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7Chapitre 8DCOMPOSITIONS SPECTRALESDans tout ce qui suit F est un espace localement convexe,σ une intØgrale de Radon sur un espace topologique sØparØ ΛetR †bH = Hdσ une dØcomposition d un sous-espace hilbertien dans F .‡ ·bRappelons le lemme 5.12 et le thØorŁme 5.13 : σ,H est une dØcomposition de H dans° ° ° °° ° ° °† 2b bF si, et seulement si, hϕ ∈L (σ) pour tout ϕ∈F et ϕ hϕ est une semi-norme de° ° ° °ƒ 2Mackey sur F .Version du 7 septembre 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 415−→É8.1 Les opØrateurs de multiplications8.1 Les opØrateurs de multiplications‡ ·2 bLEMME Soient α :Λ K une fonction σ-mesurable et ζ∈L σ,H .‡ ·∞ 2 b(i) Si α∈L (σ),onaα•ζ∈L σ,H . ‡ ·2 b(ii) Pour tout k∈N,ona1 •ζ , 1 •α•ζ∈L σ,H .{|α|6k} {|α|6k}‡ ·2 b(iii) On a ζ=lim 1 •ζ dansL σ,H .k {|α|6k} ‡ ·2 b(iv) Si kα•ζk <∞,alorsα•ζ∈L σ,H .2∞DØmonstration de (i) Si α∈L (σ),onaZ Z∗ ∗2 2 2 2 2 2kα•ζk = kα(λ)•ζ(λ)k dσ(λ)6kαk • kζ(λ)k dσ(λ)=kαk •kζk <∞ .2 λ ∞ λ ∞ 2fl flEDfl fl∞bD aprŁs la remarque 5.12.4, il existe une suite (ζ ) de h(F) L (σ) telle que ζ=lim ζfl fl kk kk∈N‡ ·2 bdansL σ,H ; mais comme2 2 2kα•ζ −α•ζk 6kαk •kζ −ζk 0 ,k k2 ∞ 2il vient ‡ ·2 bα•ζ=lim α•ζ ∈L σ,H ,k kfl ED flfl fl∞bpuisque α•ζ ∈ h(F) L (σ) .fl flk∞DØmonstration de (ii) C est immØdiat, puisque 1 , 1 •α∈L (σ) .{|α|6k} {|α|6k}SDØmonstration de (iii) On aΛ = {|α|6k} etk∈N° ° ° °2° ° ° °1 •ζ−ζ = 1 •ζ 6kζk ∈L (σ) .{|α|6k} {|α|>k} ƒƒ ƒPuisque 1 •kζk est σ-mesurable, on obtient{|α|>k} ƒ Z° °2 2° °lim 1 •ζ−ζ =lim 1 ...
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Chapitre 8
DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES
Dans tout ce qui suitFest un espace localement convexe, σune intégrale de Radon sur un espace topologique séparéΛ et H=RHdσune décomposition dun sous-espace hilbertien dansF. b
Rappelons le lemme 5.12 et le théorème 5.13 :³σ,H´best une décomposition deHdans b b Fsi, et seulement si,°hϕ°¦L2(σ)pour toutϕFetϕ7−→°hϕ°2est une semi-norme de Mackey surF.
Claude Portenier
Version du 7 septembre 2004
ANALYSE FONCTIONNELLE415
8.1
Les opérateurs de multiplications
8.1 Les opérateurs de multiplications
LEMMESoientα:Λ−→Kune fonctionσ-mesurable etζL2³σ,H´. b (i) SiαL(σ), on aα·ζL2³σ,H´b. (ii) Pour toutkN, on a1{|α|6k}·ζ,1{|α|6k}·α·ζL2³σ,b´ H. (iii) On aζ= limk1{|α|6k}·ζdansL2³σ,H´b. (iv) Sikα·ζk2<, alorsα·ζL2³σ,Hb´.
