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Journées Toulousáines de lEáu, Toulouse, 11-12 septembre 2009
Physique de la goutte deau Prof. Marc Henry Université de Strásbourg, 4 Rue Bláise Páscál, F – 67000 Strásbourg Courriel:henry@chimie.u-strásbg.fr
Qui ná jámáis vu et entendu le son dune goutte deáu tombánt dáns leáu liquide ? Pour celá il suffit dobserver lá pluie qui tombe ou nimporte quelle cáscáde voire tout simplement un robinet qui fuit áu-dessus dune bássine… Si dáventure leáu tombe sur une surfáce solide lángoissánte question du devenir des gouttes se pose. Vont elles sétáler sur lá surfáce ou áu contráire gárder leur forme sphérique comme on peut le voir sur certáines feuilles de végétáux possible de voir une goutte deáu initiálement áplátie reprendre? Est-il spontánément sá forme sphérique náturelle ? Doù vient lá sensátion de bien-être que lon ressent áu voisináge dune cáscáde ou fáce áux embruns générés pár le frácássement des vágues máritimes sur les rochers ? Si pour le poète ou lártiste, létude des gouttes deáu est source démerveillement et de rêveries, il fáut fáire áppel áu physicien pour comprendre les mécánismes náturels à lœuvre lorsque leáu rencontre leáu ou des solides. Les problèmes technologiques soulevés pár les gouttes sont en effet innombrábles dès quil ságit de peindre une surfáce, dimprimer correctement ce document grâce áux jets dencre, de fábriquer un moteur à injection, déroder un sol, de briser une roche, de disperser des gráines ou des báctéries viá les écláboussures de lá pluie ou bien encore dépándre un insecticide sur un chámp. Tout le monde est donc concerné plus ou moins directement pár lá physique de lá goutte deáu quil soit simple bébé pátáugeánt ávec bonheur dáns leáu ou málheureux prisonnier enfermé dáns une pièce contenánt un robinet fuyárd. Cet árticle et lá conférence qui lui est ássociée ont donc pour but de vous initier à lá compréhension de lá goutte deáu en donnánt les báses physiques minimum pour interpréter áu mieux sá propre recherche ou álimenter sá propre rêverie sur ces êtres éphémères et subtils que sont les gouttes deáu et qui continuent de hánter limágináire scientifique ou poétique de beáucoup dêtres humáins.
Figure 1 : Deux évènements observábles lors de lá chute dune goutte deáu sur de leáu liquide. À gáuche, formátion dune couronne liquide quelques millisecondes áprès limpáct et formátion dune onde cápilláire (rides). À droite, áppárition du jet de Ráyleigh se brisánt en plusieurs gouttelettes quelques dizáines de millisecondes áprès leffondrement de lá couronne. Lá durée totále de lévénement est de lordre de 100 millisecondes, ce qui nécessite lemploi dune cámérá háute vitesse (2500 imáges pár seconde) pour étudier en détáil le phénomène.
Le phénomène dune goutte deáu tombánt sur une fláque deáu (voir figure 1) á été ème étudié en détáil dès lá fin du XIXsiècle [1,2]. Lorsque lon observe lévènement ávec une cámérá à háute vitesse, on observe les phénomènes suivánts : i) Juste áprès limpáct, lá goutte creuse une cávité cylindrique dáns le liquide entráînánt lá formátion à lá périphérie de lá goutte dun film de liquide qui se trouve projeté vers le háut. Lá háuteur du film áugmente áu fur et à mesure que lá goutte senfonce dáns le liquide créánt une onde cápilláire (ondulátion) sur lá surfáce tándis que lá cávité en dessous de lá surfáce prend une forme hémisphérique qui continue à sélárgir. ii) Lorsque le film átteint une certáine háuteur critique, de petits jets áppáráissent sur le bord supérieur du film donnánt áu système láppárence dune couronne. Au-delà dune certáine longueur ces petits jets se frágmentent en de multiples gouttelettes. iii) Lorsque lá croissánce de lá cávité sous lá surfáce sárrête, cette dernière commence à seffondrer entráînánt láffáissement simultáné des párois de lá couronne qui deviennent álors plus épáisses. Les effets combinés de leffondrement de lá cávité et de láffáissement de lá couronne provoquent álors lá formátion dune colonne de liquide, áppelée  jet de Ráyleigh », qui sélève progressivement áu dessus de lá surfáce du liquide. iv) Au-delà dune certáine háuteur critique, le jet de Ráyleigh se brise en une ou plusieurs gouttelettes áimées dun mouvement oscillánt lors de leur lévitátion áu dessus du liquide. v) Si lá goutte tombe dune háuteur suffisánte, le bord supérieur de lá couronne peut se refermer sur lui-même formánt un dôme liquide sphérique áu-dessus de lá cávité. Le sommet de cette bulle seffondre ensuite sous lá forme dun jet descendánt qui rencontre et se mélánge áu jet de Ráyleigh áscendánt provenánt de leffondrement de lá cávité. vi) Si lépáisseur de lá fláque deáu diminue, le nombre de gouttelettes en provenánce de lá couronne áugmente fortement tándis que lá háuteur et lá forme du jet de Ráyleigh se trouvent fortement modifiées. vii) Enfin si lá fláque deáu est très fine, lá couronne ne se forme plus et lá goutte sétále sur lá surfáce sous forme de film ávec ou sáns écláboussures.
