Cours sur la mecanique des milieux continus. Méthodes energetiques

Fortunie

Description

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSMETHODES ENERGETIQUESRésuméPrincipe des puissances virtuellesCadre généralAxiomes d’objectivité et d’équilibreÉquations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSAFormulation variationnelleMETHODES Approche en déplacements – énergie potentielleApproche en contraintes – énergie complémentaireEncadrement de la solutionENERGETIQUESExemple : allongement d ’une barreGéométrie et cinématiqueApproche en déplacementsApproche en contraintesEncadrement de la solutionMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSMETHODES ENERGETIQUESDéformations ContraintesRésumééHypothèse des petitesHypothèse des petitesPrincipe des puissances virtuelles perturbationsperturbationsCadre généralvecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t)Axiomes d’objectivité et d’équilibreÉquations de base tenseur des déformations : tenseur des contraintes :Principe des travaux virtuels – CCA et CSAte = ½ (grad(u) + grad(u) )t = s . n avec s = s ( X, t)Formulation variationnelleApproche en déplacements – énergie potentielleéquations de compatibilitééquations d’équilibre :Approche en contraintes – énergie complémentaireEncadrement de la solutione + e = e + e s + f = rgki,jl lj,ik kj,il li;jk ij,j vi iExemple : allongement d ’une barreconditions aux limites : conditions aux limites :Géométrie et cinématiqueApproche en déplacementsu = U sur ¶W s . n = T sur ¶WTuApproche en contraintesEncadrement de la solutionLoi de ...

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Extrait

METHODES ENERGETIQUES

Résumé

Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA

Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémenta Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

METHODES  ENERGETIQUES

METHODES ENERGETIQUES

Résum é Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA   Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Déformations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) tenseur des déformations : ε = ½ (grad(u) + grad(u) t ) équations de compatibilité  ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk conditions aux limites : u = U sur ∂ Ω u

Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t) équations déquilibre : σ ij,j + f vi = ργ i conditions aux limites : σ . n = T sur ∂ Ω T

Loi de comportement : σ    µ ε   λ  ε  δ 

Δ   

l 0 + Δ l -Fdl + W = 0 l 0

METHODES ENERGETIQUES

Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre gé né r al Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Comment estimer la rigidité de ce ressort ? Il faut le déformer un peu !!!

Δ 

Mouvement virtuel (il ne sert qu à estimer  )



     sre of se secr étxeueir res T rieu il drava f s ro  led niétec s aiavTr

METHODES ENERGETIQUES

Résumé

Principe des puissances virtuelles Cadre général A x i o m e s   d  obj e c t i v it é   e t   d  é q u ili b r e Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA

Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution

Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

OBJECTIVITE La puissance virtuelle des efforts intérieurs associés à tout mouvement de corps rigide est nulle

EQUILIBRE La puissance virtuelle des efforts intérieurs (   ) et extérieurs (   ) est égale à celle des accélérations (   )

METHODES ENERGETIQUES

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    σ     σ      σ 
  Ω  Ω Ω         avec           Ω  Ω   Ω   ρ γ  

Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre É qua t i on s   d e   b a s e   Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle ∀ !    σ     ργ       σ     Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Ω ∂Ω Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

Equations déquilibre  Définition de σ

∀ !  σ 
      ργ        σ !   Ω Ω  Ω ∂Ω

Fonctionnelle à annuler

METHODES ENERGETIQUES

Résumé

Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Princip e   de s tr a v au x   v irtuels – CCA et CSA

Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

∀ "!  σ 
"  "   ργ "  "     Ω Ω Ω ∂Ω

W( σ , u) : fonctionnelle à annuler

" ##$

σ #%$

"   " ∂Ω 

 σ     ργ σ   & " ∂Ω &

METHODES ENERGETIQUES

Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA

Formulation variationnelle Approc he en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

 u = u 0 + δ u avec u C.C.A. et u 0 solution réelle σ = σ (u) = C : grad(u)

∂    "! δ "    ∂ Π '    δ "   "

 Π ' "    
"#
"   "  &"   Ω Ω ∂Ω &

Energie potentielle (minimale !!)

METHODES ENERGETIQUES

Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA

Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approc he en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

σ = σ 0 -δ σ avec σ C.S.A. et σ 0 solution réelle

grad(u) = S : σ

∂Π (     σ ! δσ        δσ   ∂σ

 Π (  σ   Ω  σ % σ   ∂Ω   σ   

Energie complémentaire (maximale !!)

METHODES ENERGETIQUES

Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base – Principe des travaux virtuels CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encad rement de la solu t i o n Exemple : allongement d une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

u(X,t) C.C.A.

u 0 (X,t), σ 0 (X,t) solution réelle

σ (X,t) C.S.A.

Π p (u)

Π p (u 0 ) Π c ( σ 0 )

Π c ( σ )

Bo B r o n r e n   e s  i u n p f é ér r i ie e u ur er e

laépmecesntpporAned hc e elnnletaoiavirn ioatulrmFo

ε  "* ε    σ   σ  + "*

Problème uniaxial (u(x)) :

Approche en contraintes Encadrement de la solution

Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d une barre Géom étr i e   e t c i ném at i q ue

Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA



METHODES ENERGETIQUES

)

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS





Solution réelle :  σ   +" *    "   ")  

"  )

σ   +)

METHODES ENERGETIQUES

Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS



Recherche d un C.C.A. u(x) ? u(x) = U (x/L) n

Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes dobjectivité et déquilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA ) Formulation variationnelle  Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution  Exemple : allongement d une barre Energie potentielle associée Π ) p ? G Ap é p o r m oc ét h ri e e     e e n t     d ci é n p é la m c a e ti m q e u n e ts +%    E A n p c pr a o d c re he m   e e n n t     c d o e n  l tr a a   i s n o t l e ut s ion Π '      σ ε    )  %  Minimum de l énergie potentiel ?  Π '     

  