Démonstration de (i)SiαL(σ), on a kα·ζk22=Zkα(λ)·ζ(λ)k2λdσ(λ)6kαk2·Zkζ(λ)kλ2dσ(λ) =kαk2· kζk22<. Daprès la remarque 5.12.4, il existe une suite(ζk)kNde¯hb(F)E DL(σ)¯telle queζ= limkζk dansL2b´³ σ,H; mais comme kα·ζkα·ζk226kαk2· kζkζk22−→0, il vient = limkα·ζkL2³H´b, α·ζ σ, bEDL(σ)¯. puisqueα·ζk¯h(F) Démonstration de (ii)Cest immédiat, puisque1{|α|6k},1{|α|6k}·αL(σ). Démonstration de (iii)On aΛ=SkN{|α|6k}et °1{|α|6k}·ζζ°=°1{|α|>k}·ζ°¦6kζk¦L2(σ). ¦ Puisque1{|α|>k}· kζk¦estσ-mesurable, on obtient limk°1{|α|6k}·ζζ°22= limkZ1{|α|>k}· kζk2¦dσ= 0 par le théorème de Lebesgue. Démonstration de (iv)Sikα·ζk2<, on obtient °1{|α|6k}·α·ζα·ζ°¦=°1{|α|>k}·α·ζ°¦6kα·ζk¦L2(σ),
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Les opérateurs de multiplications
et puisque1{|α|>k}· |α| · kζk¦estσ-mesurable, on en déduit limk°1{|α|6k}·α·ζα·ζ°22= limkZ1{|α|>k}· |α|2· kζk2¦dσ= 0 par le théorème de Lebesgue.¤ Grâce à ce lemme nous pouvons introduire les notations suivantes :
DEFINITION 1Posons L2α³σ,H´b:=nζL2³σ,Hb´¯kα·ζk2<o et Mα:L2α³σ,H´b−→L2³σ,Hb´:ζ7−→α·ζ.
8.1
REMARQUERappelons queL(σ) On a !est muni de la norme supérieure essentielle donc|α|6kαklocalementσ-p.p. . Nous utiliserons comme précédemment (cf. exemple 1.2.6 et 6.10) la notation hidi:= 1 +|id|2.
THEOREME (i) Siα:Λ−→Kest une fonctionσ-mesurable, lopérateurMαest normal etMα=Mα. En particulierL2α³σ,H´bun espace de Hilbert pour la norme déest Þnie parMα. SiAest une partieσ-mesurable sur laquelleαest essentiellement bornée, alors1A· L2³σ,H´bL2α³σ,H´b. Les noyaux deL2α³σ,Hb´,L2³σ,H´betα·L2α³σ,Hb´,L2³σ,H´bsont respectivement MhαietM|α|2·hαi1. 1 (ii) Pour toutαL(σ)lopérateurMαest borné dansL2³σ,Hb´de norme6kαk. Lapplication M:α7−→Mα:L(σ)−→L³L2³σ,H´´b est linéaire, involutive, i.e.Mα=Mα, multiplicative, i.e.Mα·β=MαMβpour toutβL(σ) et continue de norme1. (iii) Pour toute partieσ-mesurableAΛlopérateurMA:=M1Aest lorthoprojecteur sur 1A·L2³σ,Hb´,M=M0= 0etMΛ=M1= Id. (iv) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) Pour toutαL(σ), on akMαk=kαk. (b) Pour toute partieσ-mesurableAqui nest pas localementσ-négligeable, on a 1A·L2³σ,H´b6={0}. b (c) Toute partieσ-mesurableAtelle que1A·h= 0scalairementσ-p.p. est localement σ-négligeable.
Claude Portenier DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES
417
8.1 Les opérateurs de multiplications Siζ1A·L2³σ,b´ Démonstration de (i)Hetαest essentiellement bornée surA, on a α·ζ= 1A·α·ζ σ-p.p., doncα·ζL2³σ,H´par le lemme 8.1. LopérateurMαest de domaine b dense. En eet, pour toutζL2³σ,Hb´, on a1{|α|6k}·ζL2α³σ,H´bpar le lemme (ii) et ζ= limk1{|α|6k}·ζpar le lemme (iii). Il est fermé carL2α³σ,Hb´est un espace de Hilbert pour la norme en graphek·kα. En eet si(ζk)kNest une suite de Cauchy dans cet espace, on a ζ:= limkζketθ:= limkα·ζkdansL2³σ,Hb´. Mais par la proposition 5.12, il existe une sous-suite(kl)deNtelle queζ:= limlζkletθ:= limlα·ζklponctuellement. On en déduit que θ=α·ζ, puis queζ= limkζkdansL2α³σ,Hb´. Pour calculer le noyau