Contribution à l'étude du comportement dynamique des rotors embarqués

Duchemin Matthieu

Description

ANNEXE 5 Matrices élémentaires pour l’arbre Energie cinétique : Ma = ρ S M1 + ρ Im M2 + ρ Ia []M4 sin(2 Φ) - M3 cos(2 Φ) (A5.1) &Ca = 2 ρ { β S C1 − Im Ω C2 + Ia Ω M3 sin(2 Φ) + M4 cos(2 Φ) } (A5.2) S & & & & & && & & &Ka = ρ S (K1 + β C1 + γ α K2) + ρ Im [K3 − ( β + γ α ) M4 + 2 β ( β + Ω) M2 ] S S S S S S S S2 2& & & &+ ρ Ia {cos(2 Φ) K4 − [( β + γ& α& ) cos(2 Φ) + ( α& − β − 2 β Ω) sin(2 Φ) ] M4S S S S S S (A5.3) & & &−[]β sin(2 Φ) + 2 β Ω cos(2 Φ) M3 − γ& α& sin(2 Φ) M2 }S S S S 2 2& & & & & & & & &Fa = { ρ S [X + 2 β Z − 2 γ& Y + ( β + γ& α& ) Z + ( α& β − r&) Y − ( &γ& + β ) X ]V1S S S S S S S S S2 2& & & & & & & & && & & & & & &+Z + 2 α Y − 2 β X + ( α γ − β ) X + ( α + γ β ) Y − ( α + β ) Z V2 S S S S S S S S S S& && & & & & &+ ( α β − γ ) V3 + ( α + γ β ) V4 }S S S S S S& & && & & & & & & & + ρ Im {( α β − γ ) V5 + ( α + γ β ) V6 − 2 ( β + Ω) ( α V5 + γ V6) } S S S S S S S S S& &{ & & & & & & & &+ ρ Ia [( γ + α β + 2 α Ω) cos(2 Φ) + ( α − β γ − 2 γ Ω) sin(2 Φ) ] V5S S S S S S S S (A5.4) & && & & & & & & & }+ ( α − β γ − 2 γ Ω) cos(2 Φ) − ( γ + α β + 2 α Ω) sin(2 Φ) V6S S S S S S S S Avec 156 0 0 − 22L 54 0 0 13L⎡ ⎤⎢ ⎥156 22L 0 0 54 −13L 0⎢ ⎥2 2⎢ ⎥4L 0 0 13L − 3L 0⎢ ⎥2 24L −13L 0 0 − 3LL ⎢ ⎥M 1 = ⎢ ⎥420 156 0 0 22LSym ⎢ ⎥156 − 22L 0⎢ ⎥2⎢ ⎥4L 0⎢ ⎥24L⎢ ⎥⎣ ⎦ 119⎡36 0 0 − 3L − 36 0 0 − 3L ⎤⎢ ⎥36 3L 0 0 − 36 3L 0⎢ ⎥2 2⎢ ⎥4L 0 0 − 3L − L 0⎢ ⎥2 24L 3L 0 0 − L1 ...

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• Langue: Finnish

Extrait

ANNEXE 5       Matrices élémentaires pour l’arbre       Energie cinétique :   Ma= ρS M1+ ρIm M2+ ρIa [ M4 sin(2Φ) - M3 cos(2Φ) ]      Ca=2ρ  & β S S C1−ImΩC2+IaΩ [M3 sin(2Φ)+M4 cos(2Φ)]  

 

 

 (A5.1)

 (A5.2)

