La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
Télécharger Lire

chap2 cours

De
15 pages
¥--˛-£Ì---¥--„„-˛¥¥-ˇ-Maths-TS-Limites de fonctions : continuité Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS ; CONTINUITE A) COURS I) Rappels (fonctions et opérations) : 1) a) Définitions : * f est une fonction définie sur une partie E non vide de ℝ , à valeurs dans ℝ , signifie qu’à tout nombre x de E, on associe un réel unique, noté f(x), appelé l’image de x par f . * Le plan étant muni d’un repère O;i; j , la courbe représentant f dans ce repère ( )est l’ensemble des points M x, f (x) tels que y = f (x) , quand x E . ( ) b) Exemple : 2 3x +1Soit f définie par : f (x) = si x 1 et par f (x) = si x≻ 1 et x 2 ; f est x x 2une fonction définie sur ℝ \{2}(à valeurs dans ℝ ) : 2à tout nombre réel x de ] ; 1] , on associe le réel (en effet, 0 ] ; 1]) x3x +1et à tout nombre réel x de 1+; \{2} , on associe le réel . ] [x 2 2) Fonctions et opérations : a) Propriétés : Soient u et v deux fonctions définies sur un ensemble non vide E et k un nombre réel. On pose, pour tout x de E : (u + v)(x) = u(x) + v(x) ; (ku)(x) = ku(x) ; (uv)(x) = u(x)v(x) . Dans ces cas, u + v , ku et uv sont des fonctions définies sur E . u u(x)Si, de plus, pour tout x de E, v(x) 0 alors, pour tout x de E, (x) = ; donc v v(x)u est une fonction définie sur E. vb) Composé de fonctions : Définition et propriété: Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur I et J ( I et J étant des ensembles non vides tels que u(I) J , ...
Voir plus Voir moins
Maths-TS-Limites de fonctions : continuité
  Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS ; CONTINUITE  A) COURS  I) Rappels (fonctions et opérations) :  1) a) Définitions : * f est une fonction définie sur une partie E non vide de , à valeurs dans , signifie qu’à tout nombre x de E, on associe un réel unique, noté f ( x ), appelé l’image de x par f . * Le plan étant muni d’un repère O ; i ; j , la courbe représentant f dans ce repère est l’ensemble des points M , f ( x ) tels que y f ( x ) , quand E . b) Exemple : Soit f définie par : f ( x )2 si x % 1 et par f ( x ) 1 321 si x 1 et x 2 ; f est une fonction définie sur \ {2} (à valeurs dans ) : à tout nombre réel x de ] υ ; % 1 ] , on associe le réel 2 (en effet, 0 ] ; % 1 ] ) et à tout nombre réel x de ] % 1; \ 2 , on associe le réel 321 .  2) Fonctions et opérations : a) Propriétés : Soient u et v deux fonctions définies sur un ensemble non vide E et k un nombre réel. On pose, pour tout x de E :  ( u v )( x ) 1 u ( x ) # v ( x ) ; ( ku )( x ) ku ( x ) ; ( uv )( x ) u ( x ) v ( x ) . Dans ces cas,   u v , ku et uv sont des fonctions définies sur E . Si, de plus, pour tout x de E, v ( x ) 0 alors, pour tout x de E, uv ( x ) 1 uv (( xx )) ; donc u t une fonction définie sur E. es v b) Composé de fonctions : Définition et propriété: Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur et ( et étant des ensembles non vides tels que u ( I ) Ì J , c'est-à-dire tels que, pour tout x de , u ( x ) J ) . On pose, pour tout x  de , v u ( x ) 1 v u ( x ) ] . Dans ce cas, v u est une fonction définie sur . c) Exemple : Soient u et v les fonctions définies respectivement : sur ;21 par u ( x ) % 2 x # 1 et sur par v ( X ) 1 X ; déterminer v u .
