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Licence Professionnel Optronique Année 2004 - 2005 Rappels Traitement du Signal Note de cours T.Dumartin 1 GENERALITES 4 1.1 INTRODUCTION 4 1.2 DEFINITIONS 4 1.2.1 SIGNAL 4 1.2.2 BRUIT 4 1.2.3 RAPPORT SIGNAL SUR BRUIT 1.2.4 SYSTEME 4 1.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX 5 1.3.1 CLASSIFICATION PHENOMENOLOGIQUE 1.3.2 CON ENERGETIQUE 1.3.3 CON MORPHOLOGIQUE 1.4 SIGNAUX PARTICULIERS 6 1.4.1 FONCTION SIGNE 6 1.4.2 FONCTION ECHELON 6 1.4.3 FONCTION RAMPE 6 1.4.4 FONCTION RECTANGULAIRE 6 1.4.5 IMPULSION DE DIRAC 7 1.4.6 PEIGNE DE DIRAC 8 1.4.7 FONCTION SINUS CARDINAL 8 1.5 REPRESENTATION FREQUENTIELLE 2 TRAITEMENT DU SIGNAL ANALOGIQUE 9 2.1 SERIE DE FOURIER 9 2.1.1 DEFINITION 9 2.1.2 DEVELOPPEMENT EN TERMES COMPLEXES 10 2.1.3 PROPRIETES 10 2.2 TRANSFORMEE DE FOURIER 2.2.1 DEFINITION 10 2.2.2 PROPRIETES 11 2.2.3 EXEMPLE 12 2.3 CONVOLUTION 12 2.3.1 DEFINITION 12 2.3.2 TRANSFORMEE DE FOURIER 13 2.4 NOTION DE FILTRAGE 13 2.4.1 FONCTION DE TRANSFERT 2.4.2 FILTRE REEL – GABARIT 14 2.5 NOTION DE MODULATION 15 2.5.1 PRINCIPE 15 2.5.2 MODULATION D’AMPLITUDE 3 NUMERISATION 17 3.1 ECHANTILLONNAGE 17 3.1.1 DEFINITION 17 3.1.2 ECHANTILLONNAGE IDEAL 3.1.3 EE REEL 18 3.1.4 ECHANTILLONNAGE-BLOCAGE 19 3.2 QUANTIFICATION 20 3.2.1 DEFINITION 20 3.2.2 QUANTIFICATION UNIFORME 20 3.3 CODAGE 21 4 TRAITEMENT DU SIGNAL NUMERIQUE 22 4.1 ...

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  Licence Professionnel Optronique

                                         

                                                       

 

Année 2004 - 2005 

  Rappels Traitement du Signal Note de cours T.Dumartin

 

1   GENERALITES   1.1   I NTRODUCTION   1.2   D EFINITIONS   1.2.1   S IGNAL   1.2.2   B RUIT   1.2.3   R APPORT SIGNAL SUR BRUIT   1.2.4   S YSTEME   1.3   C LASSIFICATION DES SIGNAUX   1.3.1   C LASSIFICATION PHENOMENOLOGIQUE   1.3.2   C LASSIFICATION ENERGETIQUE   1.3.3   C LASSIFICATION MORPHOLOGIQUE   1.4   S IGNAUX PARTICULIERS   1.4.1   F ONCTION SIGNE   1.4.2   F ONCTION ECHELON   1.4.3   F ONCTION RAMPE   1.4.4   F ONCTION RECTANGULAIRE   1.4.5   I MPULSION DE D IRAC   1.4.6   P EIGNE DE D IRAC   1.4.7   F ONCTION SINUS CARDINAL   1.5   R EPRESENTATION FREQUENTIELLE   2   TRAITEMENT DU SIGNAL ANALOGIQUE   2.1   S ERIE DE F OURIER   2.1.1   D EFINITION   2.1.2   D EVELOPPEMENT EN TERMES COMPLEXES   2.1.3   P ROPRIETES   2.2   T RANSFORMEE DE F OURIER   2.2.1   D EFINITION   2.2.2   P ROPRIETES   2.2.3   E XEMPLE   2.3   C ONVOLUTION   2.3.1   D EFINITION   2.3.2   T RANSFORMEE DE F OURIER   2.4   N OTION DE F ILTRAGE   2.4.1   F ONCTION DE TRANSFERT   2.4.2   F ILTRE REEL  GABARIT   2.5   N OTION DE M ODULATION   2.5.1   P RINCIPE   2.5.2   M ODULATION D  AMPLITUDE   3   NUMERISATION   3.1   E CHANTILLONNAGE   3.1.1   D EFINITION   3.1.2   E CHANTILLONNAGE IDEAL   3.1.3   E CHANTILLONNAGE REEL   3.1.4   E CHANTILLONNAGE - BLOCAGE   3.2   Q UANTIFICATION   3.2.1   D EFINITION   3.2.2   Q UANTIFICATION UNIFORME   3.3   C ODAGE  

4   4   4   4   4   4   4   5   5   5   5   6   6   6   6   6   7   8   8   8   9   9   9   10   10   10   10   11   12   12   12   13   13   13   14   15   15   15   17   17   17   17   18   19   20   20   20   21  

 

4   TRAITEMENT DU SIGNAL NUMERIQUE  

4.1   T RANSFORMEE DE F OURIER D ' UN SIGNAL DISCRET   4.1.1   D EFINITION   4.1.2   P ROPRIETES   4.2   T RANSFORMEE DE F OURIER DISCRETE   4.2.1   F ENETRAGE   4.2.2   E CHANTILLONNAGE EN FREQUENCE   4.3   N OTION DE TRANSFORMEE DE F OURIER RAPIDE   4.3.1   P RESENTATION A L  ALGORITHME DE C OOLEY -T UCKEY       Annexe 1 : Transformée de Fourier dun peigne de Dirac Annexe 2 : Transformée de Fourier de la fonction porte                                                                  

22  

22   22   22   23   23   24   26   26  

 

Chapitre 1

1 Généralités   1.1 Introduction Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum d'information utile sur unsignalperturbé par dubruiten s'appuyant sur les ressources de l'électronique et de l'informatique.    1.2 Définitions 1.2.1 Signal Unsignal la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son est destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.   1.2.2 Bruit Unbruitcorrespond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un signal.   Remarque : Les notions de signal et bruit sont très relatives. Pour un technicien des télécommunications qui écoute un émetteur lointain relayé par un satellite, le signal provenant dune source astrophysique (soleil, quasar) placée malencontreusement dans la même direction est un bruit. Mais pour lastronome qui sintéresse à la source astrophysique, cest le signal du satellite qui est un bruit.   1.2.3 Rapport signal sur bruit Lerapport signal sur bruitmesure la quantité de bruit contenue dans le signal. Il s'exprime par le rapport des puissances du signal (P S ) et du bruit (P N ). Il est souvent donné en décibels (dB).   S        N S    dB P og P 0l=1 N   1.2.4 Système Unsystème est un dispositif représenté par un modèle mathématique de type Entrée/Sortie qui apporte une déformation au signal (Ex: modulateur, filtre, etc).        Entrée Système Sortie            

 

1.3 Classification des signaux On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.   1.3.1 Classification phénoménologique On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de signaux :   Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut être parfaitement modéliser par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc   Les signaux aléatoires : comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à leur leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires.   1.3.2 Classification énergétique On considère l'énergie des signaux. On distingue :   Les signaux à énergie finie :il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie.   Les signaux à puissance moyenne finie :il possède une énergie infinie et sont donc physiquement irréalisable.     Rappels : +∞ Energie d'un signal x(t)   ⇒   W x = ∫ x(t) 2 dt   -∞ Puissance  l  1 P = T/ 2 d'un signal x(t)⇒   x T i → m ∞ T ∫ x(t) 2 dt   - T/ 2   1.3.3 Classification morphologique On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont l'amplitude est discrète ou continue.   

