COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 2opérateurs différentiels140Sommaire2.1 l’opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 le gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5145 2.4 le rotationel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 le Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.1 le Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2 le vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 identités et relations entre opérateurs différentiels . . . . . . . . . . 6150 2.6.1 propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6.2 identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6.3 quelques relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 opérateurs et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7.1 théorème de green ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7155 2.7.2 de stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7.3 autres théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7160 2.1 l’opérateur nabla!¡ @ @ @!¡ !¡ !¡r˘ e ¯ e ¯ ex y z@x @y @z2.2 le gradientEn coordonnées cartésiennes :¡¡¡! !¡ @f @f @f!¡ ...

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Chapitre 2

oprateurs diffrentiels

140 Sommaire 2.1 l’oprateurnabla4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 legradient4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 ladivergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.4 lerotationel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 145 2.5 leLaplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.5.1 leLaplacien scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.5.2 leLaplacien vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.6 identitset relations entre oprateurs diffrentiels6. . . . . . . . . . 2.6.1 propriÉtÉsfondamentales6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.6.2 identitÉs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.6.3 quelquesrelations utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.7 oprateurset intgrales7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 thÉorÈmede green ostrogradski7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 thÉorÈmede stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 155 2.7.3 autresthÉorÈmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.1 l’oprateurnabla 160

2.2 legradient

−→ ∂ ∂ ∂ −→−→−→ ∇ =e x +e y +e z ∂x∂y∂z

En coordonnÉes cartÉsiennes : −−−→ −→ ∂f∂f∂f −→−→−→ grad f= ∇f=e x +e y +e z ∂x∂y∂z 4

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En coordonnÉes cylindriques : −−−→ ∂f1∂f∂f −→ −→−→ grad f=e r +e θ +e z ∂r r∂θ ∂z En coordonnÉes sphÉriques : −−−→ ∂f1∂f1∂f −→ −→−→ grad f=e r +e θ +e ϕ ∂r r∂θrsinθ ∂ϕ

2.3 ladivergence

En coordonnÉes cartÉsiennes : −→ −→−→ ∂A x ∂A y ∂A z d iv A= ∇.A= + + ∂x∂y∂z En coordonnÉes cylindriques : −→ 1∂(r A r ) 1∂A θ ∂A z d iv A= ++ r∂r r∂θ ∂z En coordonnÉes sphÉriques : 2 ∂A −→ 1∂(r A r ) 1∂(sinθA θ ) 1 ϕ d iv A= ++ 2 r∂r rsinθ ∂θrsinθ ∂ϕ

2.4 lerotationel

En coordonnÉes cartÉsiennes :

− → → −→ − → − ∂A z ∂A y ∂A x ∂A z ∂A y ∂A x −→−→−→ r otA= ∇ ∧A=(−)e x +(−)e y +(−)e z ∂y∂z∂z∂x∂x∂y

En coordonnÉes cylindriques :

−→ →− 1∂A z ∂A θ ∂A r ∂A z 1∂(r A θ )∂A r −→ −→−→ r otA=(−)e r +(−)e θ +(−)e z r∂θ ∂z∂z∂r r∂r∂θ

En coordonnÉes sphÉriques :

−→ 1 ∂(sinθA ϕ ) ∂A θ ∂(r A ϕ ) −→ 1 1∂A r 1∂(r A θ )∂A r −→ −→−→ r otA=(−)e r +(−)e θ +(−)e z rsinθ ∂θ∂ϕrsin∂θ ∂ϕr r∂r∂θ

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2.5 leLaplacien 2.5.1 leLaplacien scalaire 165 soit V une fonction scalaire En coordonnÉes cartÉsiennes : 2 2 2 −→ ∂V∂V∂V 2 Δ V= ∇V= + + 2 2 2 ∂x∂y∂z En coordonnÉes cylindriques : 2 2 1∂ ∂V1∂V∂V Δ V=(r)+ + 2 22 r∂r∂r r∂θ ∂z En coordonnÉes sphÉriques : 2 2 1∂1∂ ∂V1∂V Δ V=(rV)+(sinθ)+( ) 2 22 2 r∂r rsin∂θθ ∂θrsinθ ∂ϕ

2.5.2 leLaplacien vectoriel −→ soitAun vecteur En coordonnÉes cartÉsiennes : −→ −→−→−→ Δ A= Δ A x e x + Δ A y e y + Δ A z e z

le laplacien vectoriel n’a pas d’expressions simples en coordonnÉes cylin- driques ou sphÉriques

2.6 identitset relations entre oprateurs diffren- tiels 170 2.6.1 propritsfondamentales tous les opÉrateurs sont linÉaires ∂ la dÉrivÉe par rapport au tempscommute avec ces opÉrateurs ∂t

2.6.2 identits

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− −→ → d ivr ot A=0 − −−−→ → −→ r ot gradV=0 −−−→ d iv(gradV)= Δ V

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2.6.3 quelquesrelations utiles 175 −→ −→ soit deux champs scalairesVetUet deux champs vectorielsAetB −−−→ −−−→−−−→ grad(V U)=V grad(U)+U grad(V) −−−→−→ −→ −→ − →−→− →− −→−− →− → → −−− →− →−→−−→ grad(A.B)=A∧r ot B+B∧Ar ot+(A.grad)B+(B.grad)A −→−→−→−−−→ d iv(V A)=V d iv A+A.gradV −→ −→ −→ −→ →−→− −→ −→ d iv(A∧B)=B.r otA−A.r ot B −→− −−−→→→→− → −− r otr otA=grad(d iv A)− Δ A −→ −→ − →− → →−−−→− r ot(V A)=V rot A+gradV∧A

2.7 oprateurset intgrales 2.7.1 thormede green ostrogradski Ó Ñ −→ −→−→ A.d S=d iv A dτ

2.7.2 thormede stokes

I Ï −→−→ − →− → −→ A.d l=r otA.d S

2.7.3 autresthormes thÉorÈme de Kelvin I Ï −→−−−→−→ V dl= −gradV∧d S

formule intÉgrale du gradient Ó Ñ −→−−−→ V d S=gradV dτ

formule intÉgrale du rotationnel Ó Ñ −→−→ −→ →− A∧d S= −A dr otτ

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