . . . . . . . 75
4.7 Calibration to Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.1 Daily Calibration Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.2 Initial Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Cross Currency Libor Market Models 89
5.1 Multicurrency Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Displaced Diusion Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Monte Carlo Based Pricing 99
6.1 Simulation Schemes for the Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1 Numerical Monte Carlo Simulation Schemes . . . . . . . . . . . . 99
6.1.2 Monte Carlo Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Transition Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.1 Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2 Displaced Di usion Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.3 Stochastic Volatility Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.4 Cross Currency Libor Market Models . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Calculation of Monte Carlo Sensitivities 115
7.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.1 Finite Di erences Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.2 Pathwise Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.3 Likelihood Ratio Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.4 Proxy Simulation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Contents ix
7.2 Sensitivities in the Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1 Finite Di erences Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.2 Pathwise Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.3 Likelihood Ratio Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.4 Proxy Simulation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3 Proxy Greeks in the Extended Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3.1 Displaced Di usion Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3.2 Stochastic Volatility Libor Market Model . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.3 Cross Currency Libor Market Models . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 Optimization Algorithms 135
8.1 Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.2 Downhill Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.3 Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.4 Di erential Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4.1 The Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.4.2 Closeup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5 Comparison and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9 Numerical Results 147
9.1 Calibration of the Stochastic Volatility Libor Market Model . . . . . . . 147
9.1.1 Bootstrapping of the Forward Rate Curve . . . . . . . . . . . . . 149
9.1.2 Pre-calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.3 Main-calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.1.4 Parameter Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2 Sensitivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2.1 Smooth Products - Caplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.2.2 Non-Smooth Products - Digital Caplets . . . . . . . . . . . . . . 163
9.3 Model Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Conclusion 171

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