www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 1/15
Maths-TS-Limites de fonctions : continuité
Preuve : Les fonctions u et v sont définies respectivement sur ;21 et sur ; 1 de plus, pour tout x Î ;2 , % 2 x # 1 Î ; donc, v u est la fonction définie sur ;21 par : v u ( x ) 1 v u ( x ) ] v ( % 2 x # 1) 1 % 2 x # 1 .  II) Généralités :  Aide-mémoire : Dans toutes les définitions sur les limites revient l’expression : « tout intervalle ouvert J (lequel ?), contient toutes les valeurs de f ( x ) pour… » Remarque : Le plan est muni d’un repère (en général) orthogonal, quand on mentionne la courbe représentant une fonction.   1) Limite finie en l’infini  a) * Définition 1 : Soient des réels a et L et  une fonction définie sur l’intervalle ] a ; υ [ .
L" L L'
L" L L'
o B B o   figure 1 figure 2 out 0 , on pose : L ' L % , L " L # ; ] L '; L "[ ; [ ( B 0) figure 1 I ] % υ ; B [ ( B 0) figure 2 out intervalle J, la courbe C f restreinte à I est dans la zone hachurée érisée par :
Maths-TS-Limites de fonctions : continuité
x B  (figure 1) xL ' By L ''     (figure 2) L ' y L '' c) Interprétation graphique (asymptote): Définition 1’ : S’il existe un réel L tel que lim ( x ) L  (ou lim ( x ) L ) ; alors x |#υ x |%υ on dit que la droite d’équation y L est asymptote horizontale à la courbe représentant f en υ (ou en υ ). d) Exemples :  pour tout p : x li |# m υ 1 p 0 et x li | m 1 p 0  ; x li | m 1 x 0 . e) * Propriété 1 : Pour tout L : lim ( x ) L   lim ( f ( x ) % L ) 1 0  . x |#υ x |#υ * Propriété 2 : Si f  tend vers le réel L en υ ( en υ ) ; alors cette limite est unique. Preuve de la propriété 2 (par l’absurde) : * Supposons que f  tende vers deux réels et ' en υ  . Prenons de plus L ' (sinon raisonnement analogue pour L ' )     Posons : r 1 2 L ' , ] L % r ; L # r [ , ] L ' % r ; L ' # r [    ( r 0)  lim ( x ) L , donc il existe B 1 0 tel que, pour tout B 1 , ( x ) I  x |#υ lim ( x ) L ' , donc il existe B 2 0 tel que, pour tout B 2 , ( x ) J . x |#υ En prenant 3 1 max( B 1 ; B 2 ) , si x B 3 alors ( x ) I Ç J ; or I J 1 Æ ; donc c’est impossible. On a montré par l’absurde que L ³ L ' : ! . On montre, de même, par l’absurde que L L ' : ! . ! et ! impliquent L L ' * Supposons que f tende vers deux réels et ' en υ  . Dans ce qui précède, on remplace υ par υ ; puis B 1 , B 2 , B 3 ,  respectivement par % B 1 , % B 2 , % B 3 .  2) Limite infinie en l’infini : a) * Définition 3 : x ! tend vers υ quand x tend vers υ signifie que tout intervalle ouvert J l ; (quand décrit ), contient toutes les valeurs de x ! pour x  assez grand . On note lim f ( x ) ou lim f . x |#υ #υ * Définition 4 : x ! tend vers υ quand x tend vers υ signifie que tout intervalle ouvert J l ; (quand décrit ), contient toutes les valeurs de x ! pour x  assez grand . On note lim f ( x ) ou lim f . x |#υ #υ   
www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 3/15
 a étant différetnd  e,0e  tu enu q eilstxidee r xusleée a ,b t#υ (];[I ];[ ou  .nO%I)υopess pudén ioctsue nifitni nu r ellavrex)xaxb## e,I( ()ce cas,  . Dans etroeuq  ,)υs edutto d x p, r ou#| υx0Φxmi)( el xΦ|%()0x lim(ou iniféd noitcnof que llteI r sue f tn   .
