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Cours d'algèbre linéaire - Niveau Deug

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DEUG MIASPremi`ere ann´eeMath´ematiques`COURS d’ALGEBRE´LINEAIREA. CortellaMMIVACette brochure a ´et´e r´ealis´ee en LT X2 .εEUFRSciences etTechniques deBesanc¸onUFRSTTable des mati`eres.AB MIAS 1 Alg`ebre lin´eaire. Cours. 2002–2003.UFRSciences etTechniques deBesanc¸onUFRSTChapitre I. Structure d’espace vectoriel 1Chapitre IStructure d’espace vectorielNous avons formalis´e au premier semestre les notions d’ensemble et d’application. Cer-tains ensembles sont en plus munis de ”structures” : on peut par exemple additionnerdes ´el´ements, les multiplier, ou effectuer d’autres op´erations. La plus utile et la plussimple de ces structures est celle d’espace vectoriel : on appellera espace vectoriel toutensemble qui ressemble par ses propri´et´es au plan vectoriel qui a ´et´e d´efini dans lesecondaire.Le but de ce cours est d’´etudier les propri´et´es communes de tous ces espaces.1 Quelques exemplesma Le plan vectoriel usuel2Il a ´et´e d´efini dans le secondaire comme suit : dans le planR , dont les ´el´ements sontappel´es des points, on d´efinit une relation d’´equivalence sur les couples de points par :(A,B) est ´equipollent `a (C,D) si et seulement si (A,B,D,C) est un parall`elogramme.−→Le vecteur AB est la classe d’´equivalence du bipoint (A,B).−→ −→ −→On peut additionner des vecteurs : AB +AC = AD ou` D est le point du plan telque (A,B,D,C) est un parall`elogramme. (Cette addition v´erifie la relation de Chaslesetc.. ...
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Chapitre I. Structure d’espace vectoriel
Chapitre I
Structure d’espace vectoriel
Nousavonsformalis´eaupremiersemestrelesnotionsdensembleetdapplication.Cer-tains ensembles sont en plus munis de ”structures” : on peut par exemple additionner dese´l´ements,lesmultiplier,oueectuerdautresope´rations.Laplusutileetlaplus simple de ces structures est celle d’espace vectoriel : on appellera espace vectoriel tout ensemblequiressembleparsespropri´ete´sauplanvectorielquia´et´ed´enidansle secondaire. Lebutdececoursestd´etudierlesproprie´te´scommunesdetouscesespaces.
1Quelques exemples aLe plan vectoriel usuel Ila´et´ed´enidanslesecondairecommesuit:dansleplanR2els´me´edo,lentsstntno appele´sdespoints,ond´nitunerelationd´equivalencesurlescouplesdepointspar: e (A Be)tse´uqipollent`a(C D) si et seulement si (A B D Colrglle`.maem)eunstrapa ABlaces´dessalelaviuqeipubednc(ntoiA B). Le vecteur t On peut additionner des vecteurs :AB+AC=ADo`uDest le point du plan tel que (A B D Cole`llarapnutse)alerirevne´tioieaddCettme.(gramitalednosahCsel etc...) L’ensemble des vecteurs est en bijection avecR2(il suffit de fixer un pointAet d’envoyer le pointMsur le vecteurAM). SiOest le point (00), etIetJsont respectivement les points (10) et (01), en notant i=OIetj=OJ,Otout vecteur peut s’exprimer en fonction deietj. En particulier si −− M= (x y), alorsM=xi+yjtuoT.sruetcevtdriec´onnfceontcoidn2eevtcuesr particuliers. Soit maintenantλRe,ppnaqulit`anaM= (x ytropparedeti´ethmohol)λ, on obtient un nouveau pointM0= (λx λy.)eCrd´deniepelaetrmλOM=−−M0 O= λxi+λyj.
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Onadoncmunilensembledesvecteursduneloinot´ee+etduneloinote´e, qui satisfont entre autre : (?) : siλ µRetuetvsont deux vecteurs, alors λ(µu) = (λµ)u λ(u+v) =λu+λv(λ+µ)u=λu+µu1u=u. breai´einelemt`yssnudsnoitulosseblednsemLeeohom`gne 1/1e´quation`a2inconnues Conside´ronslesous-ensembleSdeR2edm´orftilusoes(snox ynatio)uqe´led 3x2y= 0Un couple (x y´ree)ederielunedesproopisitnoseslsoltsioutiensuestemelstn´vli ´equivalentessuivantes: 2y= 3x; 3 y2=x; (x y) = (x32x) ; λR(x y) = (λ32λ) ; µR(x y) = (2µ3µ) ; µR(x y) =µ(23) , o`uond´itα(z te´etant()commαz αt). e n Si on pose de plus (x y) + (x0y0) = (x+x0 y+y0nit+d´etquelicanemere´vfeion), une application deS × SdansS(`aui,qs s0) associes+s0, et que la multiplication d´enituneapplicationdeR× SdansSui,q(`aα s) associeαs. Ces2ope´rationverientencorelesformules(?nftecton´nsriecnoiuttoet),ioutoles ´ delasolutionparticuli`ere(23). 2/2´equationsa`3inconnues Conside´ronsmaintenantlesous-ensembleTdeR3itul(snoseos´mdefrox y z) du syst`emed´equations 2x+ 3xx+23yyy++2+zzz=00==0Enproce´dantparexempleparlame´thodedeGauss,ontrouvequuntriplet(x y z)R3est dansTleer´unteisexilsntelemstueseiµtel que (x y z) = (4µ µ5µ)Ende´nissantlasommeetlamultiplicationcommeci-dessus,onvoitunenouvellefois que la somme de deux solutions est une solution et que le produit d’une solution par unre´elestencoreunesolution.Cesope´rationssurlensembledessolutionsv´erient encore (?`(articulinftecton´nsriectulopnoidnoisaletuoiseloottu,)te415). ere U F R SU F Rciences etTechniques deBaneson¸c ST
