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Cours-MPP

6 pages
1 — PRINCIPE DE FERMATLapre´sentationdel’Optiquege´ome´triquepropose´eiciestaxiomatique;ellede´veloppe Fermat qui ge´ne´ralise ce re´sultat a` des rayons lumineux suivant des trajets quelconquesdesdesoutilsne´cessairesautraitementdessyste`mesde formation d’images,maisquel’on dansdesmilieux auxproprie´te´soptiquescomple`tement arbitraires.rencontreraaussidansd’autresdomainesdela Physique. Dans son e´nonce´ le plus simple, ce principe affirme que, lors de son parcours d’unpointAa` unpointBdonne´, lalumie`resuitunecourbe(C)quiassureunedure´edetrajetextre´male(enge´ne´ralminimale) parrapporta` touttrajetvoisin.1.1– CheminoptiqueetprincipedeFermat1.1.3- Indiceoptique1.1.1- Optiquege´ome´triqueLa dure´eτ du trajetde la lumie`re d’un pointA a` un pointB de´pend de la vitessev deL’Optiquege´ome´triquee´tudielestrajectoiresdesrayonslumineux,sanssepre´occuperla propagation de la lumie`re en chaque point M du trajet; si on note c la vitesse de la0de leur nature (celle-cisera e´tudie´e ulte´rieurement; nous verronsalors que les pinceauxlumie`re dans le vide, on choisira de noter v = c /n en de´finissant l’indice optique n du0de rayons lumineux mate´rialisent la propagation d’ondes e´lectromagne´tiques). Cettemilieu mate´rieltraverse´ enM.propagation de´pend e´videmment de la pre´sence des obstacles rencontre´s lors de la pro-Cet indice optique est en ge´ne´ral supe´rieur a` 1 (ce qui indique v < c ) mais ce n’est0pagation ...
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1 — PRINCIPE DE FERMAT
Lapre´sentationdel’Optiquege´ome´triquepropose´eiciestaxiomatique;ellede´veloppe Fermat qui ge´ne´ralise ce re´sultat a` des rayons lumineux suivant des trajets quelconques
desdesoutilsne´cessairesautraitementdessyste`mesde formation d’images,maisquel’on dansdesmilieux auxproprie´te´soptiquescomple`tement arbitraires.
rencontreraaussidansd’autresdomainesdela Physique. Dans son e´nonce´ le plus simple, ce principe affirme que, lors de son parcours d’un
pointAa` unpointBdonne´, lalumie`resuitunecourbe(C)quiassureunedure´edetrajet
extre´male(enge´ne´ralminimale) parrapporta` touttrajetvoisin.
1.1– CheminoptiqueetprincipedeFermat
1.1.3- Indiceoptique
1.1.1- Optiquege´ome´trique
La dure´eτ du trajetde la lumie`re d’un pointA a` un pointB de´pend de la vitessev de
