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27 pages
Chapitre 6ALG¨BRES DE BANACHETSPECTRESVersiondu5juilet2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 3476.1 AlgŁbres normØes6.1 AlgŁbres normØesDEFINITION 1 SiF est un espace vectoriel,respectivement un espace localement convexe,on poseL(F):=L(F,F) et L(F):=L(F,F) .Si F est un espace normØ, soit L(F) lespace (normØ) des opØrateurs bornØs dans F .Rappelons que, pour T ∈ L(F),onakTk := sup kTϕk et que T ∈ L(F) si, etϕ∈F,kϕk61seulement si, kTk<∞ (cf. dØÞnition 3.2.1)..PROPOSITION Soit F un espace normØ. Pour tout S,T ∈L(F),onakSTk6kSk•kTk .Cest immØdiat (cf. 3.2). ⁄DEFINITION 2 On dit quune K-algŁbre A munie dune norme k•k telle quekabk6kak•kbk pour tout a,b∈A ,est une algŁbre normØe . On dit que c est une algŁbre de Banach si elle est complŁte et unifŁresi elle possŁde une unitØ e telle que kek=1.EXEMPLE 1 Si F est un espace normØ, alors L(F) est une algŁbre normØe unifŁre. C estune algŁbre de Banach si F est un espace de Banach.CeladØcouledelapropositionci-dessusetdelaproposition3.2. ⁄∞EXEMPLE 2 Soit X un ensemble. Muni de la multiplication ponctuelle lespace ‘ (X) estb 0une algŁbre de BanachunifŁre. SiX estunespacetopologique,alorsC (X) etC (X)sont aussib 0des (sous-) algŁbre de Banach. C (X) est unifŁre; il en est de mŒme deC (X) si, et seulementsi, X est compact.1 nEXEMPLE 3 Nousavons vu en 4.12,exercice2,queL (R ) est une algŁbrede Banach pourle produit de convolution. Elle n est pas unifŁre.348 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude ...
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lCaudePortenie
Chapitre 6
ALGÈBRES DE BANACH
r
ET
SPECTRES
ANALYSEFONCTIONNELLE
Version du 5 juillet 2004
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6.1
6.1 Algèbres normées
Algèbres normées
DEFINITION 1SiFest un espace vectoriel, respectivement un espace localement convexe, on pose L(F) :=L(F, F)etL(F) :=L(F, F). SiFest un espace normé, soitL(F)lespace (normé) des opérateurs bornés dansF. Rappelons que, pourTL(F), on akTk:= supϕF,kϕk61kTϕket queTL(F)si, et seulement si,kTk<(cf. déÞnition 3.2.1)..
PROPOSITIONSoitFun espace normé. Pour toutS, TL(F), on a kSTk6kSk · kTk. Cest immédiat (cf. 3.2).
¤
DEFINITION 2On dit quuneK-algèbreAmunie dune normek·ktelle que kabk6kak · kbkpour touta, bA, est unealgèbre normée. On dit que cest unealgèbre de Banachsi elle est complète etunifère si elle possède une unitéetelle quekek= 1.
EXEMPLE 1SiFest un espace normé, alorsL(F)est une algèbre normée unifère. Cest une algèbre de Banach siFest un espace de Banach. Cela découle de la proposition ci-dessus et de la proposition 3.2.¤
EXEMPLE 2SoitXun ensemble. Muni de la multiplication ponctuelle lespace`(X)est une algèbre de Banach unifère. SiXest un espace topologique, alorsCb(X)etC0(X)sont aussi des (sous-) algèbre de Banach.Cb(X) ;est unifère il en est de même deC0(X)si, et seulement si,Xest compact.
EXEMPLE 3Nous avons vu en 4.12, exercice 2, queL1(Rn)est une algèbre de Banach pour le produit de convolution. Elle nest pas unifère.
