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Cours de Mathématiques

2007

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Suites arithmétiques

- 1 -

C

Suites arithmétiques

1) Définition

Définition 3

: Une suite

(

)

n

u

∈

`

est dite arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel

r

(appelé

raison

) tel que, pour tout n de

`

, on ait :

1

n

u

r

+

=

+

Exemples de suites arithmétiques

2 5 8 11 14 17 20 ...

•

suite arithmétque croissante de raison

3

r

=

La différence de deux termes consécutifs est toujours égale à

3

7

5

3

1

4

3

2

1

0

.

2

•

−

suite arithmétique décroissante

de raison

1

2

r

=

−

, car la différence de deux termes consécutifs quelconques

vaut

1

2

r

=

−

.

2) Expression de

n

u

Exercice

:

Soit la suite

u

définie par :

1

0

3

31

n

u

−

=

−





=



Déterminez les 11 premiers termes de la suite.

Détectez une formule générale permettant de calculer directement

10

u

Résolution

:

0

31

3

u

r

=

−

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

31

28

25

22

19

16

13

10

7

4

1

3

u

−

On constate que le résultat diminue à chaque fois de 3, donc on a :

10

0

10 ( 3)

u

=

+

⋅

−

En général

: En généralisant ce procédé, on obtient facilement la formule générale :

0

n

u

n

r

=

+

⋅

Remarque

:

Pour contrôler si une suite est arithmétique, on vérifie si la différence de deux termes

consécutifs est toujours constante.

Exemple

: Est-ce que la suite

u

donnée par :

5

7

9

2

;

3

;

4

;

.

2

est une suite arithmétique ?

Est-ce que cette suite est croissante ou décroissante ? Motivez votre réponse.

Réponse

: La suite est une suite arithmétique, car la différence de deux termes consécutifs est

toujours

1

2

r

=

. La suite est croissante puisque la raison est positive.

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Suites arithmétiques

- 2 -

Exercices à faire

:

1-4 de la feuille

3) Somme de termes d’une suite numérique :

la série

Enigme 1

:

La punition de Gauss à l’âge de 7 ans

Carl-Friedrich Gauss était un élève très doué en mathématiques qui s'ennuyait un peu

au cours de mathématiques en première année scolaire. Un jour, lorsqu'il dérangeait

trop le cours, le maître lui donna comme punition de calculer la somme des 100

premiers nombres. Gauss y réfléchit un court instant et répondit 5050. Le maître le

regardait tout étonné, se mit à vérifier le calcul et resta bouche bé.

"Mais comment as-tu fait pour trouver ce résultat aussi vite ?" lui demanda-t-il après

un moment.

Saurais-tu expliquer au maître la manière de raisonner de Gauss ?

Somme des n premiers nombres naturels non nuls

Désignons par

n

le nombre de cases remplies de l'échiquer et par

S

la somme des grains de blé mis

sur les cases remplies.

1

2

3

4

:

1

;

1

2

1

2

3

1

2

3

6

4

1

2

3

4

10

...

pour

n

S

n

S

n

S

n

S

=

+

=

+

=

+

=

Pour établir une formule qui nous permette de calculer la somme des

n premiers entiers naturels non-nuls, nous utilisons un procédé qui

nous ramène le problème de calcul à un problème géométrique, c.-à-

d. la détermination de l'aire d'un rectangle.

Nous constatons ainsi que nous pouvons calculer "ces aires" de la manière suivante:

1

2

3

4

1

:

1

;

1

(

1

)

2

1

2

1

2

3

2

(

2

1

)

2

1

3

1

2

3

6

3

(

3

1

)

2

1

4

1

2

3

4

1

0

4

(

4

1

)

2

pour

n

S

n

S

n

S

n

S

=

⋅

+

=

+

=

⋅

+

=

+

=

⋅

+

=

+

=

⋅

+

En généralisant, on trouve:

Somme des

n

premiers nombres naturels non nuls

:

(

)

1

2

3

4

.