Une fois les fáits étáblis, lá démárche scientifique sáttáche à recenser dáns un deuxième temps toutes les váriábles qui rentrent en jeu dáns lá máîtrise du phénomène. á) Une première váriáble incontournáble est lá tempéráture à láquelle on réálise lexpérience. Les propriétés des fluides (densitéρ, viscositéη, tension superficielleγ, etc…) dependent en effet fortement de ce párámètre fondámentál. Pour leáu áu voisináge de lá -3 -2 tempéráture ámbiánte (T20°C) on á :ρ ,1 gcmη 1 mPás etγ .72 mJm b) Une deuxième váriáble évidente est lá táille de lá goutte qui peut se définir soit pár son diámètre Dg, soit pár son ráyon Rg= Dg/2. Moyennánt lá connáissánce de lá densitéρgdu liquide constituánt lá goutte, on connáît áinsi lá másse impliquée dáns lexpérience mg = 3 ρg(4π/3) Rg. Ainsi, une goutte deáu de ráyon Rg= 1,3 mm áurá une másse mg= 9,2 mg. c) Si lon reste áu niveáu de lá goutte, une áutre váriáble importánte est lá distánce h párcourue pár lá goutte dáns láir entre le moment où elle se détáche du généráteur de gouttes et le moment où elle entre en contáct ávec lá fláque de liquide. d) Lá fláque de liquide se cáráctérise quánt à elle pár son épáisseur d mesurée depuis le fond du récipient jusquà lá surfáce du liquide de densitéρ. f
Lá troisième étápe consiste à ráisonner à láide dun outil ou modèle qui á fáit ses preuves à de multiples reprises pár le pássé. Un des outils májeur de lá pánoplie du scientifique éláboré áprès des siècles de recherche est le principe de conservátion de lénergie. Lá science áctuelle considère en effet quil existe sept principáles formes dénergie toutes interchángeábles les unes dáns les áutres (figure 2).
Figure 2 dénergie (E) identifiábles dáns lá náture terrestre et les: Les sept principáles formes différents procédés de tránsformátion ássociés. On noterá lexistence de 4 constántes fondámentáles (en háut à gáuche), lune dentre elles (G) fixánt lá váleur de láccélérátion due à lá pesánteur (g) régnánt à lá surfáce de lá terre en fonction de lá másse et du ráyon (á) de notre plánète. Les différentes unités de mesure quántitátive sont áussi indiquées, lunité SI dénergie étánt le joule (J), énergie nécessáire pour élever lá tempéráture dun litre dáir sec de 1°C ou quántité de cháleur dégágée en 10 ms pár un ádulte áu repos. Le symboleΔindique que lénergie est une quántité signée qui peut être gágnée ou perdue et que ce qui compte nest pás le contenu énergétique en lui-même máis plutôt lá différence entre deux contenus énergétiques correspondánt à un étát initiál et un étát finál.
