cours-geometrie-affine1

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66Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022 G´eom´etrie affine2.1 Espaces affines. D´efinitions ´el´ementairesNous reviendrons sur la notion de groupe op´erant sur un ensemble dans la section isom´etrie.• D´efinition: Soient (G,∗) un groupe, et E un ensemble (on note e l’´el´ement neutre de G). UneactiondeGsurE estladonn´eed’uneapplication: ω : G×E → E (onnoteraω(g,a) : g∗a)(g,a) 7→ ω(g,a)0 0 0v´erifiant les propri´et´es suivantes: ∀a∈E,e∗a = a et∀g,g ∈ G,∀a∈E : (g∗g )∗a = g∗(g ∗a).Ex: Soit E un espace vetoriel. L’addition dans E donne une action du groupe (E,+) surl’ensemble E.•D´efinition: (Espace affine) Un espace affine est la donn´ee d’un ensembleE, d’un espace vectoriel~ ~E, et d’une action deE v´erifiant les propri´et´es suivantes:1~ ~∀a∈E,∀v∈E,(v+a = a⇒ v = 0), et (∀a,b∈E,∃v∈E,v+a = b)~L’espace vectoriel E est appel´e la direction de E, et par d´efinition la dimension d’un espace affinesera celle de sa direction. Un ´el´ement deE est appel´e un point.~ ~Dans toute la suite (E,E,ω) d´esigne un espace affine de dimension finie sur un corps k. (ie E estun k-espace vectoriel)−→~• Propri´et´e: ∀a,b∈E,∃!v∈E,v+a = b on note ab le vecteur v.Ex: Montrer la relation de Chasles−→ →−• D´efinition: (Parall´elogramme) a,b,c,d ∈ E. (a,b,c,d) est un parall´elogramme si ab = cd.→− →− →−−→NB: On a ab = cd⇔ ac = bd~•D´efinition: (Translations) Soit u∈E. L’application t : E → E est appel´ee translationum 7→ u+mde vecteur u.~ ~• Propri´et´e: On a: ∀u,v ∈ E,t ◦t = t ,t = id ...

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Universit´edeParis7CAPESEcrit:2001-2002 2G´eom´etrieaffine 2.1Espacesaffines.D´efinitionse´le´mentaires Nousreviendronssurlanotiondegroupeop´erantsurunensembledanslasectionisome´trie. •n:io´eDitfinSoient (G,∗) un groupe, etEun ensemble (on noteetneme´le´’ldereutneG). Une action deGsurEnnoddee´enu’lppaication:elastω: G× E→ E (on noteraω(g, a) :g∗a) (g, a)7→ω(g, a) 0 00 ve´rifiantlespropri´et´essuivantes:∀a∈ E, e∗a=aet∀g, g∈G,∀a∈ E: (g∗g)∗a=g∗(g∗a). Ex:SoitEL’addition dansun espace vetoriel.Edonne une action du groupe (E,+) sur l’ensembleE. •on:nitiD´efiemnsne’ueblnEes)paUceaffi(aceanesptsalnffieee´deodnnE, d’un espace vectoriel ~ ~ E, et d’une action deEoppr´eriest´ivsuetna:s´vrefiinaltse ~ ~ 1 ∀a∈ E,∀v∈ E,(v+a=a⇒v= 0), et (∀a, b∈ E,∃v∈ E, v+a=b) ~ L’espace vectorielEitnoedledaricel´peapsteE’dnosenumidaisnecepaneaffi,finitionletpard´e seracelledesadirection.Une´le´mentdeEtsel´euappent.npoi ~ ~ Dans toute la suite(E,E, ω)rospensionfiniesuruncpsenaecadenffimidedsi´eeugnk. (ieEest unk-espace vectoriel) −→ ~ •:´eeti´prroP∀a, b∈ E,∃!v∈ E, v+a=bon noteable vecteurv. Ex:Montrer la relation de Chasles −→−→ •nfitioi:nDe´elogramme()Parall´a, b, c, d∈ E. (a, b, c, dsimelo´eamgrnuaparlle)tsab=cd. −→ −→−→ −→ NB: Onaab=cd⇔ac=bd ~ •no:init´Dfie(Translations) Soitu∈ E. L’applicationt u : E →E netspapel´eetranslatio m7→u+m de vecteuru. ~ ~ •i´pr´eet:orPOn a:∀u, v∈ E, t u ◦t v =t u+v , t 0 =id E .∀u∈ E, t u est bijective.NotonsT(E) = ~ ~ {t u |u}∈ E, alors l’application (E,+)→(T(E),◦) est un isomorphisme de groupes. u7→t u ~ •n:ioitfin´eDneise´traCere`pe(Rt()SoiE,E, ω) un espace affine de dimensionnt´arieesnnU.`percere (O;e 1 , . . . , e n ) deEupleconstitu´ed’tniopnuetsnuocO∈ E(l’origine) et d’une base (e 1 , . . . , e n ) n P ~ −→ n deE.∀m∈ E,∃!(x 1 , . . . , x n )∈k ,om=x i e i (. Lesx 1 , . . . , x n doorcoestlon)sedsee´nnmdans i=1 lerep`ere.