 

    x(t)

  x[n]

Continue

  x(t)

t   [n] x

n quantification

Discrète

t

n

  On obtient donc 4 classes de signaux :   Les signaux analogiquesdont l'amplitude et le temps sont continus   Les signaux quantifiésdont l'amplitude est discrète et le temps continu Les signaux échantillonnésdont l'amplitude est continue et le temps discret Les signaux numériquesdont l'amplitude et le temps sont discrets     1.4 Signaux particuliers Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.   1.4.1 Fonction signe sgn(t)   1   <-1 pou sgn(t)=   0  t>our    p1+ t0 r     t   -1   Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (t) =0 pour t=0.   1.4.2 Fonction échelon u(t)      0<0  0    t>   r  t pou   1 u(t)= 1o  p ur t     Par convention, on admet pour valeur à l'origine: u (t) = ½ pour t=0. Dans certains, il sera préférable de lui donner la valeur 1.   1.4.3 Fonction rampe r(t)   r(t) = t . u(t) t 1  = ∫ u ( τ ) dτ   t -∞ 1     1.4.4 Fonction rectangulaire   1 rec(t/T) t     p  1  t 2T <  ruo   1 rect ( )= T t   0    t1 r  > pou 2T -T/2 T/2   On l'appelle aussi fonction porte. Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire.

 

 

 

 

 

1.4.5 Impulsion de Dirac L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la δ(t) largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à 1. 1      δ(t)=   0 ∞our    p 0 t =     rt p uo t 1         ≠0   δ   (t) ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole   Attention: le1marqué sur la flèche pleine représente laire   de cette impulsion (et non la hauteur de limpulsion). On peut encore considérerδ   (t) comme la dérivée de la fonction éc δ d(u)t ()t helon : = . dt   Propriétés :   Intégrale +∞ ∫ δ =(t) dt 1   −∞ +∞ ∫ x(t).δ(t) dt = x(0)   −∞ +∞ ∫ x(t).δ(t−t 0 ) dt = x(t 0 )   −∞   Produit          x(t).δ(t) = x(0).δ(t)=x(0)   x(t).δ(t−t 0 ) = x(t 0 ).δ(t−t 0 )=x(t 0 )     Identité x(t)∗δ(t) = x(t)     Translation x(t)∗δ(t−t 0 ) = x(t−t 0 )   x(t−t 1 )∗δ(t−t 0 ) = x(t−t 1 −t 0 )     Changement de variable δ(a . t) = a −1 δ(t)  en particulier avec δ(ω 2 =) 1 πf δ(t)       Remarque : Un signal physiquey(t) correspondant au passage dun état (1) vers un état (2) pourra être considéré comme un impulsion chaque fois que son temps de montéet m   sera négligeable devant les autres temps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour un échelon.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinc(t) 1

t

1.4.6 Peigne de Dirac On appellepeigne de Dirac succession périodique une δ T (t) dimpulsions de Dirac.   +∞ δ T (t)= ∑ δ(t- kT)    KT t  2T T T-KT -2T k→-∞ -   T est la période du peigne. Cette suite est parfois appeléetrain d'impulsionsoufonction d'échantillonnage.   Ce type de signal est principalement utilisé en échantillonnage .   1.4.7 Fonction sinus cardinal   sinc(t) =  sin π ( t πt )       Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal. -3 -2 2 3 -1 1   Propriétés :   +∞ ∫  =sinc(t) dt 1   -∞ +∞ ∫ sinc 2  1 =(t) dt   -∞     1.5 Représentation fréquentielle On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporellet notre car perception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des propriétés spectrales d'un signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation en fonction de la fréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de traitement des signaux nous aident dans cette tâche.   Exemple : le support de transmission du téléphone à une bande passante de 3kHz alors que la bande passante des signaux audibles est de 20kHz. Ceci explique pourquoi un signal audio de haute qualité transmis par voie téléphonique sera perçu comme de mauvaise qualité par le récepteur.  

 

Chapitre 2

2 Traitement du signal analogique   2.1 Série de Fourier 2.1.1 Définition La décomposition ensérie de Fourier de décomposer un signal en somme de permet sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel. Pour pouvoir être décomposable, un signal doit être à variations bornées (Dirichlet).   Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s(t+T 0 ), on peut écrire :   ∞ s(t) = S 0 + ∑ A n cos ( nω 0 t ) +B n sin ( nω 0 t )     2π     n=1     ω 0 = T 0    avec S 0 1 = T 0 ( T ∫ 0 ) s(t) dt   A n 2 T = ∫ s(t) cos ( nω 0 t ) dt   0 ( t 0 ) B n 2 T = ∫ s(t) sin ( nω 0 t ) dt   0 ( T 0 )

