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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003Géométrie et Synthèse d’imagesFormation des imagesFrançois Sillion2003Formation des imagesTransformations géométriquesDe l’objet à l’imageGestion de la visibilitéD’une image à l’autreTransformations géométriquesReprésentation vectorielle des points– Points attachés aux primitives graphiques– Sommets, centres,données volumiques…Transformations sur ces données– Translation, rotation, changement d’échelle…– Projections :• Perspective, parallèle…– Notation unifiée ?1Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003Coordonnées homogènesOutil géométrique très puissant :– Rend les transformations projectives linéairesUn point 2D devient un vecteur à 3coordonnées :x  y w  Coordonnées homogènesDeux points sont égaux si et seulement si :x’/w’ = x/w et y’/w’= y/ww=0: points « à l’infini »– Très utile pour les projections, et pour certainstypes de modélisations (courbes splines)Translations en c. homogènesx ′ 10t x      xxx ′ + t =      w xw ′y ′ = 01t yy       yy ′w  001 w ′      = + tw yw ′x ′= x+ wt xy = y+ wt′ yw ′= w2Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003Changement d’échellex ′ s 00x     x xx ′ s      = x wy ′ = 0 s 0 y w ′y       yw  001 w  y ′′      s= y ww ′x ′= s x xy ′= s y yw = w′Rotationx ′ cos θ −sin θ 0 x          y ′ = ...

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Langue Français

Extrait







Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Géométrie et Synthèse d’images
Formation des images
François Sillion
2003
Formation des images
Transformations géométriques
De l’objet à l’image
Gestion de la visibilité
D’une image à l’autre
Transformations géométriques
Représentation vectorielle des points
– Points attachés aux primitives graphiques
– Sommets, centres,données volumiques…
Transformations sur ces données
– Translation, rotation, changement d’échelle…
– Projections :
• Perspective, parallèle…
– Notation unifiée ?
1



Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Coordonnées homogènes
Outil géométrique très puissant :
– Rend les transformations projectives linéaires
Un point 2D devient un vecteur à 3
coordonnées :
x 
 y
 
w  
Coordonnées homogènes
Deux points sont égaux si et seulement si :
x’/w’ = x/w et y’/w’= y/w
w=0: points « à l’infini »
– Très utile pour les projections, et pour certains
types de modélisations (courbes splines)
Translations en c. homogènes
x ′ 10t x      xxx ′ + t =      w xw ′y ′ = 01t yy       yy ′w  001 w ′      = + tw yw ′
x ′= x+ wt x

y = y+ wt′ y
w ′= w
2

Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Changement d’échelle
x ′ s 00x     x xx ′ s      = x wy ′ = 0 s 0 y w ′y       yw  001 w  y ′′      s= y ww ′
x ′= s x x

y ′= s y y
w = w′
Rotation
x ′ cos θ −sin θ 0 x     
     y ′ = sin θ cos θ 0 y     
yx ′ xw ′  001 w  =       cos θ − sin θw ′ w w
 y ′ yx=sin θ + cos θ w ′ w w
 x ′= cos θx − sin θy

y ′=sin θx+ cos θy
w ′= w
Composition des transformations
Il suffit de multiplier les matrices :
– composition d’une rotation et d’une translation:
M = RT
Rotation autour d’un point Q:
– Translater Q à l’origine (T ),Q
– Rotation autour de l’origine (R )Θ
– Translater en retour vers Q (- T ).Q
P’=(-T )R T PQ Θ Q
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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Et en 3 dimensions ?
C’est pareil
On introduit une quatrième coordonnée, w
– Deux vecteurs sont égaux si :
x/w = x’/w’, y/w = y’/w’ et z/w=z’/w’
Toutes les transformations sont des
x matrices 4x4
 y
 
 z 
 
w 
Rotations en 3D
Rotation : un axe et un angle
La matrice dépend de l’axe et de l’angle
Les rotations autour d’un axe de
coordonnées ont une expression simple
– Les autres rotations s’expriment comme
combinaison de ces rotations simples
Rotation around x-axis
10 00 
x-axis is  x-0 cos θ −sin θ 0
  unmodifiedR ( θ)=x 0 sin θ cos θ 0 
 
