Cours de mathématiques pour la classe de seconde

O. Péault

Description

CONFIGURATIONS DU2 PLAN ET REPÉRAGE1 Triangles1.1 Théorèmes des milieuxThéorème 1• La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.• La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le troisième côtéen son milieu.• La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la longueurdu troisième côté.BIJCA1.2 Droites remarquablesThéorème 2Dans un triangle :• les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.• les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.2Ce point est situé aux de chaque médiane en partant du sommet.3• les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est le centre du cercleinscrit dans le triangle.• les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le centre ducercle circonscrit au triangle.B B0A0CH 0A0C GC C00 BBA AB0B A0COCI0BCAACONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÉRAGE 7CoursSeconde 5 - 2010/20112 Triangle rectangle2.1 Théorème de Pythagore et sa réciproqueThéorème 3Soit ABC un triangle.2 2 2• Si ABC est rectangle en A alors BC ˘ AB ¯ AC .2 2 2• Si BC ˘ AB ¯ AC , alors ABC est rectangle en A.b2 2 2c a =b +ca2.2 Cercle circonscritThéorème 4Soit AMB un triangle.• Si AMB est rectangle en M, alors le centre de son cercle ...

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Extrait

2

1 Triangles

CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE

1.1 Thormesdes milieux

Thorme 1 • Ladroite qui joint les milieux de deux cÔts d’un triangle est parallle au troisime cÔt. • Ladroite qui passe par le milieu d’un cÔt d’un triangle et est parallle À un autre cÔt coupe le troisime cÔt en son milieu. • Lalongueur du segment qui joint les milieux de deux cÔts d’un triangle est gale À la moiti de la longueur du troisime cÔt.

1.2 Droitesremarquables

A

J

B

I

C

Thorme 2 Dans un triangle : • les3 hauteurs sont concourantes en un point appelorthocentredu triangle. • les3 mdianes sont concourantes en un point appelcentre de gravitÉdu triangle. 2 Ce point est situ auxde chaque mdiane en partant du sommet. 3 • les3 bissectrices sont concourantes en point quidistant des 3 cÔts du triangle. Ce point est le centre ducercle inscritdans le triangle. • les3 mdiatrices sont concourantes en point quidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscritau triangle.

A

A

B 0 A 0 C H

B

0 B

I

C

C

B 0 A 0 C G C 0 B A B 0 A 0 C O C 0 B A

CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE 7

Seconde 5 - 2010/2011

2 Trianglerectangle

2.1 Thormede Pythagore et sa rciproque

Thorme 3 SoitAB Cun triangle. 2 22 • SiAB Cest rectangle enAalorsB C=AB+AC. 2 22 • SiB C=AB+AC, alorsAB Cest rectangle enA.

2.2 Cerclecirconscrit

c

a

b

2 22 a=b+c

Thorme 4 SoitAM Bun triangle. • SiAM Best rectangle enM, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypotnuse. • SiMest sur le cercle de diamtre [AB] alorsAM Best rectangle enM.

2.3 Trigonomtrie

A

O

M

B

Thorme 5 (Proprit et dfinition)  SoitAB Cun triangle rectangle enAetαla mesure de l’angleAB C. AB ACAC Les rapports, et nedpendent que des angles du triangleAB C. B CB CAB On dfinit le cosinus, le sinus et la tangente deαde la faÇon suivante : AB ACAC cos(α)=sin(α)=tan(α)= B CB CAB

8 COURS 2

α

c

a

b

c cosα= a b sinα= a b tanα= c

3 Paralllogrammes

Seconde 5 - 2010/2011

Dfinition 1C DUn quadrilatÈre ABest un parallÉlogramme si[AC]et[B D]ont le mme milieu. Ce milieu est appelÉcentredu parallÉlogramme.

A

D

I B

C

Thorme 6 Les cÔts opposs d’un paralllogramme sont parallles et de mme mesure.

3.1 Rectangles

A

D

k C

B

k

A

D

Dfinition 2Un rectangle est un quadrilatÈre qui a quatre angles droits. D C

A

B

B

C

Thorme 7 • Unparalllogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. • Unparalllogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont mme mesure.