    Remarques : On appelle le signal de pulsationω 0 lefondamental. On appelle les signaux de pulsation n.ω 0 lesharmoniques de rang n. La valeur de S 0 représente lavaleur moyennede s(t).     Autre expression :   L'écriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu d'intérêt physique, en effet si la fonction f(t) subit une simple translation suivant l'axe des temps alors les coefficients A n et B n seront modifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquelle la puissance est conservée après une translation suivant l'axe des temps et où cette translation apparaîtra sous la forme dun déphasage. Cette nouvelle écriture s'obtient en posant :  =Φ   A B n n C =C n n sin Φ n n   cos     ainsi, en remplaçant A n et B n dans :   ∞ s(t) = S 0 + ∑   A n cos ( nω 0 t ) +B n sin ( nω 0 t )     n=1 ∞ s(t) = S 0 + ∑ C n sinΦ n cos ( nω 0 t ) + cosΦ n sin ( nω 0 t  )    n=1  

 

  s(t) = S 0 + ∑ ∞ C n sin ( nω 0 t+Φ n ) avec Φ     n = B tcna A ra n n=1 n   2 2 2     + BC = A n n n     !! Atte on !! nti Si lon intervertit la place des paramètres B n  et A n  (A n  devantsin B et n  devantcos) dans la décomposition en série de Fourier, il ne faut pas oublier de les intervertir dans la définition deφ n aussi.   2.1.2 Développement en termes complexes En introduisant la notation complexe de cos(nω 0 t) et sin(nω 0 t), il est possible d'obtenir une écriture complexe de la série de Fourier.   −jnω 0 t−jnω 0 t On pose cos ( nω 0 t ) e = jnω 0 t + 2 e jnω 0 t  et sin ( nω 0 t ) = 2 e− j e   On obtient alors :   T 0 / 2   s(t) = + ∑ ∞ S n e jnω 0 t S n = 1 ∫ s(t) jnω 0 t  avec e T − dt   -∞ 0 -  T 0 / 2   Les coefficients complexes S n sont reliés aux coefficients A n et B n par les relations suivantes : = A−jB   S n n n    2 n>0   S =  A n +jB n ∀     - n 2   Remarques : Dans les deux formes précédentes, chaque composante de fréquence était représentée par deux coefficients. L'écriture complexe ne fait apparaître qu'un seul coefficient S n  complexe mais qui comprend bien entendu un module et une phase.   2.1.3 Propriétés   Si s(t) est paire    B n = 0 et S n = S -n   Si s(t) est impaire A n = 0 et S n = -S -n     2.2 Transformée de Fourier Cest une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux déterministes. Elle permet dobtenir une représentation en fréquence (représentationspectrale) de ces signaux. Elle exprime la répartition fréquentielle de lamplitude, de la phase et de lénergie (ou de la puissance) des signaux considérés.   2.2.1 Définition Soit s(t) un signal déterministe. Sa transformée de Fourier est un fonction, généralement complexe, de la variablefet définie par : +∞     S(f) = TF [ s(t) ] = ∫ s(t) e −j2πft dt -∞

 

Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par :   +∞     s(t) = TF −1 [ S(f) ] = ∫ S(f) e j2πft d f -∞     Remarque : On appellespectredesle module de la transformée de Fourier des.   2.2.2 Propriétés     Linéarité Translation   Conjugaison  Dérivation Dilatation Convolution   Dualité

α.s(t) +β.r(t)   s(t- t 0 )   e 2 jπf 0 t s(t)   s ∗ (t)   d n s(t)   dt n s(at) avec  a≠0   s(t)∗r(t)   s(t)ir(t)   S(t)

α.S(f) +β.R(f)   − e 2 jπf t 0 S(f)   S(f- f 0 )   S ∗ (-f)   ( j2πf ) n  )S( f   1 f S( )   a a S(f) R(f)   i S(f)∗R(f)   s(-f)

    Transformée de Fourier de Dirac :   s(t) TF     S(f) δ(t)  1 δ(t-τ)     e −2 jπfτ   e −2 jπf 0 t     δ(f+ f 0 )     Egalité de Parceval : Pour un signal dénergie finie, lénergie du signal est identique dans les domaines temporel et fréquentiel.   +∞ 2 +∞ 2   ∫ s(t) dt= ∫ S(f) df   −∞ −∞