cours : contraintes sur la mecanique des milieux continus

Fortunie

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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCONTRAINTESCadre généralTenseur des contraintesHypothèses de baseThéorème de l’action et de la réactionSignification physique du vecteur contrainteDifférents tenseurs des contraintesSignification physique des contraintesContraintes normale et tangentielleConditions aux limites en pressionContraintes dans un repère orthonorméCONTRAINTESÉquations d’équilibreForces extérieures agissant sur un volumeÉquilibre des forcesÉquilibre des momentsUtilisation du tenseur des contraintesContraintes principalesContrainte moyenne et déviateurContraintes équivalentesBilanRésuméMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSComment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?CONTRAINTESCadre géénnééralTenseur des contraintesHypothèses de baseThéorème de l’action et de la réactionSignification physique du vecteur contrainteDifférents tenseurs des contraintesSignification physique des contraintesContraintes normale et tangentielleConditions aux limites en pressionContraintes dans un repère orthonorméÉquations d’équilibreForces extérieures agissant sur un volumeÉquilibre des forcesÉquilibre des momentsUtilisation du tenseur des contraintesContraintes principalesContrainte moyenne et déviateurContraintes équivalentesBilanRésuméIl faut utiliser le tenseur des contraintesMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSCONTRAINTESCadre généralTenseur des contraintesHypothèsseess de baseThéorème de l’action et de la réactionWtSignification ...

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Extrait

CONTRAINTES

Cadre général

Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes

Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthono

mré

Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments

Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

CONTRAINTES

CONTRAINTES

Cadre général

Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments

Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?

Il faut utiliser le tenseur des contraintes

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothès e s   d e   b a s e Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Efforts de cohésion dans Ω A (dus à la déformation) Densité volumique de forces F

Ω A F

t

Ω

Efforts de Ω sur Ω A (provoquant la déformation) Densité surfacique de forces t

de la

x

aér oitc

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base T héorè me de laction et Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

 dv =  t ds  Ω F A    ∂Ω A  F ∧ x dv =    t ∧ x ds  Ω A ∂Ω A

n

Ω

P Ω A F

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

CONTRAINTES

Vecte neT etniartnoc ru aitron ces durse rud neeseLt  tnse es es aintontres c  = t ) σ (v n. σ t)C( di= F  t métrt syique = σσ   t

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Si gn i f i c ation physique d u   v e c teur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

t lim  df = ds -> 0 ds   

n

t

Le vecteur contrainte n est pas forcément porté par la normale à cette surface.

df

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte D i f fére n ts tenseurs des c ontraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS



 



vecteur

df = σ .ds

Cauchy (eulérien, symétrique)

Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)

Piola-Lagrange

contraintes



 

 

surface

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes C on tra i n tes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Contrainte normale

σ n n

ds

σ n = t . n = σ ij n i n j

t

Contrainte tangentielle

σ t b

σ t = t . b = σ ij b i n j ou σ t b t - σ n n =

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle C ond i t io n s   au x   l im it e s   e n   p r e s sion Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

∂ Ω

Ω

Vecteur contrainte T connu sur la partie ∂ Ω T de ∂ Ω

∂ Ω T

t = T

n

T

σ .n = T

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression C on tra i n tes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Dans un repère orthonormé (Oxyz) :

n 0 0 σ zz t 1 σ x σ yz z σ zx σ zy σ xx σ yx σ xy

σ xx σ xy σ xz σ = σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz

σ yy

CONTRAINTES

Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

actions sur Ω A par le milieu extérieur

Ω A

- vecteur contrainte t - forces de volume f v

Ω

CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de laction et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume É qu ili br e   de s f o r c e s Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

       γ  ∂  Ω   Ω     Ω  ρ

  Ω     σ            Ω  ρ γ 

  σ        ρ γ 