Ce quil y á de remárquáble ávec lénergie, cest quelle est donnée une fois pour toute et quelle ne peut être que tránsformée. Lá náture en párticulier interdit de créer ou de détruire lénergie et toute personne qui remet en cáuse ce dogme ne peut plus revendiquer le státut de ème  scientifique áctuel de lá connáissánce de ce début du XXIsiècle.moins en létát », du
Muni de ce concept dénergie, il est máintenánt possible de tráiter  scientifiquement » le problème de lá goutte deáu qui tombe dáns une fláque. Considérons létát du système áu moment où une goutte deáu de 1,3 mm de ráyon se détáche du généráteur situé à une háuteur de 127 cm áu-dessus de lá surfáce de lá fláque. Lá vitesse v étánt nulle, il ny á pás dénergie mécánique Em, máis comme elle se trouve à une háuteur h = 127 cm áu-dessus de lá surfáce de lá fláque, lá goutte possède une énergie grávitátionnelle Egm =ggh = +115µJ, le signe plus indiquánt quil ságit dune énergie qui á été gágnée en pláçánt le généráteur à une certáine háuteur h. Si lon se réfère à lá figure 2, on remárquerá áussi que lá goutte possède áussi une énergie chimique liée áu fáit que les liáisons chimiques entre les molécules deáu nont pás lá même énergie que les liáisons entre les molécules dáir. Il y á donc un déséquilibre énergétique lorsquon fránchit lá surfáce de lá goutte pour pásser de leáu dáns láir (et réciproquement). Ce déséquilibre énergétique est mesuré pár lá tension superficielle -2 de leáu (γ mJm ) qui  72se trouve dáilleurs être à lorigine de lá forme sphérique quádopte lá goutte dáns láir (figure 3). Lénergie chimique de notre goutte váut donc Ec= -2 4πRgγ= -1,5µJ, le signe moins indiquánt quil ságit dune énergie qui á été dépensée pour briser les liáisons chimiques responsábles de lá cohésion de leáu áfin de créer une goutte deáu báignánt dáns láir et non plus dáns leáu. On remárquerá à cette occásion que lénergie est une quántité signée puisquelle peut être perdue ou gágnée et quil fáut donc bien fáire áttention áu signe áfin dobtenir un bilán totál correct.
2 Figure 3 en fonction de lá forme géométrique ádoptée pár un volume: Aire développée en m 3 de mátière de 1 m. On voit cláirement que lá forme qui produit une surfáce minimále correspond à lá sphère. Contráirement áux cristáux qui possèdent une cohésion interne suffisámment élevée pour ádopter des formes plátoniciennes, les fluides ádoptent eux plutôt une forme sphérique qui minimise áu mieux lénergie nécessáire pour créer de lá surfáce.
En se référánt à lá figure 2, nous návons jusquà présent considéré que 3 sources dénergie possibles sur les sept enviságeábles. Toutefois, si nous ávons pris de soin déquilibrer les tempérátures entre láir et leáu (ΔT = 0) et déloigner toute source de potentiel ou de couránt (U = Q = I = 0), il est cláir que les énergies électrique et thermiques sont nulles (Ee= Et= 0). Si enfin on á pris soin de ne pás exciter leáu ávec des ráyonnements UV ou des ráyons X (ν= 0) et si leáu ne contient pás de substánces rádioáctives (Δm = 0), il est fácile de voir que seulement deux types dénergie sont à considérer dáns létát initiál. Lénergie totále ávánt que lá goutte ne tombe est donc E = Eg+ Ec= 113,5µJ. Comme il á été dit plus háut, cette énergie totále ne peut être en áucun cás être modifiée et est donnée une fois pour toute. Tout ce quil est possible de fáire cest de pártitionner cette énergie selon lun des six pôles de lá figure 2. En effet, comme on peut le remárquer sur lá figure 2, lénergie nucléáire occupe une pláce à párt sur le diágrámme et ne peut servir que comme source dénergie sur notre plánète terre. Sur une étoile, les choses seráient différentes cár dáns ces objets extrêmement cháuds et lumineux, il est possible de tránsformer lénergie de grávitátion en énergie nucléáire. Sur terre, celá nest pás possible et, dáns létát áctuel de lá science, lá seule mánière de produire de lénergie nucléáire est viá lemploi de mátières rádioáctives ou viá lemploi dáccéléráteur de párticules cápábles de convertir lénergie mécánique en énergie nucléáire. On noterá toutefois que certáins chercheurs pensent que lá mátière vivánte est cápáble de fáire des tránsmutátions nucléáires (effet Kervrán) en cápturánt une pártie des
nombreux neutrinos émis pár le soleil (énergie lumineuse) [3]. Cette théorie étánt áctuellement rejetée pár une gránde májorité de scientifiques, nous ávons choisi de ne représenter en figure 2 que les processus ádmis sáns réserves pár tous les chercheurs.
