cours-geometrie-affine3

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66666Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022.8 Convexit´e!4 Dans toute cette partie E d´esigne un IR-espace affine.• D´efinition: Soient a et b deux points de E. On appelle segment [a,b] l’ensemble des points de E qui sontbarycentres de (a,λ),(b,1−λ) avec 0≤λ≤ 1. Un partie F deE est dite convexe si (∀(a,b)∈F ×F,[a,b]⊂F)Ex: D´efinir ]a,b],[a,b[,]a,b[. Montrer que F est convexe si et seulement si (∀(a,b)∈F ×F,]a,b]⊂F).Ex: Montrer que F est convexe si et seulement si pour toute droite D de E, d∩F est un convexe de D.Ex: D´eterminer les convexes de la droite affine IR.• Proposition: Soient I un ensemble (non n´ecessairement fini), et (F ) des parties convexes de E, alorsi i∈ITF est convexe.ii∈I• D´efinition: On appelle enveloppe convexe d’une partie F de E l’intersection des convexes de E contenant F.Ex: Montrer que l’enveloppe convexe de F est le plus petit convexe (au sens de l’inclusion) contentant F.• Proposition: Soit (A ,...,A ) n points de E. Montrer que l’enveloppe convexe de (A ,...,A ) est:1 n 1 nnP +{M ∈E|M barycentre de (A ,λ ),...,(A ,λ ) ou` λ = 0, et ∀i∈{1,...,n},λ ∈ IR }1 1 n n i ii=10 0• Proposition: SoientE etE deux IR-espace affines, et f une application affine deE dansE . L’image directe0 0par f d’un convexe de E est un convexe de E et l’image r´eciproque d’un convexe de E est un convexe de E.Exercice I:On consid`ere un espace affine r´eel E de dimension n. Soit r est un entier strictement sup´erieur a` n+1. OnrTsuppose qu’il existe des ...

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Universit´edeParis7CAPESEcrit:2001-2002 2.8Convexit´e 4 !Dans toute cette partieEnugiend´esIR-espace affine. •´eDn:ioitfinSoientaetbdeux points deE. Onappelle segment [a, b] l’ensemble des points deEqui sont barycentres de (a, λ),(b,1−λ) avec 0≤λ≤1. UnpartieFdeEest diteconvexesi (∀(a, b)∈F×F,[a, b]⊂F) Ex:e´Drinfi]a, b],[a, b[,]a, b[. MontrerqueFest convexe si et seulement si (∀(a, b)∈F×F,]a, b]⊂F). Ex:Montrer queFest convexe si et seulement si pour toute droiteDdeE,d∩Fest un convexe deD. Ex:.IRneaffiteoirdaledsexevnocseerminerlD´et •Proposition:SoientInani´reeec(ensosfienmib)lmneenntsue,(tF i ) i∈I des parties convexes deE, alors T F i est convexe. i∈I •:nD´efinitioOn appelleenveloppe convexed’une partieFdeEl’intersection des convexes deEcontenantF. Ex:Montrer que l’enveloppe convexe deFest le plus petit convexe (au sens de l’inclusion) contentantF. •Proposition:Soit (A 1 , . . . , A n )npoints deEque l’enveloppe convexe de (. MontrerA 1 , . . . , A n ) est: n P + {M|∈ EMbarycentre de (A 1 , λ 1 ), . . . ,(A n , λ n )`ouλ i 6= 0,et∀i∈ {1, . . . , n}, λ i ∈IR} i=1 0 0 •Proposition:SoientEetEdeux IR-espace affines, etfune application affine deEdansE. L’imagedirecte 0 0 parfd’un convexe deEest un convexe deEree´icrpte’lmiganvcoedexueoqund’eEest un convexe deE. Exercice I: Onconsid`ereunespaceaffiner´eelEde dimensionn. Soitrnuneitretsirtcmeetnstesup´erieur`anOn+ 1. r T suppose qu’il existe des convexesC 1 , . . . , C r deEtels que (∀j,1≤j≤r, C i 6=∅). i=1,i6=j r T 1) Pour1≤j≤r, soitx j ∈C i li’usixetnoMqrerels.tedesr´eλ 1 , . . . , λ r non tous nuls tels que i=1,i6=j r P −→ λ j x j = 0 i=1 r T 2) MontrerqueC i 6=∅)leyldeHe`rmeh´eo.(T i=1 Exercice II: (Cf capes 88)O´endgnsiarepC n l’ensemble des configurationsP= (A 1 , . . . , A n esdeeu´titsnoc)npoints distinctsounonduplanEuclidienorient´e.Danstoutleproble`me,nri´euprsientneeu.3a`lage´uorueisngde´ Lorsque les pointsA 1 , . . . , A n nd,oquitigalesn´senoptsaenP= (A 1 , . . . , A n ) est un polygone, dans le cas contraire,onditquelaconfigurationestaplatie.L’ensembledespolygones,´el´ementsdeC n tse´toneP n . (. . .). Le choix d’une origineOeCblsde’ealemnsal`nlrpeitefidineetd’permecteedire´mronohtroesabeund’et nombrescomplexesenassociant`atoutpointAocroodnned(see´x, y) son affixez=x+iytoute configuration. A n P= (A 1 , . . . , A n )essiastaintueneln´me´enticosibe´tcejmeviu= (z 1 , . . . , z n ) de Cque l’on appelera encore affixe deP; inversement, on dira quePest l’image deu´dnOgiseapen.rdqeiulaga`,arateop´ed´ecurde’l toute configurationP= (A 1 , . . . , A n ) associe la configurationd(P) = (A 2 , . . . , A n , A 1 ), et parmpo’lare´urtede passageauxmilieuxquia`P= (A 1 , . . . , A n ) associe (B 1 , . . . , B n ntme´eelt´ourtoup,u`o)kde [1, n−1],B k est le milieu du segment [A k , A k+1 ]eto`uB n est le milieu de [A n , A 1 ]. n Dans tout la suite on noteDetMsinfilrapCleie´ds:onreestilaldomoesensmesrphiseapud-Ctcroecev 1n D(z 1 , . . . , z n ) = (z 2 , . . . , z n , z 1 ) ;M= (I+Du`o,)I’lengise´dntdeniioaticplapcsseD.naedCqieuns,itiocond 2 pour toute configurationPd’affixeu, les configurationsd(P) etm(P) admettent pour affixes respectivesD(u) etM(u). I..planesduitudmilielssvacetie ´ noitoctetapmlibideetbalaceryrantEff Pour toute transformation affine (bijective)tdu plan et pour toute configurationP= (A 1 , . . . , A n ) on notetP 0 00 la configuration (A ,. . . , Asointtitsnoc)psedee´uA=t(A j ). 1 n j 1) SoitP= (A 1 , . . . , A n ) une configuration etGl’isobarycentre deP,d´efiniparaleralitno: −−→−−→ GA 1 +. . .+GA n = 0 a)De´terminerl’isobarycentredem(P) b) Soittune translation du plan.Comparerm(tP) ettm(Pnire’lsiD.e´etmrtrede)obarycenm(tP). n n 2) Onnotee 0 edC´dfielee´emtnl’´atelniopaniarrle 0 = (1, . . . ,1) etH:itnoqeaud’´ndeCrplahype’l z 1 +. . .+z n = 0. n a) Montrer que C= Ce 0 ⊕Hilpxeteursassoci´es`aceicetlrserpjoceetnsnemeomdettoce´sopmoiti directe. Montrerque les sous espaces vectoriels Ce 0 etHsont stables par l’endomorphismeM.