1

2

n

S

n

=

+

=

⋅

+

Remarque

:

L'idée de cette explication est la base de la démonstration utilisée dans le livre (et par

Gauss)

1

2

3

4

5

6

6+1

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Suites arithmétiques

- 3 -

Somme des n premiers nombres naturels impairs

1

3

5

7

9

Somme des

n

premiers nombres naturels impairs

:

(

)

2

1

3

5

.

2

1

i

S

n

=

+

−

=

Somme des n premiers nombres naturels pairs non nuls

Comme chaque terme de cette somme est le double de chaque terme de la somme des n premiers

nombres naturels non nuls, on trouve facilement:

Somme des

n

premiers nombres naturels pairs non nuls

:

(

)

2

4

6

.

2

1

p

S

n

=

+

=

⋅

+

Démonstration

:

2

4

6

...

2

2 1

2 2

2 3

...

2

p

S

n

=

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

(

)

(

)

2

1

2

3

.

1

2

1

2

n

s

n





=

⋅

+













=

⋅

+

=

⋅

+

par mise en

évidence du

facteur commun 2

Une affaire de notation

Pour noter une telle somme de n termes, on utilise très souvent le symbole de notation

Σ

:

2

1

4

1

2

3

4

1

2

3

...

somme des n premiers carrés non nuls

u

n

i

n

u

=

+

=

∑

Utilisation de la V200 pour trouver ces sommes

En analysant le graphique ci-joint, nous

constatons le lien entre la somme des n

premiers nombres naturels impairs et l'aire du

carré de longueur de côté

n

.

Or, tout nombre naturel impair peut s'écrire

sous la forme

2

1

n

−

ou

2

1

n

+

où

(

1

)

n

≥

est la position du nombre impair dans la

suite des nombres naturels impairs.

Il s'ensuit:

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- 4 -

4) Démonstrations par récurrence

Les formules énoncées plus haut peuvent toutes se démontrer en utilisant la démonstration par

récurrence, démonstrations réservées aux classes B, C et D.

Hypothèse de récurrence

Cas élémentaire

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- 5 -

Exercices portant sur les suites arithmétiques

1) Dans chacun des exercices suivants, la suite

(

)

n

u

est une suite arithmétique de raison r:

•

0

1

0

2

0

1

5

0

u

2

r

3

C

a

l

c

u

l

e

r

u

,

u

,

u

=

−

•

5

1

25

100

u

7

r

2

C

a

l

c

u

l

e

r

u

,

u

,

u

=

•

3

8

0

1

8

u

12

u

8

Calculer r , u , u

=

•

7

1

3

0

7

1

3

u

C

a

l

c

u

l

e

r

u

2

=

2) Dans chacun des exercices suivants, la suite

(

)

n

u

est une suite arithmétique de raison r:

•

0

4

8

1

4

1

u

1

6

r

C

a

l

c

u

l

e

r

u

,

u

,

u

2

=

•

1

4

8

1

2

u

3

r

2

C

a

l

c

u

l

e

r

u

,

u

,

u

=

−

•

3

7

0

1

5

2

0

u

2

u

18

Calculer u , u

, u

=

•

7

1

0

1

3

4

u

C

a

l

c

u

l

e

r

u

e

t

r

2

9

=

3) Une suite arithmétique est telle que:

2

3

4

6

u

1

5

e

t

u

2

0

+

=

Calculer

0

u

et la raison r.

4) Démontrer que les nombres

5, 8 et 21

−

sont trois termes consécutifs d'une suite

arithmétique. Calculer le 20

me

terme, si le 5

me

est -5.

5) Une suite arithmétique

(

)

n

u

de raison 5 est telle que

0

u

2

=

et, n étant un nombre entier,

n

i

3

u

6

4

5

6

=

∑

. Calculer le nombre n.

6) Cinq termes consécutifs d'une suite arithmétique ont une somme égale à 35, le quatrième

terme étant 12. Calculer ces cinq termes.

7) Une suite arithmétique a pour raison -3. La somme de neuf termes consécutifs est

9

2

.

Calculer ces neuf termes.