00 01 
1 000 Sanity check: a rotation of π/2
 00 −10should change y in z, and z in -y π  R ( )=x 2 0100
 0001 
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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Attention !
La multiplication de matrice n’est pas
commutative
L’ordre des transformations est important
– Rotation puis translation aura un effet très différent de
translation puis rotation
– L’ordre des angles d’Euler est un grand classique
– Une source de bugs très courante
Definition d’objets complexes
Notre problème :
β
γα
x
Definir un objet complexe
L’objet est défini comme une combinaison
d’objets plus petites
• Exemples : robots, voiture, roue…
On veut un comportement normal :
– L’objet reste connecté : si je bouge le bras, la
main suit
– Utiliser les paramètres naturels : x, α, β, γ
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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Comment faire ?
Coordonnées relatives
– La position de la roue par rapport à la voiture
– La position des boulons par rapport à la roue
Personne n’utilise des coordonnées absolues
dans la vie
Coordonnées relatives
Utiliser les coordonnées relatives :
– La position de l’avant-bras est donné en fonction du bras
Mais il faut bien revenir aux coordonnées absolues:
– On utilise une concaténation des transformations :
• Translation sur la position du bras
• Dessiner le bras
• Translation sur la position de l’avant-bras par rapport au bras
• Rotation
• Dessiner l’avant-bras
– Je veux revenir aux coordonnées du bras, ou de l’épaule
• Que faire ?
Pile de transformations
OpenGL:
–popmatrix(), pushmatrix()
SPHIGS:
–openStructure(),
closeStructure()
Postscript:
–gsave, grestore
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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Exemple d’implémentation
– Set transformation as projection matrix
– translate by x (concatenate translation matrix with transformation matrix)
– draw car body
– save transformation matrix
– translate+rotate
– draw first wheel
– restore transformation matrix
– save transformation matrix
– translate+rotate
– draw second wheel
– restore transformation matrix
Définition hiérarchique
Comment savoir quelle est la bonne
transformation ?
Comment savoir qu’il est temps de revenir à
la transformation précédente ?
Définition hiérarchique des objets
Dessiner l’objet = traversée de la hiérarchie
Objet défini hiérarchiquement
transl. x
body
transl. transl. transl.
2nd wh.1st wh.
αRot.
1st arm
Objets ré-utilisables

•Une seule procédure pour toutes les roues
7Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
De l’objet à l’image
Coordonnées Coordonnées
locales Du monde
β
γα
De l’objet à l’image
Coordonnées Coordonnées Coordonnées
locales Du monde caméra
y x
z
Transformation rigide
(translation + rotation)
monde
Distance focale
f
d
Centre de
projection s
Plan de
projection
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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Projection perspective
Projection sur le plan z=0, avec le centre de
projection placé à z=-d:
1 000 
 0100
 
0010
 001/d 1 
Coordonnées homogènes
Essentielles pour la perspective
La rétrécissement des objets utilise w
z
w = + w′
d
x ′ x
=
zw ′ + w
d
Conserve une transformation linéaire
De l’objet à l’image
Coordonnées Coordonnées Coordonnées
locales Du monde caméra
d
Coordonnées
Ecran
s
f
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Géométrie et Synthèse d'Images François Sillion - 2003
Transformation de projection
Volume « normalisé »
Conserve les équations de plans
10 0 0 
 01 0 0
 −s s
00 
d dd()11−−()f f 
00 sd/ 0  
De l’objet à l’image
Coordonnées Coordonnées Coordonnées
locales Du monde caméra
Coordonnées Coordonnées
Fenêtre Ecran
• purement 2D
•Translation et mise à l’échelle
•Coordonnées en « pixels »
« pipeline graphique »
Coordonnées Coordonnées Coordonnées
locales Du monde caméra
Coordonnées Coordonnées
Fenêtre Ecran
Composition des transformations
Positionnement des opérations
– Clipping
– Vecteur normal, calculs d ’éclairage
10

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