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b) SoitPune configuration d’affixeu= (z 1 , . . . , z n )xe’lffianireetmrD.e´λde l’isobarycentreGdeP. Caracte´riserg´eom´etriquementlesconfigurationsPtelles queu∈Htnefiire´italeralceetonivquesllu=αe 0 o`u α∈C. ¯ 3) SoitP= (A 1 , . . . , A n ) une configuration d’affixeu= (z 1 , . . . , z n note). OnPla configuration d’affixe (z¯ 1 , . . . , z¯ n ) et pour tout nombrea, on noteaPla configuration d’affixeau= (az 1 , . . . , az n ). ¯ a)Parquellestransformationsg´eom´etriquessimplesduplan,PetaPsed´edusineetllseedP? ¯ b) Comparerm(P) etm(P), ainsi quem(aP) etam(P). III.saasupedt ´ vitiecjiBeixumxliegua 1) Casdes triangles a) SoientP= (A 1 , . . . , A n ) un triangle etGConstruire le triangleson isobarycentre.m(Pque). Prouver dm(P)tdeiude´desPee´itparumothnehohde centreGsont on indiquera le rapportλ. b)Ende´duirequeminduit une bijection deP 3 angle.tEnadtno´nuetnirQ= (B 1 , B 2 , B 3 ) indiquer une constructionge´ome´triquedel’uniquetriangleP= (A 1 , A 2 , A 3 ) tel quem(P) =Q. 2)Casdesquadrilat`eres. a) SoitP= (A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ) une configuration,Gson isobarycentre etm(P) = (B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ). Prouver −−−→−−−→−−−→ queA 1 A 3 = 2B 1 B 2 = 2B 4 B 3 ; ainsi (B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ´(veneutleelemtnaplati)dontone)nutsrapa´ellgrlomeam indiqueralecentredesyme´trie.PlacerPetm(Ps)meeˆrunuure.mefig b) Inversement, soientQ= (B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) un parallelogramme ets 1 , s 2 , s 3 , s 4 splerantceesrietlseys´mra rapporta`chacundessommets.Calculers 2 os 1 ets 4 os 3 et montrer ques 4 os 3 os 2 os 1 eidenstl’pude´titnE.nal de´duirequepourtoutpointA 1 du plan, il existe une configurationP= (A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ) et une seule telle que m(P) =Qsnrtenoceuurdnqietistniopsedeuqrietm´eog´ontiucA 2 , A 3 , A 4 . c)xempleo`uEQtaeiotu`seatlpPne l’est pasdonne les points. OnB 1 , B 2 , B 3 , B 4 pocruelra´enndoores (−3,0),(1,0),(3,0),(−1,0). ConstruirePsachant queA 1 aruoporconndoes´e(−4,1). d)Eexpmel`ouQdetsmeomssle`uestnonaplati,etoPn2s2`atcnitsidsaptnoseonn´antd.Etuen parall´elogrammenonaplatiQd´,gurationenurfinocreteenimP= (A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ) telle quem(P) =Qet que A 1 =A 2 il arriver que. PeutA 1 =A 3 ? e) Prouver quemt,ffetece.Aemeˆmiulrussemmalogrll´eparaedesmelbe’sndnletcoinetujebiiuind onpourrad’abordmontrerqu’´etantdonn´eunparall´elogrammeP= (A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ) d’isobarycentreGet −−→−−−→ m(P) = (B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) alorsGA 1 =B 2 B 1 . 3)Bijectivite´dupassageaumilieudanslecasou`nmiapriO.etsn´ecritnsous la formen= 2p+ 1ou` p≥1 a)D´eterminerlenoyaudel’endomorphismeM 0 deHinduit parM. b)Ende´duirequemest une bijection deC n que. Prouverminduit une bijection deP n . c) SoitQ= (B 1 , . . . , B 2p+1 ) une configuration d’affixev= (b 1 , . . . , b 2p+1 ) et d’isobarycentreO,P= (A 1 , . . . , A 2p+1 ) l’unique configuration telle quem(P) =Qetu= (z 1 , . . . , z 2p+1 ) l’affixe deP`estmeeriryselcE. line´airetraduisantl’e´quationm(P) =Q. Prouverque

