Cours 0405

Stephane Stephane

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• Publié par: Herif
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

CH.2 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES   Pour bien commencer :   ACTIVITE 1 : Un vocabulaire adapté.   Le graphique ci-dessous représente lévolution de la température extérieure sous abri dans une ville enregistrée par un thermomètre automatique pendant une journée du mois de Février :  

    En lisant les informations nécessaires sur la courbe, compléter le tableau ci-dessous : Question Réponse en langage courant Réponse en langage mathématique A chaque instant de la journée, combien de valeur(s) de la température peut-on lire ? A quelle heure le thermomètre a-t-il commencé les mesures ? A quelle heure a-t-il terminé ? Quelle est la valeur de la température à midi ? Combien de fois la température de 3 degrés est elle atteinte ? A quelle(s) heure(s) ? Comment évolue la température entre 0H et 6H ? Comment évolue-t-elle ensuite ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus chaude ? Quelle est alors sa valeur ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus froide ?  

Quelle est alors sa valeur ? Préciser le signe de la température au cours de la journée.           ACTIVITE 2 : Une situation concrète : p.58 Activité 2.          

1. Notion de fonction numérique :   DEFINITION (intuitive) : Lorsquà tout nombre réelxdun intervalle I on associeun nombre réel et un seulnotéf(x), on dit que lon définit unefonction numérique sur I (notéef). On écrit :f :xf(x)pour toutx∈I.    DEFINITIONS : .xest appelée «variablede la fonctionf »   . appelé «I estintervalle de définition de la fonctionf». .Lorsque lon connaît une formule qui permet de calculer les valeurs def(x), cette formule est appelée «expression algébrique de la fonctionf »  Exemples :   - Dans lactivité 1, la température est une fonction numérique du temps (qui est la variable) définie sur [0 ; 24] :  à chaque instant de cet intervalle correspond une valeur de la température et une seule.  On ne connaît pas lexpression algébrique de cette fonction. - Dans lactivité 2, laire de baignade est une fonction numérique de la variablexdéfinie sur [0 ; 80] :  à chaque valeur de la longueurxcorrespond une valeur de laire et une seule.  Lexpression algébrique de la fonctionAest :A(x) = x(160 – 2x). Vous connaissez déjà les fonctions suivantes : - Les fonctions linéaires : exemple :…………………. - Les fonctions affines : exemple :………………….   Exercices : p. 69 n° 18 – 6.   2. Représentation graphique dune fonction numérique :   DEFINITION :    Tracerla représentation graphiquedune fonction sur un intervalle I consiste à placer dans un repère du plan les points de coordonnées (x ; f(x)) pourx∈I. Exemples : - Dans lactivité 1, on connaît la fonction numérique donnant la température au cours de la journée grâce à sa  représentation graphique. - Dans lactivité 2, la donnée de lexpression algébrique de la fonctionApermet de tracer sa représentation  graphique. Vous savez déjà que : - La représentation graphique dune fonction affine est ……………………… - La représentation graphique dune fonction linéaire est ………………………   Exercice : p.75 n° 48. Utilisation de la calculatrice graphique : p.66 1.3.5. et p. 75 n° 46.   3. Image et antécédent :   DEFINITIONS :Soientfune fonction définie sur un intervalle I , un nombrex∈I ety = f(x)  On dit queyestlimagedexpar la fonctionf  On dit quexestun antécédentdeypar la fonctionf. Exemples :  - Dans lactivité 1, on peut lire sur la représentation graphique que 4 est limage de 12 et que 3 admet deux antécédents : 11 et 20. - Dans lactivité 2, pour tracer la représentation graphique de la fonctionA, on a calculé les images des nombres 0, 10 ,20, 30, 40,…,80 grâce à lexpression algébrique de la fonction. Grâce à cette représentation graphique on a pu déterminer des valeurs approchées des deux antécédents de 2500 par la fonctionA: environ 21et environ 59.   Exercices : p.68 n° 1-2-4 / p. 69 n° 8-9-10-13-14 / p. 70 n° 19-20-21-22 / p. 74 n° 40 - 41  