3.2 Losanges

D

A

C

B

D

A

C

B

Dfinition 3Un losange est un quadrilatÈre dont les quatre cÔtÉs ont mme mesure. C D

A

B

Thorme 8 • Unparalllogramme est un losange si et seulement si il a deux cÔts conscutifs de mme mesure. • Unparalllogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.

CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE 9

Seconde 5 - 2010/2011

3.3 Carrs

A

D

B

C

A

D

B

C

Dfinition 4Un carrÉ est un quadrilatÈre qui est À la fois un rectangle et un losange.

4 Reprage 4.1 Dfinitions

Dfinition 5Soit d une droite. Soient O et Ideux points distincts de cette droite. Si M est un point de d, on appelle abscisse de M dans le repÈre (O,I)le nombre rÉel x M dÉfini de la faÇon suivante : O M • SiM∈[O I)alors x M = O I O M • SiM∉[O I)alors x M = − O I La droite d munie du repÈre(O,I)est appelÉe droite graduÉe ou axe graduÉ .

Remarque : l’abscisse d’un point sur une droite ne dpend pas de l’unit de longueur mais uniquement de la position relative des points.

Exemple : On considÈre la droite ci-dessous. DÉterminer l’abscisse de A dans le repÈre(O,I)puis l’abscisse de O dans le repÈre(I,A).

A OI O A •A∉[O I) donc l’abscisse deAdans (O,I) est−− =2 O I I O1 •O∈[I A) donc l’abscisse deOdans (I,A) est= I A3 Dfinition 6Un triplet de points(O,I,J)est appelÉ repÈre du plan si O, Iet J ne sont pas alignÉs . Le point O est appelÉ origine du repÈre et les droites(O I)et(O J)sont les axes du repÈre.

Dfinition 7Soit(O,I,J)un repÈre du plan. Soit M un point du plan. On appelle coordonnÉes de M le couple (x M ;y M )dÉfini de la faÇon suivante : • Sion appelle Nle point d’intersection de la parallÈle À(O J)passant par Met de(O I), x M est l’abscisse de N surl’axe graduÉ(O,I). • Sion appelle P le point d’intersection de la parallÈle À(O I)passant par Met de(O J), y M est l’abscisse de P sur l’axe graduÉ(O,J). x M est appelÉ abscisse de M dans(O,I,J)et y M est appelÉ ordonnÉe de M dans(O,I,J).

10 COURS 2

J

P

O I

N

M

Exemple : DÉterminer les coordonnÉes de A et B dans le repÈre(O,I,J)ci-dessous. On trace les parallles aux axes passant par A. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’crire :A(−1; 1). On trace les parallles aux axes passant par B. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’crire :B(0,5; 2).

4.2 Milieud’un segment

A

à ! Thorme 9 x A +x B y A +y B SiA(x A ;y A ),B(x B ;y B ) etIest le milieu de [AB] alorsI; 2 2

J

Seconde 5 - 2010/2011

O

B

Exemple : Dans un repÈre(O,I,J), on considÈre les points A(−4; 4)et B(2; 1). DÉterminer les coordonnÉes du milieu I de[AB]. µ ¶ x A +x B −4+2y A +y B 4+1 55 On ax I = == −1 ety I == =doncI−1; 2 22 22 2

4.3 Distances

Repre orthonormal

Soit (O,I,J) un repre du plan. On se donne une unit de longueur.

Dfinition 8On dit que(O,I,J)est orthonormal (ou orthonormÉ) si : • Lesaxes sont perpendiculaires ; • OI=O J= 1

Exemples :

J

O I

non orthonormal

Calcul de distances

Soit (O,I,J) un repre orthonormal.

1

J

O I

orthonormal

p Thorme 10 2 2 SiA(x A ;y A ),B(x B ;y B ) alo (x B −x A )+(y B −y A ) rsAB=

Exemple : Dans un repÈre orthonormal, soit A(3;−1)et B(−1; 5). Calculer AB . p pp p 2 2 AB=(−1−3)+(5−(−1))=16+36=52=2 13.

I

J

O I

non orthonormal

CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE 11