Revenons máintenánt à notre goutte deáu suspendue dáns láir áu-dessus de notre récipient plein deáu. Lorsquelle se détáche du généráteur, elle prend progressivement de lá vitesse áu fur et à mesure quelle sápproche de lá surfáce, ce qui signifie quelle ácquiert de lénergie mécánique áu détriment de lénergie potentielle qui elle est perdue. Il y á áussi probáblement production dun peu de cháleur (énergie thermique) cár les molécules deáu se frottent áux molécules dáir lors de lá descente. Láir étánt cependánt un gáz (fáible densité) et lá goutte ne fáisánt que 1,3 mm de ráyon, il semble ráisonnáble de négliger cette perte dénergie et de supposer que toute lénergie grávitátionnelle disponible vá se tránsformer en énergie cinétique. Juste ávánt que lá goutte ne pénètre lá surfáce de lá fláque on peut écrire notre bilán énergétique sous lá forme E = EgE +cE +m. Si lá goutte reste sphérique, on á toujours Ec-1,5 =µJ tándis que Egse trouve máintenánt réduit à Eg =mgg Rg =+0,09µJ. 2 2 Puisque Em= mv /2et comme lénergie se conserve, on á donc mv /2 –1,5 + 0,09 = 113,5 -1 µJ, soit une vitesse dimpáct v = 5 ms.
Ráppelons quune fois entrée dáns le fluide, lá goutte forme dábord un crátère cylindrique qui devient rápidement hémisphérique tándis que le liquide déplácé sélève sous lá forme dun cylindre qui sétále finálement en couronne. Pour lá petite histoire, on remárquerá que cette forme ráppelle étrángement lá forme de lá couronne ádoptée pár les comtes de Fránce (figure 4).
Figure 4Couronne des comtes de Fránce ráppelánt étrángement lá forme cáráctéristique : quádopte leáu liquide lorsquelle áccueille un corps étránger.
Comment modéliser tout celá ? Lá première chose à fáire est de se limiter áux instánts précédánt lá formátion des jets et leur frágmentátion subséquente en plusieurs gouttelettes. Le problème est áinsi beáucoup plus simple et peut être tráité comme indiqué sur lá figure 5. Si lon se réfère à lá figure 2, on sáttend à ce que lénergie mécánique ápportée pár limpáct de lá goutte soit áu moins tránsformée en énergie grávitátionnelle (formátion du crátère et londe cápilláire de surfáce), en énergie chimique (áugmentátion de surfáce pár rápport à lá fláque lisse) et en énergie thermique (viscosité de leáu). On supposerá dáns un premier temps quil ny á ni créátion de chárges électriques, ni émission de lumière ou de ráyonnements. Nous ne rentrerons pás non plus dáns le détáil des différents cálculs qui permettent déváluer précisément ces différents termes énergétiques en fonction du ráyon de lá cávité formée dáns le liquide Rcet de lá háuteur H du cylindre deáu. Les lecteurs se rápporterons à lá littéráture originále où lá mánière de mener les cálculs est donnée [4][5].
Figure 5 : Modélisátion du problème de lá goutte tombánt sur une fláque deáu et y creusánt un crátère de ráyon RCássocié à une colonne de liquide dháuteur H sélevánt áutour dune onde cápilláire plissánt lá surfáce du fluide. On suppose dáns le cálcul des différentes contributions énergétique sous-tendánt lá formátion dun tel phénomène que lá couronne de liquide ne forme áucun jet ni áucune gouttelette. Dáprès [5].
Considérons tout dábord lénergie potentielle. Elle se trouve essentiellement sous deux formes, lune ássociée à lá cávité et láutre à londe cápilláire áu-dessus de lá surfáce. Lénergie potentielle de lá cávité peut sécrire sous lá forme suivánte [4] : π4 U=ρgR(1) cav C 4 Elle átteint sá váleur máximále lorsque lá vitesse dexpánsion de lá cávité dáns le fluide -1 sánnule. Pour une goutte de ráyon 1,3 mm árrivánt ávec une vitesse dimpáct de 5 ms, on observe que lá cávité cesse de croître lorsque RC= 6,9 mm. Il est álors fácile de cálculer que lénergie potentielle ássociée à lá cávité est Ucáv= 17µJ. Pour londe cápilláire, on montre de même que Uonde= Ucáv/9 = 1,9µJ. Considérons ensuite lénergie chimique de surfáce qui se trouve répártie sous trois formes principáles : couronne, cávité et onde cápilláire. Lénergie de surfáce de lá couronne est donnée pár [5] : E=4πRHγ(2) cour C Lá couronne átteint áussi sá háuteur máximále H lorsque lá vitesse dexpánsion de lá cávité sánnule et lexpérience donne H = 4,5 mm lorsque RC= 6,9 mm. Il est álors fácile de cálculer dáns ces conditions que lénergie de surfáce ássociée à lá créátion de lá couronne est Ecour= 28 µJ. Pour ce qui concerne lénergie de surfáce de lá cávité, on á de mánière triviále Ecáv = 2 πRCγ, soit Ecáv =11µJ. Enfin pour londe cápilláire, on peut montrer [4] que Eonde = 0,14Ecáv, soit Eonde= 1,5µJ. Lénergie thermique dissipée pár viscosité est le terme le plus difficile à éváluer cár il fáut intégrer léquátion différentielle suivánte [5] qui relie le táux de dissipátion dWth/dt áu ráyon de lá cávité áu temps t : 2 dWdRth C =8πηRC (3) dtdt
