Cours CSU Partie II & III

M.Badeche

Description

g1ère Année Master STIC Université Mentouri-Constantine (Département d’Informatique) Cours CSU : Parti II et III M.Badeche 1. Partie II Partie II et III 1.1. Longueur d'un arc 1. Partie II................................................................1 Définition : Soit C un arc paramétré du plan tel 1.1. Longueur d'un arc .........................................1 1.2. Repère de Frenet............................................1 que : M(t) a pour coordonnées avec x, y sur 1.3. Courbure, rayon et centre de courbure ..........1 2. Partie III...............................................................2 I un intervalle de R. 2.1. Courbes paramétrées dans l’espace (courbes La longueur de entre M(a) et M(b) est donnée : gauches)................................................................2 2.2. Surfaces .........................................................3 2.2.1Equations d’un plan..................................3 2.2.1 Surfaces paramétrées...............................4 1.2. Repère de Frenet 2.2.2.1 Plan tangent ......................................5 Définition : un arc paramétré du plan. M un t0 point de C. M est le repère de Frenet au point , M .t0 Le vecteur ainsi introduit est appelé vecteur tangent unitaire. Il est dirigé dans le sens du mouvement. Remarque : On a ici une différence avec les ...

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1ère Année Master STIC Cours CSU : Parti II et III Partie II et III   1. Partie II................................................................ 1 1.1 1. Longueur d'un arc ......................................... 1.2. Repère de Frenet............................................ 1 1.3. Courbure, rayon et centre de courbure .......... 1 2. Partie III............................................................... 2 2.1. Courbes paramétrées dans l’espace (courbes gauches) ................................................................ 2 2.2. Surfaces ......................................................... 3 2.2.1Equations d’un plan .................................. 3 2.2.1 Surfaces paramétrées ............................... 4 2.2.2.1 Plan tangent ...................................... 5  

                                                                         

 

 Université Mentouri-Constantine (Département d’Informatique)  M.Badeche 1. Partie II

1.1. Longueur d'un arc Définition : SoitC un arc paramétré du plan tel que :M(t) x, y sur avec a pour coordonnées Iun intervalle deR. Lalongueurde entreM(a)etM(b)est donnée :

1.2. Repère de Frenet Définition : arc paramé un point deC.

M

M

 

.

tré du plan. M t0 un

  ,

est lerepère de Frenet au point

 

Le vecteur ainsi introduit est appelévecteur tangent unitaireIl est dirigé dans le sens du. mouvement. Remarque : On a ici une différence avec les conventions des physiciens.

Pour nous, ,  est toujours direct, tandis que pour les physiciens, dépend de la concavité, c'est à dire du fait qu'on tourne sur la gauche ou sur la droite. Il est ainsi toujours tourné vers l'intérieur de

1.3. Courbure, rayon et centre de courbure

Lerayon de courbure point sont donnés par :

, lacourbure 

 

en un

1  

 

 

1ère Année Master STIC Cours CSU : Parti II et III

  Définitio

  Χ 1

 

1

 

 

 

 Université Mentouri-Constantine (Département d’Informatique)  M.Badeche 2. Partie III   2.1. Courbes paramétrées dans l’espace (courbes gauches)

 

 

Lecercle de courbureou osculateur cercle est le cercle de centre et de rayon . C'est le cercle le « mieux » tangent à la courbe au point .

 

Remarque : SiR>0, on tourne à gauche et si R<0, on tourne à droite. (la convention est différente de celle des physiciens pour lesquelsR le rayon de est courbure géométrique c'est à dire qu'on a toujours R>0).                

 

Une parabole, une sinusoïde sont des courbes planes. Une ellipse, un cercle sont des courbes planes fermées. Pour ces exemples, tous les points des courbes considérées sont situés dans unmêmeplan : une courbe est ditegauche(gauchir=dévier,tordre) s'il n'en est pas ainsi. C'est une courbe dans l'espace euclidien usuel à trois dimensions.

Un exemple simple de courbe gauche est l'hélice circulaire pouvant être ainsi définie : considérons un cercle (c) dans le plan horizontal des (x,y). A tout point M(x,y) parcourant (c) on associe le point S de cote z = ht , l réel donné.

x = Rcos t , y = Rsin t , z = ht C'est la courbe décrite par un point situé sur la vrille d'un tire-bouchon, dont une autre application concrète est la vis d'Archimède ou l'escalier hélicoïdal. 

 

  Définition : Dans un repère orthonormé (0,i,j,k) de l'espace, un arc de courbe gauche (c) s'étudie paramétriquement par :

OM(t) = f(t).i+ g(t).j+ h(t).k    où M(t) est un point de (c) dépendant du paramètre t. Les fonctions f, g et h,abscisse,ordonnéeetcotede M, sont des fonctions de t au moins une fois continûment dérivables. Exemple : Soit l’hélice définie paramétriquement par :

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Son vecteur tangent

 

est égale à :

 

 

 

 Université Mentouri-Constantine (Département d’Informatique)  M.Badeche Equations cartésiennes d'un plan dans l'espace : L'espace est muni d'un repère orthonormé (O, , , ).   Soit un plan P dont on connait un vecteur normal (a,b,c) et A(x A ,y A ,z A ) un point de P. Pour qu'un point M de coordonnée (x,y,z) appartienne au plan P il faut et il suffit que les vecteurs et soient orthogonaux :

2.2. Surfaces 2.2.1Equations d’un plan   Définitions d'un plan dans l'espace : On peut définir de plusieurs façons un plan : ·  avec trois points A, B, C non alignés de l'espace c'est dans ce cas l'ensemble des point M de l'espace tels que ou s et t décrivent chacun l'ensemble des nombres réels.