B
A
www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 4/15
 fbereC ésprtaen une)υà l  aocruoblique  en υ (osa tse # etotpmyn ioatquxbyat es  odioetené tnu it qon da drue l                                        f#υ# lim     υ                  (0   )B                                                retni tuot ruoP urcoa  lJ,e llvaniettser Cerebf s la dan est à Iυ#fm  υ%    il                          ilfmυ%υ#limf%υ%υ         ;l υ#  #|#υmixxp,lout x|#υimpxruop ; υp tuot im3l; υ 1%#υx|2xracaétirés eap r zone hachurée cpmex selop :t ruxI: t  e. yJ Ec) éta : on 2nitiéDifa  ) e :iluqon fne u fitso, énnod leér nu tnout p 2  pour t%|#υ υ; 2,ilpmxxotptobe )  3ymAs%υ%| . υmil1#xxp                                                                B0) (%υ[I];         υ%B                                        %A[;   υ )0]   #υIB(0  )(0;[ ]] [;BIυ#B)        ];[IB(0)B                   A#;[ ] 6regufi  A[υ%  ;])   υ0(#υ (];[A    (0)          ifuger                f   rugi 5 e      4             f        3 erugi 
Maths-TS-Limites de fonctions : continuité
K m H M
J I o X figure 7 Soit la droite dont une équation est y ax # b ( a 0) .Soit et m les points respectifs de C f et de de même abscisse x ; la distance m vaut : m f ( x ) % ( ax # b ) 1 ( x ) ; ainsi lim Mm lim Φ ( x ) 1 0 . x |#υ x |#υ c) Exemple : Soit la fonction définie sur \ { 4} par : f ( x ) 1 2 x % 3 # 24 . Montrer que la courbe représentant f a une asymptote oblique. Preuve : Pour tout x \ { % 4}  ( x ) 2 x % 3 # ( x ) ; en posant, sur  \ { 4} : Φ ( x ) 1 24 ; de plus lim ( x 4) 1 #υ , donc lim Φ ( x ) 0 ; x |#υ x |#υ de même lim ( x 4) 1 %υ , donc lim Φ ( x ) 0 . x |%υ x |%υ Ainsi la droite dont une équation est y 2 x % 3 est asymptote oblique à la courbe représentant f en υ (et en υ ).   4) Courbes asymptotes : *Définition 3’ : Soit un réel a, soient f et g des fonctions définies sur un intervalle I ] a ; [  ( ou ] % υ ; a [ ) , telle que, pour tout x de I, ( x ) g ( x ) # ( x ) ; étant une fonction définie sur I telle que lim Φ ( x ) 0  (ou lim Φ ( x ) 0 ). Dans ce cas, on dit que la x |#υ x |%υ courbe représentant g est courbe asymptote à la courbe représentant f  en υ  (ou en υ ).  *Exemple : Soit la fonction définie sur par : f ( x ) x 2 % 4 # 3 . Pour tout x Î  ( x ) 1 g x # Φ ( x ) ; en posant, sur  : g ( x ) x 2 % 4 et Φ ( x )3 ;
www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 5/15
Maths-TS-Limites de fonctions : continuité
de plus : lim Φ ( x ) lim 3 1 0 et lim Φ ( x ) 0 . On en déduit que la courbe x |#υ x |#υ x |%υ représentant g est courbe asymptote à la courbe représentant f  en υ (ou en υ ).  5) Limite finie ou infinie d’une fonction en un réel a : a) Soient a un réel, I un intervalle ouvert contenant a ou dont a est une borne et f   une fonction définie sur I sauf peut-être en a . ) Définition 5 :  x ! tend vers L quand x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert J tout x de I\{ a } assez