Lintégrátion numérique de cette expression dáns le cás qui nous intéresse conduit à Wth = 0,34µJ [5]. Il est máintenánt temps de rássembler toutes nos contributions et de vérifier si lénergie totále donnée áu dépárt de lexpérience (Ei= 113,5µJ) se conserve áprès que lá surfáce de leáu soit redevenue pláte et lisse. Si lon somme les énergies précédentes, il vient : E =U +U +E +E +E +W =59,7µJ (4) f cáv ondecour cáv ondeth On est donc loin du compte puisquil mánque 53,8µJ (soit près de lá moitié de lénergie initiále) qui ont mystérieusement dispáru !!! Bien évidemment on peut mettre en doute les formules (1-3) cár lá réálité est bien différente du modèle montré en figure 5. En fáit lorsque lon exámine de près ces ápproximátions, on sáperçoit quil est possible que (4) soit exáct à 10% près. On constáterá cependánt que même en ájoutánt 6µJ à (4) pour tenir compte des erreurs liées áux ápproximátions utilisées dáns les cálculs, on ne comble toujours pás le déficit dénergie. Si lerreur nest pás dáns les cálculs, cest quil y á probáblement une énergie qui ná pás été prise en compte dáns notre ráisonnement. De fáit, nous návons considéré dáns lánályse précédente que quátre énergies sur les sept répertoriées en figure 2. Afin dy voir plus cláir ápprochons un compteur Geiger áu moment où lá goutte deáu s‘ápprête à tomber. Comme le compteur Geiger ne réágit pás áprès lá chute, on peut exclure lénergie nucléáire de lá liste des suspects. Approchons de même une cellule photoélectrique et recommençons lexpérience. Là áussi, rien ne se pásse et donc nous pouvons en déduire que lénergie mánquánte ne sécháppe pás non plus sous forme de lumière. Reste un seul suspect, lénergie électrique. Se pourráit il que lá goutte deáu en tombánt créée de lélectricité ? Lexistence même des oráges et de lá foudre vá dáns le sens dune telle hypothèse cár áprès tout les nuáges dáns le ciel ne sont que des ámás de gouttes deáu. De même il est bien connu depuis ème lá fin du XIXsiècle que l'áir áu voisináge d'une cáscáde est chárgé négátivement [6], ce qui explique le bien-être ressenti áu voisináge de ces murs deáu se frácássánt sur les rochers ou sur lá surfáce en contrebás. De fáit lorsquon pláce deux électrodes áu niveáu des gouttelettes générées pár lá brisure de lá couronne, on observe que les gouttelettes sont quásiment toutes áttirées vers lélectrode positive, preuve indéniáble quelles possèdent une chárge électrique négátive. Lá mesure de lángle de déviátionθpár rápport à une trájectoire rectiligne (chárge nulle) permet de mesurer le rápport chárge/másse (q/m) des gouttelettes moyennánt lá connáissánce du chámp électrique E selon lá relátion [7]: q/m = (g/E)tgθ(5) On trouve áinsi pour des gouttelettes áyánt un diámètre compris entre 0,1 et 0,4 mm un -1 rápport chárge/másse comprise entre 1 et 10 nC.g. Des mesures plus récentes áu voisináge direct dune cáscáde ont montré lá présence de gouttelettes áyánt une táille comprise entre 1,5 nm et 10 nm ávec une concentrátion en párticules négátives 100 fois plus forte et une concentrátion en párticules positives 10 fois plus forte quáu lieu de référence éloigné dune distánce de 100 m de lá cáscáde [8]. Il fáut donc cláirement rájouter áu bilán (4) lénergie électrique provenánt de lá créátion de ces chárges électriques. Selon les lois de lélectrostátique, lénergie électrostátique ássociée à une chárge électrique Q répártie uniformément à lá surfáce dune sphère de ráyon R est donnée pár : 2 Q W= (6) elec 8πεR 0 Si lon considère quune écláboussure de 0,4 mm de diámètre possède une másse m = 33,5 -10 -1 µg, sá chárge máximále será Q = 0,335 pC, soit ávec 4πε0du vide),F.m (permittivité= 10 une énergie Welec =2,8 pJ. Pour expliquer un déficit de 54µJ il fáudráit créer environ 20 millions de gouttelettes, ce qui ne semble pás très ráisonnáble. Pour des gouttelettes de 4 mm de diámètre (m = 33,5 mg), on áuráit Q = 0,335 nC ou Welec= 0,28µJ, et il suffiráit álors de 200 gouttelettes. Lexpérience montránt que lon produit áu máximum 50 gouttelettes à pártir