2.2 Barycentres •Proposition:Soient (a 1 , λ 1 ), . . . ,(a i , λ i )idne´sntioopped´rseE. i ii P PP −→ -Siλ i = 0, alors le vecteurλ j ma j epdnnadtpuiotn´endtiesmdeEle note. Onλ j .a j j=1j=1j=1 i i P P −→ -Siλ i 6= 0, alors il existe un unique pointmdeEtel queλ j ma j On a alors pour= 0. j=1j=1 i P −→ j aa j λ i i j=1 P P λ j −→ toutadeEam= i . Onnote alorsm=a j o`uΛ=λ j . P Λ j=1j=1 λ j j=1 Ex:P´rceds0eseneecr´npioelntde´eolesresitatonaln.aetb−a`uoa, b∈ E. i P •:noifinitD´e(Barycentre) Avec les notations ci dessus, lorsque Λ =λ j 6=0,lepointpond´er´e j=1 i P λ j (a i ,Λs)a’pps(iopspstn´dnoe´releelrybantcederea 1 , λ 1 ), . . . ,(a i , λ i ). Λ j=1 1 Onditquecetteactionestfid`eleettransitive

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•Proposition:ss(Ade´trabuaicoivitporseusiluepedtrstnilareDanstre)ycencyneburahcdehcre ponde´re´sonpeutremplacercertainsd’entreeuxparleurbarycentre. 4 Celasousentendedusooidsoupeusgrlesaeruqedpsmoem,cteisexdi`ast’eabeceuqdertnecyr ! pointspond´ere´sconside´r´eestaussinonnulle,etl’onrappelledeplusquel’onade´finilebarycentre commeunpointpond´ere´,onn’enoublieradoncpassonpoids. •λ j etµ j neme´le´edst´tdesetank, eta j etb j deE´rsemureottuseelsnotationspr´ec´nedesetutpeon, 0 0 i ii i P PP P −→ −→ parλ j .a j =µ j .b j si et seulement si∀o∈ E, λ j .oa j =µ j .ob j seestalor´tivitaicossa’L. j=1j=1j=1j=1 ´evidentequellequesoitlasommedespoids,ledangern’apparaissantquesil’onenchercheune 0 i i P P interpr´etationbarycentrique.Autrementdit,onpeutd´efinirlanotationλ j .a j =µ j .b j dont j=1j=1 0 i i P P −→ le sens est:λ j .a j −µ j .b j .= 0 j=1j=1 0 i ii i P PP P 4 danOa“ens`eunsonn´λ j .a j =µ j .b j paisas`ma”,λ j .a j lorsqueλ j ∈/{0,1} ! j=1j=1j=1j=1

2.3 Applicationsaffines ~ ~ 0 0 0 Soient(E,E, ω)et(E,E, ω)deuxk-espaces affines 0 •:onefiD´tini(Application affine) Une applicationf:E →Eest dite affine s’il existe une −→−→−→ −−−−−→ −→ ~ ~ 0 applicationlin´eairef:EE →telle que∀a, b∈ E, f(ab) =f(a)f(b). l’applicationfs’appelle direction def. −→−→ ~ −→ NB: Sifest affine, on a:∀a, m∈ E,∀u∈ E, f(m) =f(a) +f(am), f(a+u) =f(a) +f(u) ~ ~ 0 00 0 •rPpoir´et´e:Soientφ∈ L(E,E), a∈ E, a∈ E, alors l’applicationf: EE → est 0 −→ m7→a+φ(am) affine de directionφ. −→ 0 •e´ir:e´topPrSoitfune application affine deEdansE, alorsfest bijective si et seulement sif −→ −1 −1 −→ −1 l’est. Deplusfest affine etf= (f) On noteA(E)l’ensemble des applications affines deEnadeemmˆuisl −→ •Proposition:Soitf∈ A(E1 n’est pas valeur propre de). Sif, alorsfadmet un unique point fixe. −→ •Proposition:Soitf∈ A(E), alorsfest une translation si et seulement sif=id ~ E •De´nfitioi:n(Groupe affine) L’ensembleGA(E) ={f∈ A(E), fbijective}muni de la composition estungroupe,appele´groupeaffinedeEstn.eLede´seme´lGA(Eelppsd´e)staonsetransformations affinesou automorphismes affines. 0 •:eme`roeh´TUne applicationf:EE →est affine si et seulement si elle conserve les barycentres. •Proposition:tsieonneaaffitniet)nonalatyqieu’dnuaep(pRielparc´ 0 00 Onconside`redesrep`erescart´esiensRetRdeEetErespectivement. Soitxun point deEetx 0 00 0 un point deE, on noteXetXseedroodnne´nesdescolescolonxetxdansRetRrespectivement. 0 00 Sin= dimEetn= dimE, alors les applications affines deEdansEsont les applications deE −→ 0 0 0n×n n×1 dansEla formeX7→AX+Bou`A∈ketB∈ksnoitnd´ependantesdeX. Deplusf ~ ~ 0 0 est l’applicationX7→AXou`EetEmtnusnosbasisdeeduiesd´sdteeRetR.

Exercice I: Dansunplanaffinemunid’unrep`ereCarte´sienRrosdlere`eidnsco,nosetid 1 etd 2 uqe´’dnatio 2x+y−1 = 0 etx+y+ 1 = 0. 1)De´terminerlestransformationsaffineslaissantd 1 ∪d 2 globalement invariante. 2) a) Donner un exemple de transformation affine telle que l’image ded 1 soitd 2 b) Donner toutes les transformations affines telles que l’image ded 1 soitd 2

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