Cours 2009.2010

Propriétaire

Description

-¥¥V¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥-¥¥¥¥¥¥-¥¥¥¥¥¥¥¥¥-¥¥GENERALITES SUR LES SECONDE CHAPITREI FONCTIONS I- L ESS INTERVALLE S S DDDDééééffff1111 Soient a et b 2 nombres réels tels que a < b. L'intervalle FERME [ a ; b ] est l'ensemble des réel s. tel que : 0 1 2 1 3 a b + L'intervalle OUVERT ] a ; e sb t [l'ensemble des réels . tel que :: 0 < . < 4 a b + L'intervalle noté[ b ; + [ est l'ensemble des réels . tels que 3: 1 2 b + L'intervalle noté ] - ; a ]e]st l'ensemble des réels . tels que :2 1 0 a + ersRmqs : dans les deux 1 cas, a et b sont appellllléeeeesssss bbbboooorrrrnnnneeeessss ddddeeee llll’’’’iiiinnnntttteeeerrrrvvvvaaaalllllllleeee .... – ("moins l'infini") et + ("plus l'infini") ne sont pas des nombres, ce sdoenst symboles. Du côté de – ou + le crochet etsot utjoujrosu orsu voeurvt,e rptar convention. L'ensemble des réels sse notte ausssii – ]] – ; ++ [ . [ . ...

Informations

• Publié par: Phion
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

GENERALITESSURLES SECONDECHAPITREI FONCTIONS I-LESINTERVALLES Déf1 Soient a et b 2 nombres réels tels que a < b.  L'intervalle FERME [ a;b ]  est l'ensemble des réels  tel que :      ab #¥  L'intervalle OUVERT ]a ; b [ est l'ensemble des réels  tel que :  <  <  ab #¥  L'intervalle noté [ b ; +¥[ est l'ensemble des réels  tels que :    b #¥  L'intervalle noté ]-¥; a ] est l'ensemble des réels  tels que :    a #¥ ers Rmqs :cas, a et b sont appelésdans les deux 1 les bornes de l’intervalle. –¥("moins l'infini") et +¥("plus l'infini") ne sont pas des nombres, ce sont des symboles. Du côté de –¥ou +¥ le crochet esttoujours ouvert, par convention.  L'ensemble desréelsse noteaussi ]–;+[.¥¥  L’intervalle[aest; b [ditfermé en aetouvertenb.Ilcontient a mais pas b. Ex : Résolvons dansl'inéquation 3 – 2 5 + 3 . Représentons ensuite graphiquement l'ensemble des  solutions de cette inéquation etécrivons cet ensemble à l'aide d'intervalles : Rmq :on pourra être amené à considérer des réunions d’intervalles et, éventuellement, des intersections d’intervalles. Nous ne ferons ici aucune théorie mais nous verrons au cas particulier … * Ex :l’ensemble des réels privé de zéro, noté, peut s’écrire: ] –; 0 [  0 ; +[ où ]    estle symbole ¥ ¥ « union »… II-NOTIONDEFONCTIONETCOURBEREPRESENTATIVE(cf activité) 1- Notion de fonction  Def2 :ensemble de nombres réels.Soit un Une fonction  définiesur  estun processus, une   « machine » quià n’importe quel réel  correspondre un nombre y, notédans fait () . On note cette  fonction :       :   Û () Ce qui se lit : «  définie surà valeurs dansqui à  associe () ». Rmq : () se lit:«fde  ».  Def3 :  est appelé la variable car sa valeur varie.  Def4 : emblededéfinition de . le note sou On. En pratique, f est estappelé l’ens vent f  l’ensembledes réels x tels que () puisse se calculer( pas de division par 0, pas de racine de négatifs …). Il s’agitsouvent d’unintervalleoud’uneréuniond’intervalles. 1

 Def5 : <> est appelél’image de  par  < elle est unique >.   estun antécédentde <> par  < il peut en exister aucun, un ou plusieurs >.  Quelquesexemples pour mieux comprendre : Exemple1 : Soit  mesure du côté d'un carré la ABCD. Soit  la fonction qui à  associe le périmètre du carré de côté . L’ensemble de définitionest ………………………  f ……………………………………………………………….……… Pour tout nombre  positif, on a <> = ……....… . On note :  : ……. T  ….… U  ……. Ainsi, on a :  <1 > = ……………………………. On dit aussi : «  de 1 égale 4 »ou « l'image de 1 par  est 4 ». On dit aussi que 1 est un antécédent de 4 par . <2> =… … … … …<100> = …… … … … … . .<0,5> = …… … … … … .. Le ou les antécédents de16 sont : …………………………………………………………………… Et que dire des antécédents de - 4 ? ………………………………………………………………………. Exemple2 : Soit ]  la fonction définie sur IR par = 4²] <  >– 15.– 4  Vérifions que ]<  >= <2– 1>²– 16 : 1  et 3Calculons les images de 0 ;. < valeurs exactes ! > 2  Déterminons le ou les antécédents de – 17 :  Résolvons l’équation ]<> = 0 :  Complétons, à l’aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant :  0,3 0,4 0,5 0,6 10

