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Math´ematiquespourlaPhysique, partie II -
Licence de Physique
Universite´deProvence
B.
To ´ ni rresa
CHAPITRE 2
IntroductionauxProbabilit´es
1.Mod´elisationprobabiliste 1.1.Ge´n´eralite´s. 1.1.1.Mod`le probabiliste :silissettniudormoeseld`presabobisLentnaturelle-e mentenphysiquedansdeuxcontextesdie´rents: Ilexisteunegrandequantite´desyste`mesphysiquesquisonttropcomplexes pourpouvoireˆtred´ecritsdefa¸cond´eterministe.Lexempleleplusimm´ediat estfournipardessyst`emesdeparticuleslibres.Supposonssimplement quenousayonsade´crireunsyste`mede1010enemtparticulse´,veloautnilrb ` dansunvolumenidonne´,interagissantparchocs´elastiques.Ilestclairque lesloisfondamentalesdeladynamiquenouspermettentth´eoriquementde calculer les trajectoires individuelles de chacunes des particules. Cependant, untelcalculsav`ereirr´ealisableenpratique,comptetenudugrandnombre depossibilite´sdontilfauttenircompte. Ilexisteaussidessyste`mesquiontunenatureintrinse`quementprobabi-liste.Cestenparticulierlecasdessyst`emesquantiques,sionsentientaux interpre´tationsclassiques.Etantdonne´unsyst`emequantique,onnepeut ´´eralemet´edirea`lavancecequeseraler´esultatdunemesure. gen n pas pr Ondoitsecontenterdeconnaitrelesre´sultatspossibles,auxquelsonpeut aecteruneprobabilit´e. Dansdetelscasdegure,lamode´lisationestunemod´elisationprobabiliste. Unemode´lisationprobabilisteconsisteessentiellementenunensemble(discretou continu)depossibles(appel´ese´`vnemenest), auxquels on associe un nombre (la probabilitedel´ev`enement)quiencaracte´riselavraisemblance. ´ Exemple2.1.`lleontireneci`epundlempeuqalceva,elamroeexnolsrPne e a pileouface.Ilestquasimentimpossibledecalculeravecunepr´ecisionsusantela trajectoiredelapie`cepourpre´direler´esultat.Parcontre,ilestpossibledassocier desprobabilite´sauxre´sultatspossibles.Parexemple,sionnotePetFlsltat´esues2r possiblesduntirage,etsioneectueunseultirage,onadoncdeuxre´sultats possibles,avecprobabilite´s1/2.Sioneectue2tirages,ona4re´sultatspossibles ´equiprobables;etainsidesuite.Onpeutfaireletableausuivant: P F P P P F F P F F . . . P P . . . P . . . F F . . . F
1 1 1 1 1 1.2n. . .2n 2 2 4 4 4 4. . Onassocieainsiuneprobabilite´`achacundese´ve`nementsconsid´ere´s.Onv´erie facilementquelasommedesprobabilit´esassoci´eesa`unnombredetiragesn´ex vaut 1. 3
´ 4 2. INTRODUCTION AUX PROBABILITES Exemple2.2.Marche au hasard :engorvine´dala`,exlnsnouedplemPermarche h´esitante.Siilaunejambepluscourtequelautre,onpeutpenserquilaunepro-babilite´pd’aller vers la gauche (G), etq= 1pd’aller vers la droite (D). On peut faireletableausuivant,repr´esentantlescongurationspossiblespourunnombren de pas d ´ onne : G D GG GD DG DD . . . GG . . . G . . . F F . . . F p q p2pq pq q2. . . pn q. . .n Onv´erieaussidanscecasquepourunnombrexe´depasn, la somme des probabilite´svaut1. Cesexemplessugg`erentdeposerlapremie`ree´baucheded´enitionsuivante. Pre´-D´efinition´preeicnuourenxebilUinsmtoedp`eleprobaebrniaue`omnnN dere´sultatspossiblesconsisteen (1)Un ensembleΩ ={ω1, . . . ωN}.selbissopstaltsu´eerd (2)Une applicationP: Ω[0,1] ωjP{ωj}, telle que N (2.1)XP{ωj}= 1. j=1 Nousallonsvoirunpeuplusloinquecetted´enitionnestpassusantepour couvrirlescassusceptiblesdenousinte´resser. Exemple2.3.`inecuveeaac´reliS.erianidrosttateesulpalioefuOtnri`e p ece pile (Pcaf6S.sereliuse´atlttfese(ace´a`uednejtt,)noFrnteri`epalioefuace.,o) Lensembledesre´sultatspossiblesest Ω ={(P,1),(P,2),(P,3),(P,4),(P,5),(P,6),(F, P),(F, F)} ω(P,1) (P,2) (P,3) (P,4 (P,5) (P,6) (F, P) (F, F) P{ω}1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 4 4 1.1.2.ueiq.tatssttilitie´esrPbobarpsebabooe´hdeiratLuestiqe´eslitiatitltsa sontdeuxsciencescomple´mentaires.Pluspre´cise´ment,lath´eoiedesprobabilit´ r es est unescience predictiveantcr:ivsndo´seonscodestfetiecbjele`domsederiurt ´ lar´ealite´,etpre´disantlesfr´equencesdapparitiondeph´enom`e´esultatsde nes, ou r mesure. Commentconnaitonlesprobabilit´esdetels´eve`nements?Lar´eponse`acette questionestfournieparlath´eoriestatistique,quipermetdestimercesprobabilit´es `apartirdexpe´riences.Lastatistiqueestdoncunescience descriptive. Commentfaitonlelienentrelesdeuxth´eories?larelationestsouventdonne´e par ce que l’on nomme desteoh´etimsme`rilse, comme par exemple laloi des grands