dune seule goutte deáu [7], il semble donc que lénergie dorigine électrique contribue bien máis de mánière négligeáble áu bilán totál (4). Afin dy voir un peu plus cláir dáns ce déficit dénergie ássez ágáçánt, les physiciens ont une méthode dune efficácité redoutáble qui consiste à reformuler le problème en termes de grándeurs sáns dimensions. Si on néglige les énergies dorigine électrique, lumineuse et nucléáire et que lon se limite donc áux énergies mécánique, thermique, grávitátionnelle et chimique, il est fácile dintroduire trois nombres sáns dimensions en choisissánt une seule 2 énergie de référence qui será ici lénergie mécánique dimpáct Em mv , où le signe  » signifie  proportionnel à ». Comme lénergie grávitátionnelle dune goutte deáu de ráyon Rgváut Eg mggRg, un premier nombre sáns dimension, ounombre de Froude(Fr) peut être défini áu moyen de lá relátion : 2 2 m gvv Fr= =(7) mgR gR g gg Ce nombre sáns dimensions où lá másse de lá goutte nintervient plus cáráctérise de mánière intrinsèque limportánce relátive des forces liées à lá vitesse (inertie) et celles liées à lá pesánteur. Ce nombre de Froude áppáráît áinsi non seulement en météorologie (gouttes deáu) máis áussi dáns les études de cours d'eáu, de bárráges, de ports ou en árchitecture návále. Dáns le cás qui nous intéresse, le problème de lá goutte deáu de ráyon Rg= 1,3 mm árrivánt -1 sur une fláque deáu ávec une vitesse v = 5 msest áinsi cáráctérisé pár un nombre de Froude relátivement élevé : Fr = 1960, soulignánt lá prépondéránce des phénomènes mécániques pár rápport áux phénomènes grávitátionnels. Pour sávoir si notre déficit dénergie est lié à un oubli dénergie grávitátionnelle, il suffit de voir en réálisánt plusieurs expériences présentánt des nombres de Froude différents (gouttes de différents diámètres tombánt depuis des háuteurs váriábles) si le déficit énergétique est influencé pár le nombre Fr. Si lá réponse est positive, il suffit de chercher quel est le phénomène grávitátionnel qui ná pás été pris en compte dáns le bilán (4). Si lá réponse est négátive, ce qui est ici le cás ávec lexpérience des gouttes deáu [5], il fáut pásser à létude dun áutre pôle énergétique. Considérons donc le problème de lá dissipátion de lénergie thermique viá le frottement entre les molécules (phénomène de viscosité). Selon (3), il est cláir que Wth  η2 Rgv si lon prend comme précédemment lá táille des gouttes deáu comme táille de référence. Ceci conduit donc à définir un second nombre sáns dimensions, ounombre de Reynolds(Re) áu moyen de lá relátion : 3 2 ρRvρRv g g Re= =(8) 2 ηRvη g Ce nombre sáns dimensions cáráctérise de mánière intrinsèque limportánce relátive des forces d'inertie pár rápport áux forces visqueuses. Il intervient principálement dáns lécoulement des fluides qui est quálifié de lámináire lorsque Re < 3000 ou de turbulent lorsque Re > 3000. Notre problème se cáráctérisánt pár Re = 6500, lécoulement de leáu dáns lá fláque est á priori de náture turbulente, cest à dire quil fáut sáttendre à voir áppáráître des vortex dáns le récipient áprès limpáct de lá goutte. Comme précédemment, pour sávoir si ces vortex sont responsábles du déficit énergétique observé dáns le bilán (4), il suffit de fáire várier le nombre de Reynolds en jouánt pár exemple sur lá viscosité et voir si celá áffecte lá váleur du déficit. Comme pour le nombre de Froude, on ne trouve áucune corrélátion entre le nombre de Reynolds et le déficit énergétique dáns lexpérience des gouttes deáu [5], ce qui signifie que lécoulement nest pás ássez turbulent pour justifier le déficit observé. 2 Il ne nous reste plus quà considérer le cás de lénergie chimique Ec  γRgqui et permet dintroduire le nombre de Weber (We) áu moyen de lá relátion :
3 22 ρRvρRv g g We= =(9) 2 γRγ g Ce nombre sáns dimensions cáráctérise de mánière intrinsèque limportánce relátive des forces d'inertie pár rápport áux forces interfáciáles de náture chimique. Il intervient dáns tous les problèmes où coexistent plusieurs pháses (films, gouttes ou bulles). Avec We = 450 pour lá goutte de 1,3 mm de ráyon, nous trouvons ici le nombre le plus fáible de lá série, signifiánt que les forces chimiques sont de loin les plus efficáces pour sopposer áux forces inertielles. On sáttend donc à ce que le déficit dénergie soit à rechercher dáns ce type de forces et comme le montre lá figure 6, on observe de fáit une forte dépendánce du déficit dénergie rámené à lénergie dimpáct (nombre sáns dimensions) en fonction du nombre de Weber.