Chapitre I. Structure d’espace vectoriel
cL’ensemble des applications d’un ensembleEdansR SoitEun ensemble et l’ensembleA(ERcnro)e,e´netoRE, des applications deEdans R. Sifetgsont deux telles applications et siλRsonticalippsa,onpeutd´enirlef+g etλfdeEdansRpar : six∈ E, alors (f+g)(x) =f(x) +g(x) et (λf)(x) =λf(x). Onala`encored´eniuneop´erationinterne+etuneope´rationexternequi satisfont `a(?entndinosruqlueis.utrelesatousoirpdiraynasappatsicrtl´´eenem).Il dsedelbmesneL´eneusdontilusoqua.di.lin.homo`gnee d’ordre 1 Consid´eronslensembledesfonctionsyurniesd´etinu,con´dreseteelssvibaRqui avec lesnotationspre´ce´dantesve´rient
y0=ay
o`uarets`--aidxe´c,enrtuel´ees xR y0(x) =ay(x)Siy1ety2sont solutions etλR, alors les fonctionsy1+y2etλy1sont des fonctions n ver d´enies,continuesetde´rivablessurRe´ir´veersseeptcesiv,dedy10+y20etλy10. O ´ ifie doncimm´ediatementquellessontsolutionsdele´qua.di.propos´ee. Encoreunefois,lesope´rations+etsftisano`t(a?), et toute solution est un produit delasolutionparticulie`rex7→eaxarunpl.r´ee 2nsioerimPnstoe`er Dans toute la suite du cours,Ksigneralundescoprse´dQ,R,C. (Mais marcherait aussi surunautrecorps,cest-a`-direunautreensembledanslequelonpourraitadditionner etsoustraire,multiplieretdivisersaufparze´ro,commedansR).
aitionsD´en De´nition1 Une loi interne (resp. externe parK) sur un ensembleEest une application T:E×EE(resp.B:K×EE). Notations: SiEest muni d’une loi interneTou d’une loi externeB, au lieu de noter T(x y) (resp.B(λ x)) pour l’image d’un couple parTouB, on noteraxT youλBx. Exemple: 1. + et×sont des lois internes surRouC. U F R Sciences etTechniques deBesancon ¸
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4ou.C.2rs´einreai.2003002rblegle`SAA1IM
2.Danschacundesexemplespre´c´edants,+estuneloiinternesurEet×est une loi externe deRsurE. De´nition2 Un espace vectoriel surKest un ensembleEeet´onenretniiolenuunidm+et d’une loiexternenot´ee, satisfaisant aux axiomes (ou propositions) suivants : G1x y zE(x+y) +z=x+ (y+z)(loi interne associative) G2x yE x+y=y+x(loi interne commutative) G3eExE e+x=xeemtnen´(leutre) ´ G4xEyE x+y=eotneme´le´()´eospp V1xE1x=x(loi externe unitaire) V2xEλ µK λ(µx) = (λµ)x(loi externe multiplicative) V3xEλ µK(λ+µ)x=λx+µx(distributivite sur l’addition deK) V4x yEλK λ(x+y) =λx+λy(distributivite sur l’addition de SeanceE) ´ 01
Proposition 1 Si(E+ )est un espace vectoriel surK(ousimsiorlG4`aal),ire´1Gemelpvtne existe dansEmenee´´liravte´iqueununntG3, et sixEunuetsixle´euqin´tle,i emen ytel quex+y=e(G4). Remarque: un ensemble muni d’une loi interne satisfaisant les axiomesG1 G2 G3 G4 estappele´ungroupecommutatif. Un tel ensemble n’est jamais vide puisqu’il contient le neutre pour la loi +. Un espace vectoriel n’est donc jamais vide non plus. Usages: 1. Un espace vectoriel est donc en fait un triplet (E+ ), mais on a l’habitude de dire que l’ensembleEi-luemmˆsteesenuecaptceveirolsurK. 2. On dit aussiKespace vectoriel tout simplement s’il n’y a pas-espace vectoriel, ou ambiguite´surlecorpsK.e´suilit 3.Lese´l´ementsdeKedstnemsoseedssactnpaep´lles´el´elairesetEdes vecteurs. 4.L´ele´mentneutrepour+esteng´en´eralnot´e0ou0Eetruun.leLevtcueetappel´evecr oppos´edunvecteurxE(i.e.le vecteurytel quex+y´)tsarnlnee´´eot=0x. e en g bExemples fondamentaux Touslesexemplesdelapartiepr´ec´edantesontdesespacesvectoriels.Certainsespaces vectorielsinterviendrontre´gulie`rementdanscettee´tude:
1/ Le corpsK Le corpsKmuni de son addition et de sa multiplication (internes) habituelles est un espacevectorielsurlui-mˆeme:laloimultiplicationestbienaussiuneloiexternesur U F RU F R Sie etTechniques deBe ¸ c nces sancon ST
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