z 1 =b 1 −b 2 +b 3 −b 4 +. . .+b 2p+1

(1)

Indiquerunalgorithmepermettantdeconstruireg´eome´triquementA 1 puisP, connaissantQ. d)Expression de l’inverse deM 0 SoitD 0 l’endomorphisme deHinduit parD(. CalculerI+D 0 )(I− 2p −1 2 +D+. .re.)End´eduiMen D 0 0 .+D 0 0 fonction deD 0 . Retrouverainsi la formule (1) 4)Bijectivite´dupassageauxmilieuxdanslecasou`necrittseriap´nO.nsous la formen= 2pou`p≥2; n dans ces conditionse p = (1,−1,1,−1, . . . ,1,−1). OnnoteF:ontiual’hyeppraldnCed´’qez 1 −z 2 +z 3 −z 4 + . . .+z 2p−1 −z 2p = 0 a)D´eterminerlenoyaudel’endomorphismeM 0 induit parMsurHque. MontrerM 0 stabiliseF∩Het induit un automorphismeM 00 deF∩H.deeagiml’reuiedd´EnM 0 . b) SoitQ= (B 1 , . . . , B 2p ) une configuration d’affixev= (b 1 , . . . , b 2p) et d’isobarycentreG. Montrerquev appartient`aFsi et seulement si les isobarycentres de (B 1 , B 3 . . . , B 2p−1 et de (B 2 , B 4 , . . . , B 2p vecncidenta)ocı¨ G. OnnoteE 2p ´e.i´etroprttepa`ecastnfsiaasitaturnsioscdefigonesneelbm’l c) Prouver que, pour toute configurationQ= (B 1 , B 2 , . . . , B 2p ) deE 2p et pour tout pointA 1 du plan, il existe une configurationP= (A 1 , A 2 , . . . , A 2p ) et une seule telle quem(P) =Qque. Montrerminduit une bijection deE 2p euistqeeemmˆuirlsuPylognuopetst`aenanpartneapE 2p ,m(P) en est encore un. 2p2 d)Expression de l’inverse deM 00 ormqeuellyenpˆo.MontreX−1 est divisible parX−1. SoitVle quotient.Montrerqu’ilexisteunpolynˆomeAedrge´2dep−3 et une constanteBtels queA(1 +X) +BV= 1. −1 CalculerBpuisA. SoitD 00 l’endomorphisme deF∩hinduit parD. ProuverqueV(D 00 deiuer=);0ne´dM 00 en fonction deD 00 .

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