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2
1 Triangles
CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE
1.1 Thormesdes milieux
Thorme 1 • Ladroite qui joint les milieux de deux cÔts d’un triangle est parallle au troisime cÔt. • Ladroite qui passe par le milieu d’un cÔt d’un triangle et est parallle À un autre cÔt coupe le troisime cÔt en son milieu. • Lalongueur du segment qui joint les milieux de deux cÔts d’un triangle est gale À la moiti de la longueur du troisime cÔt.
1.2 Droitesremarquables
A
J
B
I
C
Thorme 2 Dans un triangle : • les3 hauteurs sont concourantes en un point appelorthocentredu triangle. • les3 mdianes sont concourantes en un point appelcentre de gravitÉdu triangle. 2 Ce point est situ auxde chaque mdiane en partant du sommet. 3 • les3 bissectrices sont concourantes en point quidistant des 3 cÔts du triangle. Ce point est le centre ducercle inscritdans le triangle. • les3 mdiatrices sont concourantes en point quidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscritau triangle.
A
A
B 0 A 0 C H
B
0 B
I
C
C
B 0 A 0 C G C 0 B A B 0 A 0 C O C 0 B A
CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE7
Seconde 5 - 2010/2011
2 Trianglerectangle
2.1 Thormede Pythagore et sa rciproque
Thorme 3 SoitAB Cun triangle. 2 22 • SiAB Cest rectangle enAalorsB C=AB+AC. 2 22 • SiB C=AB+AC, alorsAB Cest rectangle enA.
2.2 Cerclecirconscrit
c
a
b
2 22 a=b+c
Thorme 4 SoitAM Bun triangle. • SiAM Best rectangle enM, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypotnuse. • SiMest sur le cercle de diamtre [AB] alorsAM Best rectangle enM.
2.3 Trigonomtrie
A
O
M
B
Thorme 5 (Proprit et dfinition) SoitAB Cun triangle rectangle enAetαla mesure de l’angleAB C. AB ACAC Les rapports, et nedpendent que des angles du triangleAB C. B CB CAB On dfinit le cosinus, le sinus et la tangente deαde la faÇon suivante : AB ACAC cos(α)=sin(α)=tan(α)= B CB CAB
8COURS 2
α
c
a
b
c cosα= a b sinα= a b tanα= c
3 Paralllogrammes
Seconde 5 - 2010/2011
Dfinition 1C DUn quadrilatÈre ABest un parallÉlogramme si[AC]et[B D]ont le mme milieu. Ce milieu est appelÉcentredu parallÉlogramme.
A
D
I B
C
Thorme 6 Les cÔts opposs d’un paralllogramme sont parallles et de mme mesure.
3.1 Rectangles
A
D
k C
B
k
A
D
Dfinition 2Un rectangle est un quadrilatÈre qui a quatre angles droits. D C
A
B
B
C
Thorme 7 • Unparalllogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. • Unparalllogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont mme mesure.
3.2 Losanges
D
A
C
B
D
A
C
B
Dfinition 3Un losange est un quadrilatÈre dont les quatre cÔtÉs ont mme mesure. C D
A
B
Thorme 8 • Unparalllogramme est un losange si et seulement si il a deux cÔts conscutifs de mme mesure. • Unparalllogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE9
Seconde 5 - 2010/2011
3.3 Carrs
A
D
B
C
A
D
B
C
Dfinition 4Un carrÉ est un quadrilatÈre qui est À la fois un rectangle et un losange.
4 Reprage 4.1 Dfinitions
Dfinition 5Soit d une droite. Soient O et Ideux points distincts de cette droite. Si M est un point de d, on appelleabscissede M dans lerepÈre(O,I)le nombre rÉel xMdÉfini de la faÇon suivante : O M • SiM[O I)alors xM= O I O M • SiM[O I)alors xM=O I La droite d munie du repÈre(O,I)est appelÉedroite graduÉeouaxe graduÉ.
Remarque : l’abscisse d’un point sur une droite ne dpend pas de l’unit de longueur mais uniquement de la position relative des points.
Exemple : On considÈre la droite ci-dessous. DÉterminer l’abscisse de A dans le repÈre(O,I)puis l’abscisse de O dans le repÈre(I,A).
A OI O A A[O I) donc l’abscisse deAdans (O,I) est− =2 O I I O1 O[I A) donc l’abscisse deOdans (I,A) est= I A3 Dfinition 6Un triplet de points(O,I,J)est appelÉrepÈredu plan si O, Iet Jne sont pas alignÉs. Le point O est appelÉoriginedu repÈre et les droites(O I)et(O J)sont lesaxesdu repÈre.
Dfinition 7Soit(O,I,J)un repÈre du plan. Soit M un point du plan. On appellecoordonnÉesde M le couple (xM;yM)dÉfini de la faÇon suivante : • Sion appelle Nle point d’intersection de la parallÈle À(O J)passant par Met de(O I), xMestl’abscissede N surl’axe graduÉ(O,I). • Sion appelle P le point d’intersection de la parallÈle À(O I)passant par Met de(O J), yMestl’abscissede P sur l’axe graduÉ(O,J). xMest appelÉabscissede M dans(O,I,J)et yMest appelÉordonnÉede M dans(O,I,J).
10COURS 2
J
P
O I
N
M
Exemple : DÉterminer les coordonnÉes de A et B dans le repÈre(O,I,J)ci-dessous. On trace les parallles aux axes passant par A. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’crire :A(1; 1). On trace les parallles aux axes passant par B. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’crire :B(0,5; 2).
4.2 Milieud’un segment
A
à ! Thorme 9 xA+xByA+yB SiA(xA;yA),B(xB;yB) etIest le milieu de [AB] alorsI; 2 2
J
Seconde 5 - 2010/2011
O
B
Exemple : Dans un repÈre(O,I,J), on considÈre les points A(4; 4)et B(2; 1). DÉterminer les coordonnÉes du milieu I de[AB]. µ ¶ xA+xB4+2yA+yB4+1 55 On axI= == −1 etyI== =doncI1; 2 22 22 2
4.3 Distances
Repre orthonormal
Soit (O,I,J) un repre du plan. On se donne une unit de longueur.
Dfinition 8On dit que(O,I,J)est orthonormal (ou orthonormÉ) si : • Lesaxes sontperpendiculaires; • OI=O J=1
Exemples :
J
O I
non orthonormal
Calcul de distances
Soit (O,I,J) un repre orthonormal.
1
J
O I
orthonormal
p Thorme 10 2 2 SiA(xA;yA),B(xB;yB) alo(xBxA)+(yByA) rsAB=
Exemple : Dans un repÈre orthonormal, soit A(3;1)et B(1; 5). Calculer AB . ppp p 2 2 AB=(13)+(5(1))=16+36=52=2 13.
I
J
O I
non orthonormal
CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE11