Cours sur les vecteurs aléatoire

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Chapter 5
Vecteur al´eatoire ; ind´ependance entre
variables al´eatoires
Sommaire
n5.1 Vecteur al´eatoire deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.1 Rappels et compl´ements sur les familles sommables de nombres positifs . . . . . . . . . . 50
5.1.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Calcul des lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Th´eor`eme de transfert pour un vecteur al´eatoire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Esp´erance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Ind´ependance de deux variables al´eatoires : d´efinitions et crit`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6 Ind´ependance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.7 Ind´ependance de plusieurs variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
´Objectifs : • Etendre la notion de variable al´eatoire r´eelle `a celle de vecteur al´eatoire.
´• Etendre la notion d’ind´ependance introduite pour les ´ev´enements aux variables al´eatoires.
Mots-cl´es : • vecteur al´eatoire discret, loi d’un vecteur al´eatoire discret, lois marginales, loi conjointe.
• covariance, coefficient de corr´elation lin´eaire, matrice de covariance.
• ind´ependance.
Outils : • Th´eor`eme de transfert.
• diff´erents crit`eres d’ind´ependance.
• variance d’une somme de variables al´eatoires ind´ependantes, covariance de variables al´eatoires ind´ependantes.
Nous allons voir dans ce chapitre que presque tout ce que l’on a construit pour une variable al´eatoire r´eelle se
transpose ais´ement au cas d’un vecteur al´eatoire. Les principales diff´erences sont
• la notion de lois marginales
• la notion de covariance, qui essaie de traduire un certain lien entre les coordonn´ees du vecteur al´eatoire.n5.1 Vecteur al´eatoire de R
5.1.1 Rappels et compl´ements sur les familles sommables de nombres positifs
D´efinition 5.1 Somme d’une famille quelconque de nombres positifs
Soit I un ensemble ; soit (p ) une famille de nombres r´eels positifs ou nuls.i i∈I X
La somme de cette famille, not´ee p est l’´el´ement de [0,∞] d´efini par :i
i∈IX X
p = sup pi j
J⊂Ii∈I j∈J|J|<∞
Remarque : La d´efinition est valable dans le cas ou` I n’est pas d´enombrable, mais les applications en probabilit´e
concernent essentiellement le cas ou` I est d´enombrable.
Proposition 5.2 Sommation par paquets des s´eries a` termes postifs
Soit (p ) une famille de nombres r´eels positifs ou nuls, et soit (I ) une partition de l’ensemble des indicesi i∈I α α∈A
I. Alors X X X
p = pi i
i∈I α∈Ai∈Iα X X X
D´emonstration : Premi`ere ´etape : on montre l’in´egalit´e p ≤ p .i i
i∈I α∈Ai∈IαX X X
Pour toute partie finie J ⊂ I, p = p puisque les sommes en jeu ne comportent qu’unj j
j∈J α∈Aj∈I ∩Jα X X
nombre fini de termes. Cette derni`ere somme est plus petite que p et en prenant le sup suri
α∈Ai∈Iα
toutes les parties finies J ⊂ I, on obtient l’in´egalit´e voulue. X XX
Deuxi`eme ´etape (assez d´elicate `a ´ecrire) : on montre par r´ecurrence l’in´egalit´e p ≥ pi i
i∈I α∈Ai∈Iα
lorsque A est un ensemble fini.
Derni`ere ´etape : on montre l’in´egalit´e pr´ec´edente dans le cas ou` A est un ensemble quelconque.X X X X
Pour toute partie finie B de A, on a : p = p ≤ p et on prend le sup sur toutesi i i
S
α∈Bi∈I i∈Iα i∈ Iαα∈B
les parties finies B de A.
Un corollaire utile en pratique est le th´eor`eme d’interversion des indices de sommation :
Proposition 5.3 Th´eor`eme de Tonelli pour les s´eries
Soit (p ) une famille de nombres r´eels positifs ou nuls. Alorsi,j (i,j)∈I×J XX XX
p = pi,j i,j
i∈I j∈J j∈J i∈I
D´emonstration : On applique la proposition de sommation par paquets `a l’ensemble d’indices
2I =N `a la partition ({α}×N) et `a la partition (N×{α}) .α∈N α∈N

5.1.2 D´efinitions
D´efinition 5.4 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Un vecteur al´eatoire, d´efini sur (Ω,F,P), est une appli-
n ncation mesurable de (Ω,F) dans R (muni de la tribu bor´elienne B(R )). Ses coordonn´ees forment une famille de
n variables al´eatoires.
Remarque : On ne consid`erera ici que des vecteurs al´eatoires Z discrets, c’est-`a-dire tels que Z(Ω) soit un
nsous-ensemble fini ou d´enombrable deR .
50BExemple : Je lance deux d´es´equilibr´es et je note X et Y les r´esultats obtenus. Alors (X,Y), (X,X), ou encore
2(X,X +Y) sont des vecteurs al´eatoires discrets a` valeurs dansR .
D´efinition 5.5 Soit Z, un vecteur al´eatoire discret d´efini sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), a` valeurs dans
n
R . La loi P de Z = (Z ,Z ,...,Z ) est une probabilit´e sur l’ensemble Z(Ω) des valeurs prises par Z. Pour laZ 1 2 n
d´ecrire, on donne :
• l’ensemble Z(Ω),
• pour tout z = (z ,...,z ), on donne P (z) = P(Z = z) = P(Z = z ,...,Z = z ) = P({Z = z }∩···∩1 n Z 1 1 n n 1 1
{Z = z }).n n
(Z ) sont des variables al´eatoires r´eelles, leurs n lois sont appel´ees lois marginales de Z. La loi P de Z esti 1≤i≤n Z
appel´ee loi conjointe des n variables al´eatoires.
B Exemple : Pr´esentation sous forme de tableau :
Y\X 1 2 3 loi de Y
0 0,1 0,05 0,4 0,55
1 0,15 0,3 0 0,45
loi de X 0,25 0,35 0,4 1
La loi conjointe peut s’´ecrire : 0,1δ +0,05δ +0,4δ +0,15δ +0,3δ ;(1,0) (2,0) (3,0) (1,1) (2,1)
la loi de X, premi`ere loi marginale, est : 0,25δ +0,35δ +0,4δ ;1 2 3
la seconde loi marginale est la loi de Bernoulli de param`etre 0,45.
♣Exercice : Je lance deux d´es´equilibr´eset je note X et Y les r´esultats obtenus. On d´efinit les vecteurs al´eatoires
Z = (X,Y), Z = (X,X) et Z = (X,X +Y). D´eterminer les lois de ces trois vecteurs, et leurs lois marginales.1 2 3
♠ Attention ! Quand on connait la loi d’un vecteur al´eatoire, on peut en d´eduire ses lois marginales, mais
la r´eciproque est fausse. La loi du vecteur comporte plus d’information, dans le sens ou` elle dit comment les
coordonn´ees sont li´ees entre elles.
B Exemple : On lance 5 fois de suite une pi`ece qui tombe sur pile avec probabilit´e p∈ [0,1], on note X – resp.
Y – le nombre de pile – resp. de face – et on d´efinit Z = (X,Y). Alors
5 k 5−kZ(Ω) ={(k,5−k) : k∈{0,...,5}} et∀k∈{0,...,5}, P(Z = (k,5−k)) = p (1−p) .
k
On peut ici encore utiliser les notations avec les masses de Dirac :
5X 5 k 5−kZ ∼ p (1−p) δ .(k,5−k)
k
k=0
Calculons les lois marginales de Z :

5 k 5−kX(Ω) ={0,...,5} et∀k∈{0,...,5}, P(X =k) = p (1−p) donc X ∼ Bin(5,p),k
5 k 5−kY(Ω) ={0,...,5} et∀k∈{0,...,5}, P(X = k) = (1−p) p donc Y ∼ Bin(5,1−p).
k
Remarque : Si on prend, dans l’exemple pr´ec´edent, p = 1/2, on voit que X et Y ont mˆeme loi, et donc les
vecteurs (X,Y) et (X,X) ont les mˆemes lois marginales et pourtant les vecteurs n’ont pas la mˆeme loi (justifier).
515.2 Calcul des lois marginales
2Proposition 5.6 (Calcul des lois marginales pour un vecteur discret a` valeurs dans R ) Soit Z = (Z ,Z ) un1 2
2vecteur al´eatoire discret a` valeurs dans R . On note Z(Ω) l’ensemble des valeurs prises par Z. Alors
• Z (Ω) ={z ∈R :∃z ∈R tel que (z ,z )∈ Z(Ω)}.1 1 2 1 2
• Z (Ω) ={z ∈R :∃z ∈R tel que (z ,z )∈ Z(Ω)}.2 2 1 1 2X
• Pour tout z ∈Z (Ω), P(Z =z ) = P(Z =z ,Z = z ).1 1 1 1 1 1 2 2
z ∈Z (Ω)2 2X
• Pour tout z ∈Z (Ω), P(Z =z ) = P(Z =z ,Z = z ).2 2 2 2 1 1 2 2
z ∈Z (Ω)1 1
D´emonstration : Il s’agit simplement de la formule des probabilit´es totales : la famille ({Z =2
z }) est un syst`eme complet. Donc2 z ∈Z (Ω)2 2
P(Z =z ) = P({Z =z }∩Ω)1 1 1 1 [ = P {Z = z }∩ {Z = z }1 1 2 2
z ∈Z (Ω)2 2 [ = P ({Z = z }∩{Z =z })1 1 2 2
z ∈Z (Ω)2 2X
= P({Z = z }∩{Z = z })1 1 2 2
z ∈Z (Ω)2 2X
= P(Z =z ,Z = z ).1 1 2 2
z ∈Z (Ω)2 2
X
Remarque : Formellement, la premi`ere loi marginale de la loi de (Z ,Z ), P(Z =z ,Z = z )δ ,1 2 1 1 2 2 (z ,z )1 2
(z ,z )∈Z(Ω)1 2X
peut s’´ecrire P(Z = z ,Z = z )δ ; le calcul indiqu´e dans la proposition pr´ec´edente rend compte du1 1 2 2 z1
(z ,z )∈Z(Ω)1 2
regroupement des masses de Dirac identiques.
n♦ En pratique : Plus g´en´eralement, soit X : (Ω,F,P)→R un vecteur al´eatoire discret. On note X ,...,X1 n
ses coordonn´ees, on calcule les lois marginales de la fac¸on suivante. Fixons i∈{1,...,n}.
n−1X (Ω) = {x∈R : ∃(x ,...,x ,x ,...,x )∈R tels que (x ,...,x ,x,x ,...,x )∈X(Ω)}i 1 i−1 i+1 n 1 i−1 i+1 nX XX X
et ∀x∈ X (Ω), P(X =x) = ··· ··· P(X = (x ,...,x ,x,x ,...,x )),i i 1 i−1 i+1 n
x x x x1 i−1 i+1 n
n−1ou` la somme a lieu sur l’ensemble des (x ,...,x ,x ,...,x )∈R tels que (x ,...,x ,x,x ,...,x )∈1 i−1 i+1 n 1 i−1 i+1 n
X(Ω).
5.3 Th´eor`eme de transfert pour un vecteur al´