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ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
Algèbres normées
6.1
EXERCICEOn peut montrer que`1(Z), muni du produit de convolution déÞni pour tout f, g`1(Z)par fg(k) :=Xf(kl)·g(l) lZ est une algèbre de Banach unifère.
lCuadePortenierLAGÈRBESEDBNACAHE
pour toutkZ,
TSPECTRES
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6.2
Inversibilité dans une algèbre de Banach
6.2 Inversibilité dans une algèbre de Banach
Etant donné un opérateur bornéTdans un espace de BanachF, nous allons essayer de résoudre une équation du type (IdT)ϕ=ψ, ψFétant donné. On peut la mettre sous la forme Tϕ+ψ=ϕ, ce qui montre queϕFest solution de cette équation si, et seulement si,ϕest un pointÞxe de lapplication Φ:ϕ7−→Tϕ+ψ. Si lon essaye dutiliser la méthode des approximations successives déÞnie parϕ0:=ψet ϕk+1:=Φϕk=Tϕk+ψ, on voit immédiatement par récurrence que k ϕk=XTlψ. l=0 Cela revient à considérer la série géométrique XTl l=0 dansL(F), ditesérie de Neumann. LEMMESoientAune algèbre normée etaA. La suite³°ak°k1´kNconverge vers 1 infkN°ak°k. Siaestnilpotent, i.e.an= 0pour un certainnN, le lemme est évident. Nous pouvons donc supposer que°ak°>0pour toutkN. LentiermNétantÞxé, pour toutkN, il existep(k), q(k)Nunivoquement déterminés tels que k=p(k)·m+q(k)et06q(k)< m. Il vient alors donc Ainsi puisque
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°ak°6kamkp(k)· kakq(k),
°ak°k16kamkp(k)k kq(kk). k·a
11 lim supk°ak°k6kamkm, limkq(kk)0=etlimkp(kk)l=mikµm1mq(·kk)=1m.
ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
Inversibilité dans une algèbre de Banach 6.2 On en déduit 1 1 1 lim supk°ak°k6infmkamkm16lim infk°ak°k6lim supk°ak°k, doù le résultat.¤ 1 DEFINITIONPour toutaA, on dit queρ(a) := infkN°ak°kest lerayon spectral de a. On dit queaestquasi-nilpotentsiρ(a) = 0. On a toujours ρ(a)6kak. THEOREMESoientAune algèbre de Banach etaA. Siρ(a)<1, alors la série de NeumannPl=1alest absolument convergente, donc convergente. SiAest unifère, alorsPl=0alest linverse deeadansAet on a °(ea)1°6X°al°. l=0 Sikak<1, alors °(ea)1°611kak. La première partie découle immédiatement du critère de la racine et du critère de Weierstraß (théorème 2.5.ii). Quant à la seconde, on a Xal (ea)·l=Xk0al=Ãl=k0!·(ea) =eak+1 etlimk°ak°= 0, puisque la sériePl=0alest absolument convergente, donclimkak= 0. Finalement on a ∞ ∞ °(ea)1°=Xal6X1= °l=0°l=0°al°6l=X0kakl1kak, sikak<1.¤ REMARQUENous avons remarqué que la conditionρ(a)<1entraînelimk°ak°= 0. Dire queaquasi-nilpotent est une condition évidemment plus forte, puisquon aest 1 ρ(a) = limk°ak°k= 0. Voici un exemple dun tel opérateur. EXEMPLE (Opérateur intégral de Volterra)Soient[a, b]un intervalle deRetκune fonction continue déÞnie sur le triangle fermé inférieur D:=©(x, y)[a, b]2y6xª ¯. En prolongeantκpar0sur[a, b]2, nous savons que ce noyau satisfait aux conditions (a)-(d) de 3.3, cas général (cf. exercice 3.3.2), donc déÞni un opérateur bornéKdansC([a, b]). Il est quasi-nilpotent. Claude Portenier ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES351
6.2 Inversibilité dans une algèbre de Banach Montrons par récurrence que, pour toutϕC([a, b]),kNetx[a, b], on a ¯Kkϕ(x)¯6kκkk· kϕk·(xk!a)k. Cette inégalité est évidente pourk= 0et on a ¯Kk+1ϕ(x)¯=¯Zaxκ(x, y)·Kkϕ(y)dy¯6kκkk+1· kϕk·Zax(yk!a)kdy= =kκkk+1· kϕk·(x(k+a1)k)+!1, ce quil fallait démontrer. Ainsi °Kk°6k1!· kκkk·(ba)k, et par suite ρ(K) = infk°Kk°1k= infkkκk(k·)!(1kba0=). Ceci montre queKest quasi-nilpotent. Pour toutψC([a, b]), léquation x ϕ(x) =Zaκ(x, y)·ϕ(y)dy+ψ(x)pourx[a, b] sappelle léquation intégrale de Volterra. Le théorème montre donc que cette équation possède une unique solutionϕdonnée par la formule 1ψ=X XKlψ; ϕ= (IdK)Ãl=0Kl!ψ=l=0 la dernière série converge dansC([a, b]), cest-à-dire uniformément sur[a, b]. Comme(IdK)1est un opérateur borné, la solutionϕdépend continûment deψ.