L’Optiquege´ome´triquee´tudielestrajectoiresdesrayonslumineux,sanssepre´occuper
la propagation de la lumie`re en chaque point M du trajet; si on note c la vitesse de la
0
de leur nature (celle-cisera e´tudie´e ulte´rieurement; nous verronsalors que les pinceaux
lumie`re dans le vide, on choisira de noter v = c /n en de´finissant l’indice optique n du
0
de rayons lumineux mate´rialisent la propagation d’ondes e´lectromagne´tiques). Cette
milieu mate´rieltraverse´ enM.
propagation de´pend e´videmment de la pre´sence des obstacles rencontre´s lors de la pro-
Cet indice optique est en ge´ne´ral supe´rieur a` 1 (ce qui indique v < c ) mais ce n’est
0
pagation;nousverronsalorscommentcesobstaclespeuventinfluencerlatrajectoiresui-
pasune obligation, lavitesse depropagation(ouvitessedephase)vn’e´tantpastoujours
vie parcesrayonslumineux;c’estle phe´nome`ne de diffraction.
infe´rieure a` c (ce n’est pas une vitesse mate´rielle). Nous verrons que, dans le cas de
0
L’e´tude de l’Optique ge´ome´trique ne´glige a priori le phe´nome`ne de diffraction : nous
certainsmilieuxmate´rielstransparents(lesplasmasdansledomainedesondesradio)on
supposeronsdoncquelalumie`renerencontreaucunobstaclelorsdesapropagation,sauf
peutavoirn< 1.
bien suˆr les surfaces limitant deux milieux transparents. Ces surfaces seront suppose´es
Notons aussi que l’indice optique d’un milieu mate´riel de´pend de la fre´quence f ou,
suffisammentre´gulie`respour qu’on puisse, entout pointleur associerun plantangent.
ce qui revientaumeˆme, de la longueur d’onde dans le videλ =c /f de l’onde e´tudie´e.
0 0
Onparlerade dioptrespourlessurfacespermettantlatransmission etlare´flexiondela
Pour la lumie`re visible, 400 nm6 λ 6 750 nm (limites conventionnelles) avec un sens
0
lumie`re;une surfacequine permetque la re´flexionestun miroir.
de variationpre´cise´ parla fig. 1.1.
Nous ne nous pre´occuperons pas non plus ici de la nature physique des sources de
Lade´pendanced’unindiceaveclalongueur d’ondeconstitue lephe´nome`ne de disper-
lumie`re; il nous suffira d’affirmer l’existence d’une ou plusieurs sources ponctuelles de
sion, pre´sent dans tous les milieux mate´riels sauf le vide. Pour la plupart des mate´riaux
lumie`re(lessourcese´tenduese´tantconside´re´escommedesassociationsdesourcesponc-
dn b
tuelles), e´clairantl’espaceselon deslois de´veloppe´esplusbas.
usuels, < 0; on peutsouvent adopter le mode`le de Cauchy,n =a+ oua etb sont
2

λ
0
0
desconstantespositives.
1.1.2- PrincipedeFermat
Retenons enfinquelquesordresdegrandeurs.Onad’abordpourvitessedelalumie`re
Conside´rons deux points A et B quelconques, susceptibles d’eˆtre l’un la source et danslevidelavaleur(constanteuniverselle,inde´pendantedel’e´tatdemouvementdela
l’autre la destination d’un rayon lumineux. Il est bien connu que le trajet AB est par- source etdel’observateur):
couru par la lumie`re en ligne droite lorsque A et B sont situe´s dans un meˆme milieu
−1
homoge`ne;nousadmettrons,commefondementdel’Optiquege´ome´trique,le principe de c = 299 792 458ms (1.1)
0
1b
b
b
b
b
1.2– Conse´quences
1.2.1- Milieuxhomoge`nes
rouge
bleu
Dans le cas d’un milieu homoge`ne,n est constant et le chemin optique prend la forme
−→
(AB) =nu~ AB,cequel’onpeutnoter(AB) =nAB,enfonctiondelamesurealge´brique
t
de la distance (AB). Un tel chemin optique est extre´mal si la distance AB est minimale
(e´tant borne´e infe´rieurement, une distance ne peut eˆtre maximale), donc pour la ligne
droite: c’estla loi de la propagation rectiligne.
FIG. 1.1–Longueur d’onde etcouleur dela lumie`re
Dans le cas d’une succession de milieux homoge`nes (cf. fig. 1.2), d’indices succes-
sifs n ,k ∈ {0,...,N}, deux milieux conse´cutifs d’indices n et n e´tant se´pare´s
k k
k+1
L’indice optique desmilieux transparentsusuelsve´rifie enge´ne´ral16n6 2avecpar
par les dioptres (D ) ou les miroirs (M ), on peut e´crire le chemin optique
k,k+1 k,k+1
−4
exemplen−1 = 3×10 pour l’air dans les conditions normales de tempe´rature et de
N N
X X
−−−−→
pression,n−1≃ 0,33pour l’eauet0,26n−16 0,9pour lesverresoptiques.
(AB) = n n ~u I I ,sousre´servedenoterI =A
I I soitencore(AB) =
k k k+1 k k k k+1 0
k=0 k=0
−−−−→
1.1.4- Cheminoptique
etI = B, le vecteur unitaire ~u e´tant celui du segmentI I . Sur la fig. 1.2,N = 3 et
N k k k+1
n =n .
1 2
On peut alors exprimer la dure´e d’un trajet infinite´simal selondt = ds/v en fonction
Z
ds
de la distance ds parcourue, donc aussi τ = n(M) , l’inte´grale e´tant e´tendue
c
M∈(C) 0
(M )
(D ) 12
01
dupointAaupointB:c’estcetteinte´gralequidoiteˆtreextre´male,d’apre`sleprincipede B
Fermat.
I I
2 4
Lagrandeurc e´tantuneconstanteuniverselle,onde´finitle cheminoptique(AB)lelong
I
0
3
A
n
d’une courbe(C) arbitraireparl’inte´grale curviligne : 0
I
0
Z Z
n
2
L = (AB) = n(M)ds = n(M)u~ (M)d~r (1.2) n n
t 3
1
I
1
M∈(C) M∈(C)
(D )
23
ou` on a note´ ~u (M) le vecteur unitaire tangent au point M a` la courbe (C); notons que
t
l’inte´grale (1.2)peute´ventuellementeˆtre ne´gative,selon le sens choisi pour l’orientation
de la courbe (C); cette inte´grale curviligne est un premier exemple d’inte´grale de circu-
FIG. 1.2–Succession demilieux homoge`nes
Z
~
lation, qu’on de´finira ge´ne´ralement sous la forme W(M)d~r pour tout champ
M∈(C)
~
vectorielW(M). Onpeutalorsre´e´crireleprincipe deFermat:
1.2.2- LoisdeSnell–Descartes
PRINCIPE DE FERMAT
LanaturerectilignedestrajetsI I e´tantimpose´s danschaque milieuhomoge`ne, le
k k+1
Lors de son parcoursd’un pointA a` un pontB donne´, la lumie`re suit une courbe
principe de Fermat impose seulement le choix des points interme´diairesI (0 < k < N)
k
(C) quiassureunchemin optique extre´malparrapporta` touttrajetvoisin.
de re´fractionoudere´flexiondesrayonslumineux sur lesdiffe´rentsdioptresetmiroirs.

−−−−→ −−−−→ −−→
Un chemin optique positif (avec u~ dans le meˆme sens que d~r, donc si la courbe est
Ce choix doit ve´rifier d(AB) = 0 avec d ~u I I = ~u dOI −dOI
t
k k k+1 k k+1 k
oriente´e dans le sens effectifde parcoursde la lumie`re),sera dit re´el; un chemin optique
−−−−→
ne´gatif seradit virtuel. puisqued~u est perpendiculaire a` ~u et donc a` I I : un vecteur unitaire ve´rifie tou-
k k k k+1
2
4
0
0
n
m
5
5
0
n
m
7
5
0
n
mb
b
b
b
2

joursu~ = 1 doncu~ d~u = 0. On peut donc regrouper la condition issue du principe
k k M
k
N−1
X
−−→
deFermatsousla forme n dOI (n u~ −n u~ ) = 0.
k k k k k+1 k+1
k=1
M
Cette condition n’est possible, pour tout de´placementinfinite´simal arbitrairedu point
I sur le dioptre(D )ousur lemiroir (M ), que si le vecteurn ~u −n ~u
B
k k,k+1 k,k+1 k k k+1 k+1
est normal a` la surface de ce dioptre ou de ce miroir. En notant enfin ~g un vecteur
k,k+1
unitairenormala` cettesurface,on adonc :
A
~g ∧n ~u = ~g ∧n u~ (1.3)
k,k+1 k k k,k+1 k+1 k+1 FIG. 1.3–Extremumducheminoptique
Cette relation, qui introduit l’invariant de propagation ~g∧nu~ n’est autre que la loi de
Z
Snell–Descartes de la re´flexion ou de la re´fraction. En effet, elle affirme d’abord que le
On aura donc δ(nu~ d~r) = 0, avec δ(nu~ d~r) = δn(u~ d~r) +n~u δd~r
t t t t
vecteuru~ est orthogonal a` ~g ∧~u , donc a` la normale au plan d’incidence de´fini
k+1 k,k+1 k M∈(C)
parle rayonincident~u etla normale~g aupointd’incidence : puisque δu~ est perpendiculaire a` ~u donc a` d~r = ~u ds. Le vecteurδd~r peut eˆtre de´fini
t t t
k k,k+1
−−−→ −−−→
−−→
′ ′
commeδd~r =d(OM )−d(OM)doncaussiδd~r =dMM =dδ~r,etonpeutdoncre´e´crire
`
PREMIERE LOI DE SNELL–DESCARTES
Z Z
B
Lerayonre´fle´chietlerayonre´fracte´ sontcontenusdanslepland’incidence,de´fini
la secondepartiedel’inte´grale, nu~ dδ~r = [nu~ δr] − δ~rd(n~u ).Dans
t t t
A
parle rayonincidentetlanormale audioptreou aumiroir aupoint d’incidence. M∈(C) M∈(C)
cette inte´gration par parties, le terme tout inte´gre´ est nul puisque δ~r(A) = δ~r(B) = 0;
remarquant alors que ~u d~r = ds, on peut re´e´crire le principe de Fermat sous la forme
t

De plus, le vecteur invariant ~g ∧n u~ a pour norme n sini , ou` i est l’angle Z
k,k+1 k k k k k
dn~u
t
(non oriente´)forme´ entre~g etu~ ;on retrouvedonc bien:
k,k+1 k
δn−δ~r ds = 0.
ds
M∈(C)
SECONDE LOI DE SNELL–DESCARTES
Cetteinte´graledevanteˆtrenullesurtoutepartiedurayonlumineuxeffectif,l’inte´grant
Dans le cas de la re´fraction, le rayon lumineux traverse la normale et les angles
ne peut eˆtre que nul en tout point de ce rayon, et l’e´quation des rayons lumineux prend
forme´s avec celle-ci par les rayons incidenti et re´fracte´ i ve´rifient la relation
k dnu~
k+1 t
la formeδn =δ~r , pourtout de´placementarbitraireδ~r. Comme dansce cason peut
n sini =n sini .
k k k+1 k+1
ds
−−→
Danslecasdelare´flexion,lerayonlumineuxtraversee´galementlanormaleetest
e´crireδn =gradnδ~r, onobtientl’e´quation diffe´rentielledesrayonslumineux :
le syme´trique relativementa` celle-cidurayonincidentpuisquei =i .
k k+1
d(n~u )
−−→
t
=gradn (1.4)
ds
−−→
´
1.2.3- Equationdesrayonslumineux
Si on conside`re une surface iso-n comme un dioptre local, le vecteur gradn est la
−−→
~
normale a` ce dioptre et on retrouve bien la relationd(n~u )∧gradn = 0, qui ge´ne´ralise
t
On peut ge´ne´raliser les lois de Snell–Descartes dans le cas de la propagation des
leslois deSnell–Descartes(1.3).
rayons lumineux dans un milieu he´te´roge`ne en recherchant la condition d’extremum
de l’inte´grale 1.2. Conside´rons pour cela deux chemins AB voisins, repre´sente´s par les

courbes(C)et(C )dela fig. 1.3.
1.2.4- The´ore`medeMalus
−−−→
−→


On passe de (C) a` (C ) par le de´placement infinite´simalδM = MM ; ce de´placement Conside´rons en effet un point A, source de lumie`re, et traitons le chemin optique
s’accompagne d’une variation du chemin optique δL qui, compte tenu du principe de L(M) = (AM) comme une fonction du point M, pour tout point atteint par au moins
Fermat,estnulauvoisinage d’unrayonlumineux effectif. un rayonlumineux issudeA.
3
)

)
C
(
x
C
u
e
(
n
i
m
u
l
i
n
n
o
y
a
s
R
i
o
v
t
n
e
m
e
t
a
i
d
e
´
m
m
i
t
e
j
a
r
Tb
b
b
b
b
e
`
r
e
)
d

o
n
d
e
lumineux
′ ′
Pour M et M voisins , la diffe´rence de chemin optique δL = L(M ) −L(M) de- face d’entre´e (Σ ) et une face de sortie (Σ ) (voir fig. 1.5). L’espace physique est donc
e s
−−→
oriente´ et les rayons lumineux seront suppose´s se diriger de la face d’entre´e vers la face
puis la source commune A s’e´crit sous la forme δL = gradLδ~r, mais on peut aussi
de sortie.
faire le meˆme calcul que celui qui a e´te´ de´veloppe´ ci-dessus, a` un de´tail pre`s : le terme
M
tout inte´gre´ [n~u δr] s’annule toujours enA mais plus force´ment enM; il reste donc
t
A
−−→
(Σ )
~ e
gradLδ~r =nu~ δr. Cere´sultatdevanteˆtrevraipour toutde´placementδ~r,ilreste:
t
B
v
A
v
−−→
gradL =n~u (1.5)
t
dont nous ne conserverons en pratique qu’une forme faible : les surfaces de chemin op-
A
r
tique identiques, que nous appelleronsdanslasuite surfaces e´qui-phaseou surfaces d’onde,
sont parde´finition orthogonales augradientdeL,donc aussia` ~u :
t
(Σ )
s
B
r
´ `
THEOREME DE MALUS
Les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces e´qui-phase, surfaces d’e´gal
chemin optique depuisune sourcedelumie`re ponctuelle donne´e.
FIG. 1.5–ObjetetImagepour unsyste`me optique
Le the´ore`me deMalusest illustre´ sur la fig. 1.4dansdeux cassimples, dansun milieu
Onappelleobjetdel’optiquege´ome´triqueunpointAd’ou` divergentuncertainnombre
homoge`ne : une onde plane (les surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires aux
de rayons lumineux (point objet re´el, comme le pointA de la fig. 1.5, s’il est situe´ avant
r
rayons lumineux, la source A est a` l’infini) et une onde sphe´rique (la source A est a`
la face d’entre´e (Σ ) du syste`me optique) ou bien un point d’ou` divergeraient ces rayons
e
distance finie).
si (Σ) e´tait absent (point objet virtuel, comme le pointA de la fig. 1.5, situe´ apre`sla face
v
d’entre´e(Σ )dusyste`me optique).
e
Delameˆmefac¸on,unfaisceaue´mergentdusyste`me(Σ)etformantunpointdeconver-
gence apre`sla facede sortie (Σ )de´finit une image re´elle forme´e par le syste`me (Σ); c’est
s
lecasdupointB delafig.1.5.Lesyste`me(Σ)peutaussiproduireunfaisceaudivergent,
r
A
quisembleraitprovenird’uneimageB silesyste`me(Σ)e´taitabsent;lepointcorrespon-
v
dantportealorsle nom d’image virtuelle forme´epar(Σ), commeB surla fig. 1.5.
v
1.3.2- Conditiondestigmatisme
surface(plan)d’onde
Le but d’un syste`me optique est en ge´ne´ral l’association de couples objet–image :
lorsque tous les rayons lumineux issus de l’objet A (re´el ou virtuel) donnent, apre`s tra-
FIG. 1.4– The´ore`mede Malus,onde planeetondesphe´rique

verse´edusyste`me optique(Σ),unpointdeconvergenceunique (ouimage)A (re´elleou

virtuelle),on diraque lesyste`me est stigmatiquepour lecouple(A,A ).
Un rayon lumineux issu de l’objet A et traversant le syste`me optique (Σ) parviendra
1.3– Stigmatisme
′ ′
au pointA si, et seulement si le chemin optique (AA ) est stationnaire (extre´mal) pour

le trajetforme´ dece rayonlumineux effectif:d(AA ) = 0.
1.3.1- Objetsetimages

Pour quetouslesrayonslumineux issusdeAatteignentA ,ilfautetilsuffitdoncque
′ ′
Onconside`redanscettepartieuncertainsyste`meoptique(Σ),forme´ d’unesuccession le chemin optique (AA ) soit une fonction (du rayon liant A a` A ) partout stationnaire,
de milieux mate´riels (homoge`nes ou non) et de dioptresou de miroirs, de´limite´ par une c’est-a`-direconstante :
4
r
a
y
o
n
l
u
m
i
n
e
u
x
r
a
y
o
n
s
u
r
f
a
c
e
(
s
p
hb
b
b
b
b
b
b
CONDITION DE STIGMATISME

′ ′ ′ ′
Le syste`me optique (Σ) est stationnaire pour le couple objet–image (A,A ) si, et
sini =nsinr r+r =α sini =nsinr D =i+i −α (1.6)

seulement silechemin optique(AA )estconstantpour touslesrayonslumineux

joignantAa` A a` travers(Σ). qu’on acomple´te´ parlade´finitiondela de´viationDdurayona` latraverse´eduprisme;D
′ ′
est la somme des de´viations i−r a` l’entre´e du prisme eti −r a` sa sortie. Notons que
cesdeuxde´viationsse fontdansle meˆme sens, ducoˆte´ de labaseduprisme.
1.3.3- Stigmatismeparre´fraction
´
Fibre a` gradient d’indice Etudions un second syste`me couramment utilise´, forme´
Prismedroit Citonsd’abordunexempledesyste`mestigmatiqueparre´fraction.ils’agit
d’une fibreoptique cylindrique;l’indice optique dumate´riauconstituant lafibrede´croˆıt

2
d’un prisme droit, d’areˆte , d’angle au sommet α, forme´ de verre d’indice n, plonge´
r
2 2
re´gulie`rementavecla distancer a` l’axedesyme´trie selon laloin (r) =n 1− .
0
dans l’air (assimile´ au vide). On ne conside`re ici que des rayons se propageant dans le 2
a
plan de section principale, perpendiculaire a` (), qui est aussi le plan de la fig. 1.6. Le
d dn
L’e´quation 1.4 des rayons lumineux devient ici (n~u ) = ~u , en utilisant les co-
t r
rayon envisage´ est caracte´rise´ par le chemin optique (HKLM) = L(x),x = K repe´rant
ds dr
le pointd’incidence sur leprisme. ordonne´es cylindriques d’axe (Oz) confondu avec celui de la fibre. On en de´duit que
d d~r
~
(~r∧nu~ ) = 0 puisque = ~u ; il reste donc le vecteur invariant~r∧n~u dont les
t t t
ds ds
     

dr dθ
−zr
r
ds ds
M
0 dθ dr dz

    
composantes cylindriques sontcellesden(r) 0 ∧ r =n(r) z −r .
ds ds ds
H
0 dz 2dθ
z
α r
ds ds
Conside´ronsunrayonparticulierquientredanslafibreenunpointdesonaxe(r = 0);

i
i
′ dθ
r
r
K
des deux projections radiale et axiale on de´duit imme´diatement = 0, c’est-a`-dire
L
ds
M
H
θ = Cte :le rayonsepropagedansunplanme´ridiendela fibre.
d dn
On peut alors projeter l’e´quation (nu~ ) = u~ sur l’axe fixe u~ pour obtenir
t r z
ds dr
dz
l’e´quation diffe´rentielle du rayon lumineux,n(r) = Cte. Introduisant l’anglei(r) fait
FIG. 1.6–Stigmatisme duprisme droit ds
par le rayon lumineux avec l’axe (Oz) en un point quelconque de la fibre, cette relation
s’e´critencoren(r)cosi(r) =n cosi ,i de´signantl’angle sous lequella fibreeste´claire´e
′ ′ 0 0 0
On a e´videmment (HK) = (H )−xsini et, en posantx = L (x est fonction impli-
0
(onobtient une ge´ne´ralisatione´videntedeslois deSnell–Descartes,cf.fig. 1.7).
′ ′ ′ ′
cite dex), (LM) = (M )−x sini . Enfin, (KL) = n(xsinr+x sinr ). Finalement, on
0

2
′ ′ ′ dz
( ) 2 2 2
trouve (HKLM) = (H M )+x nsinr−sini +x nsinr −sini . L’application des
0 0
L’e´quationdelatrajectoiredurayonlumineuxn (r) =n sin i s’e´critaussi
0
0
2 2
dr +dz
lois de Snell–Descartesme`ne donc a` (HKLM) = (H M ), quel que soitx : le prisme est
0 0

2
2 2
dr 1 r d r r
donc stigmatique, avec comme objet A l’intersection des rayons incidents (a` l’infini) et
= − donc aussi = − ; sa solution est, au vu des
′ 2 2 2 2
2 2
comme imageA l’intersection desrayonse´mergents(e´galementa` l’infini). dz dz
tan i sin i a sin i a
0
0 0
2
Retenonsqu’onobjet(ouuneimage)a` l’infiniapparaˆıtdansunee´tudeoptiquecomme asin i z
0
conditions initiales, lacourbe sinuso¨ıde dela fig.1.7,r(z) = sin .
un faisceau paralle`le; le stigmatisme ne permet alors pas de de´terminer la valeur du
cosi sini a
0 0
cheminoptique (quiestentouterigueurlui-meˆmeinfini)maisseulementsoninvariance
UnpointHdel’axeestdoncatteintparcerayonlumineuxauboutdeNdemi-pe´riodes
L
pour toutrayonmenantd’unplandephase(H H)a` unautreplandephase(M M).
0 0 delasinuso¨ıde(N = 4surlafig.1.7),apre`suntempsdeparcoursτ =Nτ ,avecτ =
N 1 1
c
0
Z
Cesyste`me stigmatique est,rappelons-le,re´giparles e´quations du prisme,quiprennent
n
ou` lecheminoptiqueLestdonne´ parl’inte´graleL = ndsavecds = dz.Ilreste
la formeclassique :
n sini
0 0
5b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
r
A =∞ I A =∞
H
i
0
F z
O S
i(r)