deL2α³σ,H´b,L2³σ,H´b, soientζL2³σ,H´betθL2α³σ,Hb´. On a (ζ|θ)L2=¡Zhαi1·ζ¯θ¢¦dσ+¡Zα· hαi1·ζ¯α·θ¢¦dσ= =¡hαi1·ζ¯θ¢α, carhαi1·ζL2α³σ,H´b. Ce noyau est doncζ7−→hαi1·ζ. Déterminons maintenant celui ·L2α³σ,Hb´,L2³σb´arquons tout dabord que deα,H. Rem kα·θkαLα=γL2αi,nα·fγ=α·θkγk2α=°1{α6=0}·θ°α=Zhαi · kθk¦2·1{α6=0}dσ. 2 ·2 On a alors (ζ|α·θ)L2=Zhαi ·¡α· hαi1·ζ¯θ¢¦·1{α6=0}dσ=¡α·α· hαi1·ζ¯α·θ¢α·L2α, carα· hαi1·ζL2α³σ,Hb´. Ce noyau est doncζ7−→|α|2· hαi1·ζ. Nous avons ainsi prouvé que L2α³σ,H´+α·L2α³σ,H´b=L2³σ,Hb´, b donc queMαest normal par le lemme 7.7. AinsiD(Mα) =D(Mα) =L2α³σ,Hb´=L2α³σ,Hb´, et comme pour toutζ,θL2α³σ,H´b, on a (θ|Mαζ) = (α·θ|ζ)L2= (θ|α·ζ)L2= (θ|Mαζ), on obtientMα=Mα. Démonstration de (ii)SiαL(σ), pour toutζL2³σ,Hb´, on a kMαζk22=Z(α·ζ|α·ζ)¦dσ6kαk2·Z(ζ|ζ)¦dσ=kαk2· kζk22, donckMαk6kαk. LapplicationMest évidemment linéaire, involutive et de norme61. Si βL(σ), alors
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Mα·βζ= (α·β)·ζ=α·(β·ζ) =MαMβζ.
DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier
8.1
Les opérateurs de multiplications Démonstration de (iii)SiAest une partieσ-mesurable deΛ, comme 12A= 1A= 1A, lopérateurMAsatisfait par (ii) aux relations M2A=M12A=MA=MA, donc est un orthoprojecteuL2³σHb´ r. Son image est1A·,. Démonstration de (iv) (a)(b)SiAnest pas localementσ-négligeable, on akMAk=k1Ak6= 0, donc MA6= 0. b b (b)(c)Si1A·h= 0scalairementσ-p.p. , alors1A·h= 0ponctuellementσ-p.p. par le théorème 5.12 ou directement en constatant que, pour toutϕF, on a °hbϕ°¦2=Dϕ¯bhϕE= 0σ-p.p. . Ainsi¯1A·bh(F)E DL(σ)¯={0}et en utilisant lexercice 5.12 on obtient 1A·L2³σ,H´b=L2³σ,1A· Hb´=¯1A·hb(F)E DL(σ)¯Λ2={0}; (b) montre alors queAest localementσe.-énlggiaelb (c)(a)Il nous sut de prouver que, pour toutλ<kαk, on aλ6kMαk. b MaisA:={λ<|α|}nest pas localementσ-négligeable, donc on na pas1A·h= 0 ponctuellementσ-p.p. . Il existe donc unϕFtel quen1A·hbϕ6= 0one soit pasσ-b2 négligeable et il vient°1A·hϕ°26= 0, ainsi que b2 °Mα³1A·hbϕ´°22=Z1A· |α| ·°ϕ°¦>λ2·Z1A·°hbϕ°2¦=λ2·°1A·bhϕ°22, 2h ce quiÞnit la démonstration.¤
Claude Portenier
DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES
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8.2
Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition
8.2 Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition
2³σ,b´sur DEFINITION 1SoitPlorthoprojecteur deLH P:=µKerµZ¦dσ¶¶L2=bh(F)L2, lespace des représentants de Parseval associé à la décomposition deH(cf. remarque 5.14.1). Pour toute fonctionσ-mesurableα:Λ−→K, nous poserons D(α) :=nξH¯ξbL2α³σ,Ho´b, et désignerons parZαlopérateur dansHÞni par Zα:D(α)−→H:ξ7−→Zα·ξdσ. b On a donc le diagramme commutatif suivant : Zα HD(α)H ¦Rb¦dσ P PL2α³σ,H´bL2³σ,H´b. Mα L2α³σ,H´b Puisque¦best une isométrie deHsurP, dont lapplication réciproque estR¦dσ, lopérateur Zαest équivalent à lopérateur dansPÞni par ζ7−→P(α·ζ) :PL2α³σ,H´b−→P.
DEFINITION 2Nous dirons que lopérateurZαdansH, ou lopérateur équivalent dans P, est un Toeplitzopérateur de.