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ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES
¤
Claude Portenier
Le spectre dans une algèbre de Banach unifère
6.3 Le spectre dans une algèbre de Banach unifère
6.3
PROPOSITIONSoitAune algèbre de Banach unifère. Le groupeG(A)des éléments in-versibles deAest ouvert et lapplication a7−→a1:G(A)−→A est continue. SoitbG(A). Pour toutaA, on a alors a=b(ba) =b£eb1(b a)¤. Sikabk<kb11k, alorseb1(ba)G(A)par le théorème 6.2, doncaG(A)et on a £b b1(ba)¤lb1. a1=Ãl=X01(ba)¤l!b1=b1+l=X1£ Ceci montre que la boule ouverte de centrebet de rayonkb11kest contenue dansG(A). Cet ensemble est donc ouvert et on a 2 · °a1b1°6°l=X1£b1(ba)¤lb1°6l=X°b1°l+1kbakl1=kbk1bk1k··kbkbakak, 1 ce qui prouve la continuité dea7−→a1enb.¤
REMARQUE 1pratique de la manière suivante :Ce théorème est utilisé en SoitaA. Si lon sait queaest inversible, mais si le calcul de son inverse nest pas possible directement, on essaye de trouver une suite(ak)kNAdéléments bien connus qui converge versa. Alors, pour toutkassez grand, lélémentakest inversible et a1= limka1 k.
DEFINITION 1SoientFun espace de Banach et(ck)kNF. On dit que ∞ ∞ Xwl·cl=Xcl·wl l=0l=0 est unesérie (formelle) entièredansF. SiZest un ouvert deK, on dit quune fonction f:Z−→FestanalytiquedansZsifest développable en une série entière convergente au voisinage de chaque pointzZ, i.e. sil exister >0et(ck)kNFtels que f(z+w) =Xcl·wlsi|w|< r. l=0 On trouvera dans le livre de J. Dieudonné [6], chapitre IX, toutes les informations nécessaires sur la théorie des fonctions analytiques à valeurs dans un espace de Banach.