L" L M  L' En posant : L ' L % , L " L #  ( 0) ; ] L '; L "[ I a '; a " 1 ] a % h ; a # h [ ( h 0) o a' a a" Pour tout intervalle J, la courbe C f restreinte à I est  figure 8 dans la zone hachurée caractérisée par : x I et  y J .   ) Définition 6 : x ! tend vers quand x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert J contient toutes les valeurs de x ! pour tout x de I\{ a } assez proche de a . pour tout A , J ] A ; [ si  ; on note lim f ( x ) ou lim f  x | a a pour tout A , ] % υ ; A [ si  ; on note lim f ( x )  ou lim f . x | a a (figures 9 à 12 plus loin) b) Définition 7 : Soient f une fonction, a un réel ; soit un réel, υ ou υ .  f a comme limite à droite en a signifie que la restriction de f à ] a ; υ [ tend vers en a . On note lim f ( x ) . x | a  f a comme limite à gauche en a  signifie que la restriction de f à ] υ ; a [ tend vers en a . On note lim f ( x )  . x | a c) Interprétation graphique (asymptote): Définition 4 :
www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 6/15
A
dit s) en
J a o I a'   figure 9 figure 10 figure 11 figure 12 ] % υ ; A [ ] A ; [ ] % υ ; A [ ] A ; [  ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)       I a '; a 1 ] a % h ; a [ I ] a % h ; a [ I a ; a ' 1 ] a ; a # h [ I ] a ; a # h [  ( h 0 )          l f x        ! x ¾ i ¾ m | a ! x l ¾ i ¾ m | a f x    x l ¾ i ¾ m | a f x !      x l ¾ i ¾ m | a f x !                  ≺ ≺ ≻ ≻ Pour tout intervalle , la courbe C f restreinte à I est dans la zone hachurée caractérisée par : x I et y J . m lim  d) Exe ples :   x | 0 # 1 x pour tout p : x lim o # 1 p ; lim 0 % 2 1 p  et li 2 1 1 . m | x | x 0 % p % | e) Exemple : Soit f la fonction définie sur \{1}   2 1 par f ( x ) 1 x 1 . Montrer que a une limite en 1 et déterminer cette limite. Preuve : Pour tou f ( x ) 1 x 2 11 # 1 ; don t x de \{1} , c lim ( x ) l x i | m 1 ( x # 1) 1 2 . x | 1 Remarque : Dans cette exemple, f  n’est pas définie en 1 ; mais f  a une limite finie en 1.  6) Une limite à connaître :               limsin( x )1  . x | 0  
www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 7/15
Maths-TS-Limites de fonctions : continuité  (La preuve est faite en exercice)      III) Propriétés : 1) Opérations sur les limites : Soit un réel ou υ ou υ a)Limite et somme ; limite et produit :  Si li + υ υ m                                 a Si lim ' + υ  + υ υ                   a    alors L '  + υ  + ? υ  lim( g ) 1 a   +     L L  υ si L 0    alors ' + si L 0  + υ        lim( g ) = υ si L 0  + si L 0   a ? si L 0  ? si L 0    Remarque : ? signifie : forme indéterminée (on ne peut pas conclure).  b) Limite et quotient :  Si + υ 0 υ L 0 L 0 L 0 L 0                                  lim  a  ou ou ou  ou υ υ υ  υ         Si lim L ' 0 υ    L ' 0 L ' 0  0 υ    0     0    0    0  a    alors L 0 + si L ' 0  υ s L ' 0  ? ? υ υ υ υ       L ' υ si + si lim ' a L 0 L ' 0   2) a) Exemple 1 : Soit f la fonction définie sur  par x ! % 3 x 2 # 2 x % 1 . Montrer que a une limite (finie ou infinie) en υ et déterminer cette limite.  Preuve : Pour tout x   2  f ( x ) 1 % 3 x 2 # 2 x % 1 1 % 3 x 2 (1 % 32 # 31 x )  www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 8/15
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin