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Cours sur la mecanique des milieux continus. Méthodes energetiques

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13 pages
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSMETHODES ENERGETIQUESRésuméPrincipe des puissances virtuellesCadre généralAxiomes d’objectivité et d’équilibreÉquations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSAFormulation variationnelleMETHODES Approche en déplacements – énergie potentielleApproche en contraintes – énergie complémentaireEncadrement de la solutionENERGETIQUESExemple : allongement d ’une barreGéométrie et cinématiqueApproche en déplacementsApproche en contraintesEncadrement de la solutionMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSMETHODES ENERGETIQUESDéformations ContraintesRésumééHypothèse des petitesHypothèse des petitesPrincipe des puissances virtuelles perturbationsperturbationsCadre généralvecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t)Axiomes d’objectivité et d’équilibreÉquations de base tenseur des déformations : tenseur des contraintes :Principe des travaux virtuels – CCA et CSAte = ½ (grad(u) + grad(u) )t = s . n avec s = s ( X, t)Formulation variationnelleApproche en déplacements – énergie potentielleéquations de compatibilitééquations d’équilibre :Approche en contraintes – énergie complémentaireEncadrement de la solutione + e = e + e s + f = rgki,jl lj,ik kj,il li;jk ij,j vi iExemple : allongement d ’une barreconditions aux limites : conditions aux limites :Géométrie et cinématiqueApproche en déplacementsu = U sur ¶W s . n = T sur ¶WTuApproche en contraintesEncadrement de la solutionLoi de ...
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METHODES ENERGETIQUES
Résumé
Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA
Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémenta Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
METHODES ENERGETIQUES
METHODES ENERGETIQUES
Résum é Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA  Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Déformations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) tenseur des déformations : ε = ½ (grad(u) + grad(u) t ) équations de compatibilité ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk conditions aux limites : u = U sur Ω u
Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t) équations déquilibre : σ ij,j + f vi = ργ i conditions aux limites : σ . n = T sur Ω T
Loi de comportement : σ    µ ε  λ  ε δ 
Δ
l 0 + Δ l -Fdl + W = 0 l 0
METHODES ENERGETIQUES
Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre r al Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Comment estimer la rigidité de ce ressort ? Il faut le déformer un peu !!!
Δ
Mouvement virtuel (il ne sert qu à estimer )
sreofsesecrétxeueirresTrieuil dravafsro ledniétec saiavTr
METHODES ENERGETIQUES
Résumé
Principe des puissances virtuelles Cadre général A x i o m e s  d obj e c t i v it é  e t  d é q u ili b r e Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA
Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution
Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
OBJECTIVITE La puissance virtuelle des efforts intérieurs associés à tout mouvement de corps rigide est nulle
EQUILIBRE La puissance virtuelle des efforts intérieurs ( ) et extérieurs ( ) est égale à celle des accélérations ( )
METHODES ENERGETIQUES
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
    σ     σ    σ  Ω Ω Ω    avec        Ω Ω  Ω  ρ γ  
Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre É qua t i on s  d e  b a s e  Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle !   σ    ργ     σ     Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Ω ∂Ω Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
Equations déquilibre  Définition de σ
!  σ    ργ       σ !   Ω Ω Ω ∂Ω
Fonctionnelle à annuler
METHODES ENERGETIQUES
Résumé
Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Princip e  de s tr a v au x  v irtuels – CCA et CSA
Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
"!  σ " "  ργ "  "    Ω Ω Ω ∂Ω
W( σ , u) : fonctionnelle à annuler
" ##$
σ #%$
"   " ∂Ω
 σ     ργ σ   & " ∂Ω &
METHODES ENERGETIQUES
Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA
Formulation variationnelle Approc he en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
 u = u 0 + δ u avec u C.C.A. et u 0 solution réelle σ = σ (u) = C : grad(u)
   "! δ "  Π '  δ "   "
Π ' "   "#"  "  &"  Ω Ω ∂Ω &
Energie potentielle (minimale !!)
METHODES ENERGETIQUES
Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA
Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approc he en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
σ = σ 0 -δ σ avec σ C.S.A. et σ 0 solution réelle
grad(u) = S : σ
∂Π (     σ ! δσ   δσ   ∂σ
 Π ( σ  Ω  σ % σ  ∂Ω  σ  
Energie complémentaire (maximale !!)
METHODES ENERGETIQUES
Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encad rement de la solu t i o n Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
u(X,t) C.C.A.
u 0 (X,t), σ 0 (X,t) solution réelle
σ (X,t) C.S.A.
Π p (u)
Π p (u 0 ) Π c ( σ 0 )
Π c ( σ )
BoBronren es iunpféérriieeuurere
laépmecesntpporAned hc eelnnletaoiavirn ioatulrmFo
ε  "* ε    σ  σ  + "*
Problème uniaxial (u(x)) :
Approche en contraintes Encadrement de la solution
Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géom étr i e  e t c i ném at i q ue
Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA
METHODES ENERGETIQUES
)
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Solution réelle :  σ   +" *    "   ")  
"  )
σ   +)
METHODES ENERGETIQUES
Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Recherche d un C.C.A. u(x) ? u(x) = U (x/L) n
Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA ) Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Energie potentielle associée Π ) p ? G Ap é p o r m oc ét h ri e e   e e n t   d ci é n p é la m c a e ti m q e u n e ts +% EAnpcpraodcrehem eennt  cdoen ltraa isnotleutsion Π '    σ ε   )  %  Minimum de l énergie potentiel ? Π '    
  
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