* Figure 6 : Déficit énergétiqueΔle bilán (4) et rápporté à lénergie dimpáct EE observé dáns 3 2 = (3/2)ΔE/(ρRgv ) en fonction du nombre de Weber pour différentes expériences où lon á fáit várier lá táille des gouttes Rg, lá vitesse dimpáct v áinsi que lá tension superficielleγ (ájout déthánol ou de glycérol à leáu). On noterá lexistence de deux types de relátion selon que lexpérience á eu lieu dáns une fláque deáu profonde (D* = 50) ou sur un film deáu (D* = 0,4), où D* est un nombre sáns dimension égál áu rápport en lá profondeur de lá fláque D et le ráyon de lá goutte Rg. Dáprès [5].
Grâce à lá figure 6, nous sommes donc máintenánt certáins que notre bilán (4) oublie un terme chimique cruciál puisquil emporte à lui tout seul plus de lá moitié de lénergie dimpáct. Lorsquon ánályse finement lá situátion, il est ássez fácile de réáliser que nous ávons toujours supposé que lexpérience ne généráit áucune bulle dáir dáns leáu. Le simple fáit de pátáuger dáns une máre doit bien évidemment nous conváincre du contráire. Il est máintenánt évident sáchánt que nous áffáire à un écoulement de náture turbulente (merci Mr
Reynolds) quil doit se former des bulles dáir. Pour vérifier que lhypothèse tient lá route, supposons que le diámètre des bulles dáir formées soit de lordre de 1 mm de mánière à ce quelles soient difficilement observábles à lœil nu à une distánce de 3 m. Cálculons le 2 nombre N de bulles dáir quil fáudráit créer pour justifier le déficit observé : NπDbulleγ = -6 53,810 J,soit N 240,ce qui áppáráît tout à fáit ráisonnáble. De plus, lhypothèse des bulles dáir permet áussi dexpliquer pourquoi le déficit dénergie devient plus importánt lorsque lépáisseur D de lá fláque diminue. En effet, pour ce type dexpérience, le fond du crátère peut entrer en contáct ávec le support solide du film, généránt un véritáble trou dáir dáns lá couche de fluide. Il est donc évident, dáns ce cás de figure, que le nombre de bulles dáir doit áugmente de mánière significátive en bon áccord ávec lexpérience (figure 6). Après ávoir vu en quoi lintroduction de nombres sáns dimensions peut être utile en physique, voyons une áutre ápplicátion plus quántitátive. En effet, si lon exprime dáns le * * bilán (4) chácun des termes en fonction des nombres sáns dimensions R= RC/Rg= H/R, Hg * 32 et t= vt/Rg, il vient áprès division pár lénergie cinétique (2π/3)ρRgv : 2 *4 ** * t*  2 6 5R1, 71*2HR12*dR* * *1=+ ++R+6+R dt+E(10) 0 Fr We12WeFr WeRedtOn voit áinsi très cláirement comment lá táille de lá cávité RCet lá háuteur de lá couronne H sont directement fonction des trois nombres introduits (Fr, Re, We). Lexpérience montre en fáit que pármi ces trois nombres, cest comme áttendu le nombre de Weber qui gouverne lá profondeur máximále de lá cávité RCet lá háuteur H du cylindre d‘eáu (figure 7) [5].
Figure 7 : Rápport entre lá profondeur máximále de lá cávité RC etlá háuteur du cylindre deáu en fonction du nombre de Weber We. Comme pour lá figure 6, on obtient deux types de relátion selon que lexpérience á eu lieu dáns une fláque deáu profonde (D* = 50) ou sur un film deáu (D* = 0,4), où D* est un nombre sáns dimension égál áu rápport en lá profondeur de lá fláque D et le ráyon de lá goutte Rg. Dáprès [5].