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- 6 -

Résolution de l'exercice 146 du livre

a)

Dressons d'abord un tableau :

rangée

1

2

3

4

Nombre d'allumettes

3

7

11 15

On remarque qu'il s'agit d'une suite arithmétique de

raison 4 et de terme initial

1

3

u

=

. Soit donc

,

1

n

≥

le numéro de la rangée.

Formule de récurrence:

1

4

n

u

−

=

+

Formule générale:

1

4

(

1

)

,

1

n

u

n

=

+

⋅

−

≥

Comme position, rangée et indice causent souvent des embrouilles, il est important de contrôler

cette formule sur un exemple qu'il est facile de calculer à la main.

pour

4

4 :

3

4 (4 1)

3

4 3

3 12

15

n

u

=

+

⋅

−

=

+

⋅

=

+

=

ce qui vérifie notre formule.

Nombre d'allumettes dans la 20

me

rangée:

20

3

4

(

2

0

1

)

3

4

1

9

7

9

u

=

+

⋅

−

=

+

⋅

=

allumettes

Somme des allumettes déposées dans les 20 premières rangées:

19

20

0

1

19 20

(3

4 )

3 20

4

(3

4(

1))

3 20

4

3 20

4

60

760

820

2

i

mauvaise méthode si on commence

avec la rangée n

i

=

⋅

+

=

⋅

+

⋅

=

+

−

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

+

=

∑

allumettes

Avec 293 allumettes, on obtient:

il s'agit de résoudre l'équation:

1

2

0

2

(

1

)

(3

4 )

3

4

2

293

2

9

3

0

1

2345

1

2345

1

2345

(à rejeter) ou

11,8563

4

n

i

n

i

n

a

v

e

c

n

−

=

−

⋅

+

=

⋅

+

⋅

=

+

=

⇔

+

−

=

≥

∆

=

−

+

=

≈

∑

même remarque que plus haut

!

On peut donc construire 11 rangées complètes avec 293 allumettes en utilisant ce schéma.

Pour contrôler si on ne s'est pas trompé, on peut utiliser la 4

me

rangée:

3

7

11 15

36

+

=

et

2

4

3

6

n

+

=

⋅

+

=

, donc la formule semble être correcte.

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- 7 -

Exercice plus poussé

:

La

pyramide

en Lego

On aimerait construire une pyramide avec des cubes "

Duplo"

en

suivant le schéma ci-indiqué. Combien de cubes à lego nous

faut-il pour construire une pyramide à 15 étages, à 100 étages?

Résolution

:

Pour mieux voir comment se composent ces pyramides, il convient de faire un tableau:

Or en analysant plus en détail les photos de la progression

de cette pyramide à 5 étages, on arrive à constater que le

nombre de cubes qui s'ajoute d'un étage à l'autre n'est rien

d'autre que la somme des nombres entiers non-nuls jusqu'au

nombre n (= nombre d'étages)

Pour

5

n

=

, on a:

(

)

5

20

5

4

3

2 1

20

n

u

S

=

+

=

+

Or déjà le 20 se compose de:

(

)

4

20

10

4

3

2

1

10

n

S

=

+

=

+

(

)

(

)

4

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

4

3

2

1

4

.

n

i

S

i

=

+

=

+

=

+

=

+

∑

Par conséquent, en allant jusqu'à 15 étages, on trouve le nombre de cubes par le calcul suivant:

1

2

14

15

200

15

1

100

200

100

1

...

680

171.700

k

V

i

k

i

k

V

k

i

u

i

cubes

u

i

c

u

b

e

s

=





=

+

=

















=













∑

'

1

2

4

1

3

1

0

4

6

4

2

0

1

0

1

0

5

3

5

2

0

1

5

n

Nombres de cubes

Nombre d étages

u

n

=

+

=

+

=

+

=

+

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Suites arithmétiques

- 8 -

Contrôle de la formule obtenue:

2

3

200

2

3

1

4

5

200

4

5

1

4

1

0

20

35

k

V

k

i

k

i

k

V

k

i

k

i

u

i

cubes

u

i

cubes

u

i

cubes

u

i

cubes

=









=

































=

























∑

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