Claude Portenier ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES
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6.3 Le spectre dans une algèbre de Banach unifère DEFINITION 2SoientAune algèbre de Banach unifère etaA. On dit queλKest unevaleur spectraledea(par rapport àA) siaλ·enest pas inversible dansA. On désigne parSpa(ouSpAa) lensemble des valeurs spectrales deaet on dit que cest lespectredea (dansA). REMARQUE 2Pour toutαK, on a Sp (a+α·e) = Spa+α. En eetλSp (a+α·e)est équivalent à ce quea+α·eλ·e=a(λα)·ene soit pas inversible, donc àλαSpa, i.e.λSpa+α.¤ THEOREMESoientAune algèbre de Banach unifère etaA. AlorsSpaest fermé, lapplication R:K rSpa−→A:z7−→(az·e)1, diterésolventedea, est analytique etSpaest contenu dans le disque de centre0et de rayon ρ(a). En particulierSpaest compact. SiK=C, alorsSpa6=et ρ(a) = maxλSpa|λ|. Soitz/Spa. Pour toutwKtel que|w|<kR1(z)k, lélément a(z+w)·e= (az·e) [ew·R(z)] est inversible par le théorème 6.2 et on a R(z) =XR(z)l+1l R(z+w) = [ew·R(z)]1(az·e)1=Ãl=X0[w·R(z)]l!w, · l=0 ce qui montre queK rSpaest ouvert et prouve lanalyticité deR. Si|z|>ρ(a), i.e. ρ¡z1·a¢<1, le théorème 6.2 montre queaz·e=z·¡ez1·a¢est inversible. Si maintenantK=Cet|z|>kak, on a R(z) =z1µ1z·a1=z1·l=0 ·eXal·z1l, () donc kR(z)k6|1z|·l=X0µ|kza|kl=|1z|·11|kzak|. Ceci montre queRtend vers0à linÞni. SiSpa=, la fonctionRest analytique et bornée sur C, donc constante par le théorème de Liouville (Dieudonné [6], théorème 9.11.1). La fonction Rest donc identiquement nulle, ce qui est absurde, puisquon a e=aR(0) = 0. Dautre part la fonction Q:z7−→Rµ1z:C rSp1a−→A, 354 Claude PortenierALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES
Le spectre dans une algèbre de Banach unifère
6.3
en ayant poséQ(0) =R() = 0, est analytique et son développement en0est Q(z) =Xal·zl+1 l=0 par la formule(). Daprès la formule dHadamard, le rayon de convergence de cette série est 1 1 = 1. lim supkkakkkρ(a) Mais en appliquant le théorème 9.9.4 de Dieudonné [6], on obtient ρ1(a)>dµ0,S1 1= f 1pa|λ|>ρ(1a), painλSpa¯0λ= ¯supλS donc ρ(a) = supλSpa|λ|= maxλSpa|λ|, puisqueSpaest compact.¤ COROLLAIRE (Gelfand-Mazur)SiK=CetAest un corps, alorsA=C·e'C. SoitaA. Il existe doncλSpa, i.e.aλ·enest pas inversible. CommeAest un corps, on doit avoiraλ·e= 0, donca=λ·eC·e. Lapplicationλ7−→λ·e:C−→A est donc bijective et cest évidemment une isométrie.¤ EXEMPLE 1SoitXun espace compact. Montrer que, pour toutfC(X), on aSpf= f(X). Il sut de remarquer que, pourzK, la fonctionfz·1est inversible, si, et seulement si,fz·16= 0partout, i.e.z/ f(X).¤ EXEMPLE 2SoitAune algèbre unifère. Pour touta, bA, on a Sp (ab)r{0}= Sp (ba)r{0}. Par symétrie, il sut de prouver linclusionSp (ab)r{0}Sp (ba)r{0}, cest-à-dire que si pourzC, lélémentbaz·eest inversible, il en est de même deabz·e. Posons c:= (baz·e)1. On a alors (abz·e) (acbe) =a(bac)babz·acb+z·e=a([baz·e]c)bab+z·e=z·e et de même (acbe) (abz·e) =z·e, ce qui prouve notre assertion.
Claude Portenier
ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES
¤
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6.4
6.4 Transformation de Gelfand
Transformation de Gelfand
DEFINITION 1SoitAune algèbre commutative. On dit quune forme linéaire χ:A−→K est uncaractère(deA) si hχ|abi=hχ|ai · hχ|bipour touta, bA. LensembleSpAAdes caractères6= 0deAsappelle lespectre deA. Un caractère est donc un vecteur brahχ|. Puisque nous considérons essentiellement la semi-dualitéh A| A~i, nous utiliserons aussi les vecteurs ket|χi, qui sont des caractères semi-linéaires. Ainsi suivant les cas nous auronsSpA=hSpA|A0ou bienSpA=|SpAiA(cf. exemple 3.4.2).