  && && & & Ka= ρS (K1+ β S C1+ γ & S  α & S K2)+ ρIm K3−(β S + & γ S   & α S ) M4+2β S (β S + Ω) M2 + ρIa cos(2Φ) K4−( & β & S + γ & S  α & S ) cos(2Φ)+(α & 2 S − β & 2 S −2β & S  Ω) sin(2Φ) M4         &&&  (A5.3) − β S sin(2Φ)+2β S  Ωcos(2Φ) M3− γ & S  α & S sin(2Φ) M2   Fa= ρS & X & +2 & β S   & Z−2 & γ S   & Y+( & β & S + & γ S   & α S ) Z+( & α S   & β S − & r) Y−( & γ & 2 S + β & S 2 ) X V1 + & Z & +2α & S   & Y−2β & S   & X+(α & S  γ & S −  & β & S ) X+( & α & S + γ & S  β & S ) Y−(α & 2 S + β & 2 S  V2) Z & & +(α & S  β S − & γ & S ) V3+( & α & S + & γ S  β S ) V4 & & &       + ρIm (α & S  β S − & γ & S ) V5+( & α & S + & γ S  β S ) V6−2 (β S + Ω) (α & S V5+ γ & S V6) & & +Ia ( && S + α & S  β S +2α & S  Ω) cos(2Φ)+( & α & S − β S  γ & S −2γ & S  Ω) sin(2Φ) V5 ρ γ & &  (A5.4)        +( & α & − β γ & S −2γ & S  Ω) cos(2Φ)−( & γ & S + α & S  β S +2α & S  Ω) sin(2Φ) V6

S S     Avec   ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ 156 M1= L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 420 S ⎣ ⎢ ⎢

   

 

0 156

 

0 22L 4L 2

−22L 0

0 4L 2

54 0

0 −13L 156

0 54 13L 0 0 156

0 −13L −3L 2 0 0 −22L 4L 2

13 0 L ⎥ ⎥ ⎤ −3L 0 2 ⎥ ⎥ ⎥ 22L ⎥ ⎥   0 0 2 ⎥ ⎥ ⎥ 4L ⎥ ⎦

119

120

−3L 0 0 4L 2

 

0 −3L −4L 2

0 −36

S

 

S

0 −54 −13L 0 0

54 0 0 −13L 156 0

C1

   

   

 

0 3L 36

−3L 0 0 36

0 −36

−36 0

−3L 0 0 4L 2

−36 0 0 3L 36

S

0 3L 4L 2

0 3L −L 2 0 0 −3L 4L 2

0 36

0 ⎤ ⎥ ⎥ −3L L 2 ⎥ 0 ⎥ ⎥   0 3L ⎥ ⎥ ⎥ 4L 2 ⎥ − 0 ⎥ ⎥ ⎦

−3L ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 − L 0 3 L 0 L 4 0 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  

−13L 0 0 3L 2 −22L 0 0

−31L 0 ⎤ ⎥ ⎥ − − 22 0 4L 0 3L 0 2 2 L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  

3L 0 0 −36

3L 0 0 L 2 −3L 0 0

0 22L 4L 2 0

 

tis

36 0

3L 0 0

0 −3L 2 −4L 0

0 −36 −3L 0 0

−36 0 0 3L 36 0

36 M2= 1 L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 30    

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 36 M3= 1 30L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣    

0 36

⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ = L 1 03 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

M4

⎢ ⎢ ⎡ 6 0 510 1 ⎢ ⎢ = 30L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ An ⎢ ⎢ ⎣

22L 0 0

−3L ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ L 2 ⎥ ⎥ − 3L ⎥   ⎥ 4 0 L 0 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 −3L L 2 0 0 3L 2 −4L

−3L c 2 0 0 4L 2 c 2

−36 c 2 0 0 3L c 2 36 c 2

−3L c 2 ⎤ − L4 L L3 2 0 0 0 0 2 c       c c 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  

0 L ⎥ ⎤ 2 1 3 3 L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥   0 0 22L ⎥ ⎥ −4L 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0

−13L 0 0 3L 2 −22L 0 0

0 −36 c 1 −3L c 1 0 0 36 c 1

0 3L c 1 2 −L c 1 0 0 −3L c 1 4L 2 c 1

0 −22L −4L 2 0

22L 0 0

54 0 0 −13L 156 0

0 54 13L 0 0

1 0 −  L L 3 13 c  c 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 0 2 − − 0 L4 0 2L2 2 c   c 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎥

0 13L c 2 3L 2 c 2 0 0 22L c 2 −4L 2 c 2

⎢ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ K2= 24 L 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢  