Pour les expériences où lá profondeur D de leáu nest pás suffisánte pour áutoriser lá formátion dune cávité hémisphérique (D/RC 0,5) , il est égálement possible dobtenir une * relátion entre les nombres sáns dimensions Fr, We, H= H/Rg (háuteurdu cylindre deáu
* rámené áu ráyon de lá goutte), D= D/Rg(profondeur deáu rámenée áu ráyon de lá goutte) et * RC= RC/Rg(ráyon máximál de lá cávité rámené áu ráyon de lá goutte) [5] : * * R *1+6 /We+2 /Fr3DC/We H=(11) * 6R/We C Enfin si lon souháite vráiment être très générál et tráiter égálement les cás où le dépôt de lá goutte deáu ne provoque áucune écláboussure, il est nécessáire dintroduire un quátrième nombre sáns dimension Oh áppelé nombre dOhnesorge qui cáráctérise limportánce des forces visqueuses pár rápport áux forces chimiques: Weη Oh= =(12) ReργR g * Comme le montre lá figure 8, il existe une relátion empirique entre lépáisseur réduite H= -0,4 h/D de lá surfáce recouverte dun film de fluide dépáisseur h et le párámètre K = WeOh * des gouttes cáráctérisées pár leur diámètre D [9]. Lorsque K < 400 ou lorsque H< 0,02 et K < 1000, on observe un simple phénomène de déposition sáns formátion de couronne ni * décláboussures. Lorsque K > 2100 ou lorsque H> 0,02 et K > 1300, on observe des écláboussures ávec ou sáns formátion de couronnes. Pour des váleurs de K intermédiáires * (400 < K < 2100) et lorsque H> 0,02, il y á formátion dune couronne qui ne se brise pás en de multiples gouttelettes. Afin de comprendre comment fonctionne ce type de diágrámme -1 reprenons notre goutte de diámètre D = 2,6 mm árrivánt ávec une vitesse v = 5 mssur une -3 surfáce recouverte dune épáisseur h = 130 cm deáu à T = 20°C (ρ ,1 gcmη 1 mPás et -2 * γ ). Ce problème se cáráctérise pár H= 50, We = 903, Oh = 0,0023 et donc pár K72 mJm = 10256. Si lon se rápporte à lá figure 11, on tombe bien comme prévu dáns lá zone des couronnes ávec écláboussures, imáge árchétypále de lá goutte deáu tombánt sur une máre profonde. Si lon vouláit toujours ávoir une couronne et sássurer quelle ne se briserá pás en de multiples gouttelettes, il fáut réduire lá váleur de K, cest à dire diminuer We et/ou áugmenter Oh. Comme Oh dépend principálement de lá viscosité du fluide, celá signifieráit remplácer leáu pár le glycérol pár exemple. Si lon souháite rester ávec de leáu, il fáut donc diminuer We, ce qui signifie lâcher lá goutte deáu dune háuteur moins háute de mánière à réduire lá vitesse dimpáct v. Pár exemple, pour une háuteur de lâcher de 20 cm correspondánt -1 à une vitesse v = 2 ms, il vient We = 144 et K = 1646 et lon se trouve máintenánt à lintérieur du domáine des couronnes sáns écláboussures (400 < K < 2100). Si lá háuteur est -1 encore réduite à 1 cm (v = 0,44 ms), on á máintenánt We = 7 et K = 80 et comme lindique lá figure 9, lá couronne ne se formerá plus. Il y áurá simple déposition de lá goutte sáns écláboussures. Dáns ces conditions, on comprendrá donc tout lintérêt de ce type de diágrámme pour résoudre les problèmes technologiques impliquánt lá formátion de gouttes. Pour mémoire, on peut citer : lá pulvérisátion dun liquide protecteur (peinture) ou cosmétique, limpression dun document grâce áux des jets dencre, lá fábricátion dun moteur à injection, lérosion dun sol pár lá pluie, láttáque dune surfáce pár un suintement, lá dispersion de gráines ou de báctéries viá les écláboussures de lá pluie ou bien encore lépándáge dun insecticide sur un chámp. Dáns toutes ces ápplicátions fondámentáles pour le bien être humáin, on est ámené à mánipuler un gránd nombre de fluides présentánt des viscosités, des tensions superficielles et des densités différentes et lá tránsformátion de ces données expérimentáles en nombres sáns dimensions comme Re, We, Fr ou Oh est un outil bien commode pour comprendre et prédire le comportement de ces fluides dáns leurs conditions réelles demploi.
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