REMARQUE 1SiAest unifère et sihχ|ei= 0, on a hχ|ai=hχ|aei=hχ|ai · hχ|ei= 0, doncχ= 0. Par suite siχSpA, on a hχ|ei=hχ|eei=hχ|ei · hχ|ei, donc
hχ|ei= 1.
DEFINITION 2SoitAune algèbre commutative unifère. On dit quun sous-espace vectoriel IdeAest unidéalsiAII. Il est ditmaximalsie/I, i.e.I6=A, et si pour tout idéalJ tel quee /JI, on aI=J.
REMARQUE 2Siχest un caractère, alorsKerχest un idéal maximal. En eetKerχest un idéal, puisque hχ|abi=hχ|ai · hχ|bi= 0pour toutaAetbKerχ. On a évidemmente/Kerχ. Ce noyau étant de codimension1, cest un idéal maximal.¤
REMARQUE 3SiIest un idéal, alorsA/Iest une algèbre. SiIest maximal, alorsA/I est un corps. Rappelons que la multiplication dansA/Iest déÞnie par[a] [b] := [ab], ceci ne dépendant évidemment pas du choix des représentants. Montrons la seconde assertion. Si[c]A/Ir{0}, on ac /I, doncAc+Iest un idéal contenant et diérent deI; cet idéal est donc égal àA, doù lon tiree=ac+bpour certainsaAetbI. Ainsi[e] = [a] [c], ce qui montre que[c] est inversible.¤
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ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
Transformation de Gelfand
6.4
THEOREME (de Gelfand)SoientAune algèbre de Banach complexe commutative uni-fère etaA. Pour queasoit inversible, il faut et il sut que, pour tout caractèreχdeAon aithχ|ai 6= 0. Siaest inversible, on a hχ|ai ·+χ¯a1®=+χ¯aa1®=hχ|ei= 1, donchχ|ai 6= 0. Réciproquement sianest pas inversible, alorsAaest un idéal ete /Aa. Daprès le théorème de Krull il existe un idéal maximalIdeAcontenantAa. Remarquons que ce théorème est une application simple du principe de maximalité de Hausdor. Par la continuité du produit dansA(cf. proposition 2.4), ladhérenceIdeIest un idéal deA. Mais comme Iest disjoint de louvertG(A)(cf. proposition 6.3), il en est de même deI, doncI=Ipar maximalité. Montrons maintenant queA/Iest une algèbre de Banach. Pour toutu, vA, on a k[u] [v]k= infcIkuv+ck6infc,dIk(u+c) (v+d)k6 6infcIku+ck ·infdIkv+dk=k[u]k · k[v]k. Cest aussi un corps par la remarque 2, doncA/ICpar le théorème de Gelfand-Mazur. Il est alors clair que lapplication canonique hχ|:A−→A/IC est un homomorphisme dalgèbre, donc un caractère (linéaire) deA, tel quehχ|ai= 0, puisque aI.¤
EXERCICEbelles applications de ce résultat, en fait banal, est leUne des plus théorème de Wiener: Soitf:U−→Cune fonction continue dont la série de Fourier est absolument convergente. Sif6= 0partout surU, alors la série de Fourier def1est aussi absolument convergente. COROLLAIREOn a Spa={ hχ|ai |χSpA}=hSpA|ai. En particulier chaque caractère est de norme1etSpAcomme sous-espace topologique deAest compact. En eet on aλSpasi, et seulement si, il existe un caractèreχtel quehχ|aλ·ei= 0, i.eλ=hχ|ai. CommeSpaB(0,ρ(a)), on a |hχ|ai|6ρ(a)6kak, () donckχk= 1, puisquehχ|ei= 1. AinsiSpAest contenu dans la boule unitéBAdeA, qui est faiblement compacte par le corollaire 3.11. Directement pour toutχSpA, on a |hχ|ai|6kχk · kak6kak, donc SpAYB(0,kak)CA:χ7−→hχ||A, aA etQaAB(0,kak)est compact par le théorème de Tychono.
Claude Portenier ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES
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