4. Tableau de valeurs :   DEFINITION: Un tableau dans lequel figurent plusieurs valeurs de la variable et leurs images est appelé « tableau de valeurs de la fonction». Exemples : - Pour la fonction de lactivité 1, la lecture de la courbe permet de compléter le tableau de valeur de la fonction sur [0 ; 24] avecun pas de 2(certaines valeurs des images étant des valeurs approchées) : x               f(x)               Pour la fonction de lactivité 2, lexpression algébrique de la fonction nous a permis de compléter le tableau de - valeur de la fonctionAsur [0 ; 80] avecun pas de 10(les valeurs images étant exactes). - Vous savez déjà que le tableau de valeurs dune fonction linéaire est………………………………………….   Utilisation de la calculatrice graphique : p.66 2. et p. 69 n° 11.   5. Sens de variation dune fonction numérique :   DEFINITIONS (intuitive ) : .On dit quune fonctionfestcroissantesur un intervalle I sif(x)augmente lorsquexaugmente dans I. .On dit quune fonctionfestdécroissantesur un intervalle I sif(x)diminue lorsquexaugmente dans I.     DFINITIONS (rigoureuse) :   .«La fonctionfestcroissantesur lintervalle I » signifie que : Pour tout nombreaetbde I,sia<b, alorsf(a) ≤ f(b).(« la fonction conserve lordre ») .« La fonctionfestdécroissantesur lintervalle I » signifie que : Pour tout nombreaetbde I,sia<b, alorsf(a) ≥ f(b).(« la fonction inverse lordre ») Exemples :  - Dans lactivité 1, le graphique de la fonction nous permet de lire ses variations : elle est décroissante sur [0 ; 6], croissante sur [6 ; 14] et décroissante sur [14 ; 24]. - Dans lactivité 1, le graphique de la fonction nous permet de lire ses variations : elle est croissante sur [0 ; 40] et décroissante sur [40 ; 80] .    Remarques :   - On résume habituellement les variations dune fonction dans un tableau appelé« tableau de variation ». Compléter celui de la fonction de lactivité 1:                                    

  Exercices : p.70 n° 24-25 / p.74-75 n° 45 Utilisation de la calculatrice graphique : p. 70-71 n° 26-27   - Constater le sens de variation dune fonction numérique sur sa représentation graphiqueNE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans les exercices suivants comment démontrer rigoureusement quune fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle…et que ce nest pas chose facile…   Exercices : p.75 n° 47-49-50.    

6. Extremum dune fonction :   DEFINITIONS :    .Une fonctionfadmet unmaximumenx = asur un intervalle I sif(x)≤f(a)pour tout nombrexde I. Le nombref(a)est appelé «maximum de la fonctionf sur I».   .Une fonctionfadmet unminimumenx = asur un intervalle I sif(x)≥f(a)pour tout nombrexde I. Le nombref(a)est appelé «minimum de la fonctionf sur I». Exemples :   - Dans la'ctivité 1, daprès son graphique, la fonction représentant les valeurs de la température admet :  .un maximum sur [0 ; 24] : il vaut 9 et est atteint pour la valeur 14 de la variable  .un minimum sur [0 ; 24] : il vaut –3 et est atteint pour la valeur 6 de la variable. - Dans lactivité 2, on a constaté sur le graphique de la fonctionAque celle-ci admet un maximum qui vaut 3200 enx40. =   Exercices : p.71 n° 28-29-33. Utilisation de la calculatrice graphique : p.71 n° 30.   Remarque :  Comme pour le sens de variations : lire les extrema dune fonction numérique sur sa représentation graphique NE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans les exercices suivants comment démontrer rigoureusement quune fonction admet un extremum sur un intervalle…et que ce nest pas chose facile…   Exercices : p.71 n° 31-32.   7. Signe dune fonction :   DEFINITION :  .Une fonctionfestpositivesur I sif(x)≥0pour tout nombrexde I . .Une fonctionfestnégativesur I sif(x)≤0pour tout nombrexde I .   Remarque :   On résume habituellement le signe dune fonction dans un tableau appelétableau de signe. Compléter celui de la fonction de lactivité 1 :   x  Signe de     f(x)       Exercices : En utilisant leurs représentations graphiques, dresser les tableaux de signe des fonctions des exercices p.70 n° 19-20-21-22.   emarque : R Comme précédemment : constater le signe dune fonction numérique à laide de sa représentation graphique NE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans un chapitre à venir comment étudier rigoureusement le signe dune fonction.