0 156 0

0 −22L c 2 −4L 2 c 2

22L c 1 0 0 2 −4L c 1

−54 c 1 0 0 13L c 1 −156 c 1

0 −54 c 2 −13L c 2 0 0 −156 c 2

0 ⎢ ⎢ ⎡ C= 1 ⎢ ⎢ 2 30L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣  

 

où

 

36 0

Antis

 

1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ −156 c − 0 c 156 2 L ⎢ = 0 ⎢ ⎢ 42 ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ S ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ c c 2 1 β = = & α & S S 2 2 + +γ & β & S 2 S 2  

−36 0 0 3L 36 0

0 36 3L 0 0

0 3L 4L 2 0

3L 0 0

3L 0 0 L 2 −3L 0 0

0 ⎤ 3L ⎥ 2 −L ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥   0 −3L ⎥ ⎥ 4L 2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦

121

S

 

0 36 c 1

0 3L c 1 4L 2 c 1

K1

⎡ ⎢ ⎢ 36 c 2 ⎢ ⎢ ⎢ K3= 1 30L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ S ⎢ ⎣ ⎢

0 −36 c 4

  3 K4= 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 36 c 30L ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ S   &

où

   

   

               

 

⎧ & 2 2 c  S1 S   ⎪ ⎩ ⎨ ⎪ 2 =γ =α & S 2 β β − − 2 S & c

6 ⎤ ⎥ V1= L − ⎢ ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 L 0 ⎥ ⎥ ⎥ 12 6 ⎥ ⎥   ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 L ⎥ ⎥ ⎦ ⎥ ⎥

0 V4= 06 L 2 ⎢ ⎡ 0 0 2L 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥   ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − 12 0 3L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎥

0 −3L c 4 4L 2 c − 4

 

 

− 3L c 3 0

0 4L 2 c 3

−36 c 3 0

0 3L c 3 36 c 3

⎢ ⎢ 6 V2 L ⎡ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎥   L ⎢ 0 = ⎢ ⎢ ⎥ 12 ⎢ ⎢ 0 6 ⎢ ⎢ −L ⎥ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎦

⎢ ⎢ ⎢ ⎡ −1 ⎤ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ V5 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  

 

0 36 c 4 3L c 4 0 0 −36 c 4

 

 

0 −3L c 4 L 2 c 4 0 0 3L c 4 −4L 2 c 4

3L c 3 − 0 ⎥ ⎥ ⎤ −L 0 2 c 3 ⎥ ⎥ ⎥ 3L 0  c 3 ⎥ ⎥   0 ⎥ ⎥ ⎥ 4L 2 c 3 ⎦⎥

9 0 0 2 L V3= L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ ⎥   60 ⎢ 21 ⎢ 0 0 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 3L ⎦⎥

0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ −1 0 ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ V6 ⎢ ⎥ ⎥  = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

122

Energie de déformation :   Ku=E Im Ku1+E Ia cos(2Φ) Ku2+E Ia sin(2Φ) Ku3  

  avec   ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 12 Ku1= 1 3 ⎢ ⎢ L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣    

⎢ ⎢ ⎡ -12 ⎢ ⎢ Ku2= 1 L 3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢    

u3 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 K 1 = L 3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣  

 

0 12

S

0 12

12 0

S

0 6L 4L 2

0 6L 4L 2

6L 0

S

0

- 6L 0 0 4L 2

6L 0 0 4L 2 −

0 - 6L 2 −4L 0

-12 0 0 6L 12

0 -12 −6L 0 0

12

12 0 0 −6L −12

0 -12 −6L 0 0

0 6L 2L 2 0 0 −6L 4L 2

0 -12 −6L 0 0 12

-12 0 0

6L 12 0

-6 0 L ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 2 6 0 L L 2 ⎥ ⎥ ⎥   0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 4L 2 ⎦⎥

0 6L 2L 2 0 0 −6L 4L 2

6L

0 0 −2L 2 −6L 0 0

6L ⎤ 0 ⎥ ⎥ −L2 0 2 ⎥ ⎥ −L6 0 ⎥ ⎥ ⎥   0 −4L 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

0 ⎤ - L 2 6 L 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − 0   0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 6L −4L 2 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

123