  ( les vecteurs et sont parfois appelés vecteurs directeurs du plan )

avec un point A et un vecteur normal au plan, le plan est dans ce cas l'ensemble des points M tels que les vecteurs et sont orthogonaux.

   

 

 

  La dernière équation obtenue :ax + by + cz + d = 0   ou (a ; b; c) (0 ; 0 ; 0 ) vérifiée par les coordonnées d'un point M(x,y,z ) quelconque du plan P est appelée une équation cartésienne du plan P. Exemple : on veut déterminer l'équation du plan P passant par le point A(1,2,3) et dont un vecteur normal est le vecteur de coordonnées (-1,3,5) :

  En fait à partir d'une équation cartésienne d'un plan vous pouvez en déterminer autant que vous le voulez, il suffit de multiplier les deux membres de l'équation obtenue par un même nombre non nul , ainsi -2x + 6y + 10z - 40 = 0 est encore une équation cartésienne de ce plan.    

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1ère Année Master STIC Université Mentouri-Constantine (Département d’Informatique) Cours CSU : Parti II et III M.Badeche Inversement : Vous pouvez alors en déduire que c'est un plan Une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où  passant par le point A et de vecteurs directeurs et (a ; b; c) (0 ; 0 ; 0 ) est l'équation cartésienne d'un  : plan de vecteur normal (a,b,c) . Représentations paramétriques d'un plan dans l'espace : L'espace est muni d'un repère (O; ; ; ) . Comment déterminer une représentation paramétrique du plan passant par trois points non alignés A, B, C : il suffit d'utiliser la condition d'appartenance d'un point à ce plan : exemple : on veut déterminer une représentation paramétrique du plan passant par les points :

Le dernier système est une représentation paramétrique du plan (ABC) c'est à dire que les coordonnées (x ; y ; z) d'un point quelconque du plan dépendent de paramètres qui sont ici s et t, mais il existe d'autre représentation paramétrique pour ce plan. Inversement, si vous connaissez une représentation paramétrique de ce type du plan vous pouvez en déduire les coordonnées d'un point de ce plan ainsi que les coordonnées de deux vecteurs directeurs de ce plan :

 

 

 

    2.2.1 Surfaces paramétrées Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes :   Surfaces d'équation explicite : le graphe · d'une fonction de deux variables. Leur équation est donc de la formez=f(x,y). Mais cela peut aussi êtrex =f(y,z). Ainsi, une des variables s'exprime en fonction des autres. Exemples :

·  

·  

o  la surface d'équationz=x y   o  La surface de Van der Waals donnée parz= (y-1/x 2 )(x-1) Surfaces d'équation implicite : l'ensemble des points (x,y,z) de R 3 tels queh(x,y,z) = 0.

Exemple : La sphère de centreOet de rayon 2 1 est d'équation implicitex 2 +y 2 +z= 1. La surface d'équationa x 2 +b y 2 +c z 2 = 1 avec a,betcpositifs est unellipsoïde.

Les surfaces paramétrées que nous allons particulièrement étudiées dans la suite.

Définition : une estUne surface paramé rée dan application d'un domaine de dans : S: (u,v)f(u,v) Si les composantes de la fonction vectoriellefsont f= (f 1 ,f 2 ,f), on écrit aussi :

 

On note quelquefois les composantes def(u,v) par x(u,v),y(u,v),z(u,v), ce qui donne les équations

 

 

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1ère Année Master STIC Université Mentouri-Constantine (Département d’Informatique) Cours CSU : Parti II et III M.Badeche De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.

On peut aussi ne regarder que l'imagef de( ) l'applicationf ensemble de ; c'est un sou qu'on appelle aussi surface dans (à condition qu'elle ne soit pas dégénérée..)

Exemple fondamental : Exemple : Soitg dansune fonction de lui associe la surface paramétrée d'équation

. On

  Mais on aurait aussi pu aussi lui associer la surface paramétrée d'équation

ou

Exemple 1 :Paramétrer la sphère de x 2 +y 2 + 2 1  z=   On note ici les deux paramètres et sûr liés aux coordonnées sphériques:

 

d'équation

, ils sont bien

  avec .   Exemple 2 :Une paramétrisation d'un paraboloïde elliptique d'équation implicitez=x 2 +y 2 :

avecu> 0 et

 

.

 

 

2.2.2.1 Plan tangent

Pour (u 0 ,v 0  le vecteur) , de composantes

 

de

On le note aussiD 1 (f)(u 0 ,v 0 ) ouD u (f)(u 0 ,v 0 ).

De

même,

peut

être

est

.

noté

 

Définition : une surface paramétrée,Si est (u 0 ,v 0 ) , siM 0  le point de l est de surface

paramètre (u 0 ,v 0 ) :M 0 =f(u 0 ,v 0 ) et si

et

sont deux vecteurs de linéairement indépendants, on appelle plan tangent au point M 0  =f(u 0  ,v 0 ) de paramètres (u 0  ,v 0 ) le plan engendré par ces deux vecteurs et passant par le pointM 0 .   Un tel point est appelé point régulier.

é inition lisse si est On dit que :

(u 0 ,v 0 ).

et

sont indépendants pour tous paramètres

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