H C
F
A
θ
0
FIG. 1.7–Dispersion dansune fibreoptique
FIG. 1.8–Miroirparabolo¨ıdaletsphe`reosculatrice
!
4
l’infini) ou` un des foyers est rejete´ a` l’infini, ellipse et hyperbole se confondent en une
πan sin i
0 0
apre`scalculsτ = 1− .
1
2
parabole,formantunmiroirstigmatiquepouruncoupleobjet–imageforme´ d’unpointa`
c cos i
0 0
l’infini etdufoyerFde laparabole.
Manifestement, ce temps de parcours de´pend de i , donc du rayon lumineux : le
0
syste`me n’est pas stigmatique pour un objet situe´ en O et une image situe´e sur l’axe,
Miroirs sphe´riques Pour des raisons de commodite´ de re´alisation, on remplace sou-
meˆme si plusieurs rayons lumineux (sinuso¨ıdes de pe´riodes diffe´rentes sur la fig. 1.7,
2
vent le miroir parabolo¨ıdal d’e´quation r = 2pz (le foyer F e´tant d’abscisse z = p/2)
correspondanta` desanglesi diffe´rents)atteignentlemeˆme point. F
0
2 2 2
parunmiroirsphe´rique d’e´quation(z−p) +r =p ,derayonp,decentreCd’abscisse
Lorsd’une´clairagelarge,i ∈ [0; i ];uneimpulsiondecourtedure´ea` l’entre´edans
max
0
2 2
4
x = p. On peut aussi e´crirer = 2pz−z donc les deux surfaces sont osculatrices au
C
n ℓsin i
max
0
la fibre est donc e´tale´e sur une dure´eδt = |Nτ (i )−Nτ (0)| soit δt≃ ,
1 max 1
voisinage deleursommet communS, d’abscissez = 0.
2 S
c cos i
0 max
Un tel miroir n’est toutefois pas stigmatique pour le couple forme´ de l’objet a` l’infini
si ℓ est la longueur de la fibre traverse´e. Cet e´talement d’un signal (on parle de disper-
et de l’image enF; en effet, un rayon lumineux provenant de l’infini (a` la distancer de
sion intermodale) est pre´judiciable au transport d’information : si on veut l’e´viter, on doit
p
2 2
4
l’axe) atteintla sphe`reaupointI d’abscissez =p− p −r avantd’atteindrel’axe du
e´clairerlafibresousunangletre`sfaiblepuisqu’alorsδt∼n ℓi ;onestdonclimite´ par I
0
max
′ ′
syste`me au pointA d’abscissez ′. Le principe de Fermataffirme queL = IH+IA est
c T
0 A
p p
la conditionℓ≪ ,ou` T estlapluscourte pe´riodedusignaltransporte´.

4 2 2 2 2
n i stationnaire, avecIH = p −r etIA = (z ′ −z ) +r .
I
0 A
max
dL
Le rayon lumineux est fixe´ par la condition = 0, qui impose la valeur dez ′ ; un
A
dr
1.3.4- Stigmatismeparre´flexion p
2
2 2 ′
calculsansdifficulte´ me`nea` z ′ =p−p /2 p −r .LadistanceA Fmesurel’aberration
A
Miroirs coniques Recherchons la surface (S) d’un miroir pre´sentant un stigmatisme
longitudinale de sphe´ricite´ du miroir sphe´rique par rapport au mode`le parabolique. Pour

rigoureux par une seule re´flexion pour un couple (A,A ). La condition de stigmatisme 2
lesfaiblesvaleursder,onpeutadopterlarelationz ′≃p/2−r /4p;l’aberrationtrans-
A

nAI+nIA = Ctepeuteˆtrecomprisecommel’e´quationintrinse`quede´finissantlasurface
2
r
max


(S), sous la forme IA±IA = Cte, le signe de´pendant du caracte`re re´el ou virtuel de versale vaut alors A F = . Cette aberration contribue a` limiter la qualite´ des
max
4p
l’objet etde l’image.
imagesfournies; onenlimite l’effetendiaphragmantle miroir sur unfaiblerayond’ou-

On reconnaˆıt ici les surfaces stigmatiques de´finissant un miroir plan (avecAI = IA ),
verturer .
max
′ ′
un miroir ellipso¨ıdal(avecAI+IA = 2a)ou un miroir hyperbolo¨ıdal(avecAI−IA = 2a);
dans ces deux derniers cas, le couple objet–image pour lequel le stigmatisme est re´alise´
estunique,forme´ desdeuxfoyersdelaconique engendrantlasurface(S)parre´volution

autour de AA . Dans le cas (cf. fig. 1.8, trace´e dans le cas astronomique : l’objet est a`
6

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