REMARQUEPuisquePL2α³σ,Hb´, muni de la norme induite par celle deL2α³σ,H´b, est un espace de Hilbert comme on le vériÞe immédiatement, lopérateurZαest fermé. La première question génante est savoir sous quelles conditions il est de domaine dense, i.e.PL2α³σ,H´b
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DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier
Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition 8.2 est dense dansPnétudierons pas cette question ici. Par contre si. Nous αL(σ), on a le diagramme simpliÞé suivant : Zα H H bRdσ. ¦ ¦ L2³σ,H´bL2³σ,Hb´ Mα
DEFINITION 3Pour toute partieσ-mesurableAdeΛsoit HA:=Z1A· Hdσ b de nhA:=R1A·h dσ. le sous-espace hilbertien deFoyaub Lexercice 5.12 montre que HA=Z³L2³σ,1A· H´b´dσ=³Z1A·L2³σ,H´´bdσ.
THEOREME (i) Pour toutαL(σ)lopérateurZαest borné dansHde norme6kαk. Lapplication Z:α7−→Zα:L(σ)−→L(H) est linéaire, involutive, i.e.Zα=Zα, positive, i.e.Zαest un opérateur auto-adjoint positif si α>0, et continue de norme61. (ii) Pour toute partieσ-mesurableAΛlopérateurZA:=Z1Aest auto-adjoint positif, Z=Z0= 0etZΛ=Z1= Id. On aZA(H)HAet les noyaux de ces sous-espaces hilbertiens sont respectivementZ2AetZA. (iii) SoitAune partieσ-mesurable.Les propriétés suivantes sont équivalentes : b (a)1A·h= 0scalairementσ-p.p. . (b)HA={0}. (c)ZA(H) ={0}. (iv) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) Lapplication Z¦dσ:L2³σ,Hb´−→H est injective, i.e.h(F)est dense dansL2³σ,Hb´. b (b)Zest multiplicative, i.e. pour toutα,βL(σ), on aZαβ=ZαZβ. (c) Pour toute partieσ-mesurableAlopérateurZAest un orthoprojecteur, i.e. Z2A=ZAouZA(H) =HA.
Claude Portenier DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES
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8.2
Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition
(d) Pour toute partieσ-mesurableA, on a HAH{A={0}. Dans ce cas,ZAest lorthoprojecteur deHsurHA=ZA(H). Si les partiesσ-mesulbarse A, Bsont disjointes, on aHAHBetH=HA¢H{A.
Démonstration de (i)La première partie est évidente par le théorème 8.1, puisque¦bet R¦dσsont de norme61et adjointes lune de lautre : kZαk=µZ¦dσMα¦b°6kMαk6kαk° et ZαµµZ¦dσMα¦b=µZ¦dσMα¦b=Zα. = b La positivité découle du fait queξest le représentant de Parseval deξ, donc que (ξ|Zαξ) =Zα·³ξ¯ξ´bdσ>0. b
Démonstration de (ii)Puisque1Aest une fonctions réelle, lopérateurZAest auto-adjoint. On a évidemmentZ0= 0et Z1ξ=Z1·bξdσ=ξ. Le noyau deZA(H)estZAZA=Z2Apar lexemple 5.4.5. PuisqueZAest un opérateur auto-adjoint positif, cest le noyau dun sous-espace hilbertien deH. DansFsont noyau est hZAh=Z1A·bh dσ=hA par la proposition 5.5, ce quiÞnit de montrer que ce sous-espace hilbertien estHA. b Démonstration de (iii)Pour toute partieσ-mesurableA, on a1A·h= 0scalairementσ-p.p. si, et seulement si, pour toutϕF, on a1A·Dϕ¯hbϕE= 0σ-p.p. par les formules de polarisation (cf. proposition 1.3), donc àR1A·Dϕ¯hbϕEdσ= 0pour toutϕF. Mais cette relation signiÞe queR1A·h dσ= 0. Elle est alors successivement équivalente àHA={0}, b puis àZA= 0etÞnalement àZA(H) ={0}. Démonstration de (iv) (a)(b)SiR¦dσ:L2³σ,Hb´−→Hest injective,β·ξest le représentant de b Parseval deZβξ. Par suite ZαZβξ=Zα·³β·ξb´dσ=Zαβξ. (b)(c)SiZest multiplicative, on aZ2A=Z12A=ZA, ce qui par (ii) est équivalent àZA(H) =HA. PuisqueZAest auto-adjoint, cest un orthoprojecteur. (c)(d)SiξHAH{A, on aξ=ZAξ=Z{Aξ=ZAZ{Aξ, doù le résultat puisque ZAZ{A=ZA(IdZA) =ZAZ2A=ZAZA= 0.
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