â <  >

2

MEMO UTILISATION DE MA CALCULETTE : 2- Représentation graphique d'une fonction ou courbe représentative

a) Déf6  étant une fonction définie sur, dans un repère (O; I; J) du plan, f la courbe représentative notée f dela fonction  est l'ensemble des points de coordonnées (  ;() ) ,  appartenant à f .  Rmq :On place donc les valeurs de  en abscisses et celles de ç Z () en ordonnées. On dit que cette courbe a pouréquation  Z () ( dans le repère(O; I; J)). Ex : la représentation graphique de la fonction du deuxième exemple précédent est :

Cette courbe a donc pour équation ç Z4² É 4 É 15 . b) Utilisation de la calculatrice pour tracer cettecourbe MEMO UTILISATION DE MA CALCULETTE : Ex : Traçons la courbe représentative de la fonction  définie surpar – ²  2  5() Z : ( unité : 1cm )  - Cf feuille de cours – 3

III-DIFFERENTESLECTURESGRAPHIQUES 1- Lecture graphique d’images et d’antécédents On considère une fonction  est ci-dessous. On veut déterminerdont la courbe représentative graphiquement, c’est-à-dire par lecture de ce graphique, des images et des antécédents.

 Quelle est l’image de 3 ? ………………………………………………………………. Rédaction : Déterminons par lecture graphique : (É1) Z …… . .; (0)Z …… … … ..  Quelles sont lesantécédents de 1 ?......................................................................................

Rédaction :

Quelles sont les antécédents de 0 ?........................................................................................ Rmq : ces lectures graphiques ne permettent souvent d’avoir que des valeurs approchées. Et que dire des antécédents de 5 ?

4

2- Résolut° graphique d’équations et d’inéquations–Tableau de signes

ATTENTION A LA REDACTION!!! a) A partir de l’exemple précédent, résolvons les inéquations etéquations: () <1 puisf () Z ÉH :

 Pour () % 1 : rédaction :

 Pour () Z ÉH : b) Tableau de signes de () en fonction de  : Explications:  () IV-VARIATIONSD’UNEFONCTION. EXTREMA ( cf activité) 1-Fonction croissante,décroissantesurunintervalle a) Déf7: Soit  une fonction définie surun intervalle I ·  est dite croissante sur I lorsque pour tous réels a et b de l’intervalle I, si a£b alors ( a)£ ( b). ·  est dite décroissante sur I lorsque pour tous réels a et b de I, si a£b alors ( a)³ ( b). ·  est dite constante sur I lorsque pour tous a et b de I, ( a) Z ( b). Concrètement,  est croissantesurIlorsqu’ellenechangepas lesens des inégalités.  est décroissantesurI lorsqu’ellechange lesensdesinégalités. Rmq : on définit de même :une fonction  est strictement croissante sur I lorsque pour tous réels a et b de l’intervalle I, si a %balors ( a) % ( b) ( inégalitésstrictes). une fonction  est strictement décroissante surI lorsque pour tous réels a et b de I, si a % b alors ( a) > ( b). Rmq bis : attention, on dit qu’une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle et pas sur une réunion d’intervalles, ça n’a pas de sens !!! · Etudier les variations d’une fonction, c’est dire sur quels intervalles elle est croissante et sur quels intervalles elle est décroissante. On résume ces informations dans unTableau de Variations ( cf exemples suivants).   0 ;  ∞ *    b) Exd’une fonction définie par une expression( le plus difficile … ) : soit k :   .  Û  5

Alors  ] 0 ; +est décroissante sur¥[. En effet, soient a et b 2 réels strictement positifs tels que 0 < a£b. 1 1 Alors on démontre( cf. feuille de cours ) que³ c'est-à-dire  (a)³  (b).  changé le sens de a a b l’inégalité donc  ] 0 ; +est décroissante sur¥[. D’où le Tableau de Variations : x 0+¥  Rmq : la double barre signifie que 0 est valeur interdite, le retenir … c) associEx d’une fonctionée àune représentation graphique: soit g une fonction définie sur l’intervalle [ –sa représentation graphique ci-0,5 ; 4 ] associée à contre : Alors, g est décroissante sur [- 0,5 ; 1 ] : en effet, si a et b sont deux réels de cet intervalle tels que a£ b, alors les points M et N d’abscisses a et b ont pour ordonnées g(a) et g(b) et M étant plus haut que N, g(a)³g(b). De même, on a : D’où le Tableau de Variations : x g 2-Extremum: maximum et minimumd’unefonction Déf7 : soient  une fonction définie sur un ensemble.et a et b deux éléments de   sur   On dit que  admet un minimumsuren a lorsque ( a ) est la plus petite image de  : Pour tout xÎ,  ( x )³  ( a ).  ( a ) est dit le minimum de  sur. « Graphiquement, le minimum, si il existe, est l’ordonné du point le plus bas de la courbe. » admet un maximum suren b lorsque  ( b ) est la plus grande imagur  On dit que   e de  s: Pour tout xÎ,  ( x )£  ( b ) . ( b ) est dit le maximum de  sur.  « Graphiquement, le maximum, si il existe, est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe. »  Un extremum de la fonction est un maximum ou un minimum.  Rmq:il peut ne pas exister d’extremum : si l’on considère la fonction  par :définie sur   (x) = 2x + 3. Alors  , ni de minimum sur.n’admet pas de maximum sur    Ex:A partir de la fonction du graphique précédent :  Quelest le maximum de  sur [ – 0,5 ; 4 ] ?  admet-elle un minimum sur [ – 0,5 ; 4 ] ?  Quelest le maximum de  sur [ 1 ;4] ?

6