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Groupoïdes quantiques et logiques tensoriellesune introductionPaul-André MellièsCours de l’Ecole Doctorale de Sciences MathématiquesParis, Juin 20081Deux annoncesMardi 17 Juin à 11h : en salle 6C01, au groupe de travail sémantique de PPS,Dominique Duval (Grenoble)Logiques diagrammatiques et effets de bordmots clefs: effets de bord, langages de programmation,monades fortes, construction de Kleisli,esquisses.Vendredi 20 Juin à 14h : en salle 1C01, séance de questions autour du cours.2Plan de la séance1 – Catégories et 2-catégories,2 – Adjonctions,3 – Diagrammes de cordes.3Première partieCatégories et 2-catégoriesFoncteurs et transformations naturelles4CatégoriesUne catégorieC est la donnée— d’une classe d’objets,— d’un ensembleHom(A;B) de morphismes pour tout couple d’objets(A;B),— d’une loi de composition:Hom(B;C)Hom(A;B)! Hom(A;C)— d’un morphisme identité id 2Hom(A;A) pour tout objet A,A1— tel que soit associative8(f;g;h)2Hom(A;B)Hom(B;C)Hom(C;D) f(gh) =(fg)h2— tel que les morphismes id soient éléments neutre de8f2Hom(A;B) fid = f = id fA BNotation: on écrit f : A! B quand f2Hom(A;B).5//////////FoncteursUn foncteur F d’une catégorieC vers une catégorieD est la donnée:— d’un objet FA deD pour tout objet A deC,— d’une fonction F:Hom (A;B)! Hom (FA;FB) pour tout couple d’objets(A;B)C DdeC.On demande que F préserve les identités:Fid idA FA=FA FA FA FAet préserve la composition:Ff Fg F(gf)=FB FC FCFA ...
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Groupoïdes quantiques et logiques tensorielles
une introduction
Paul-André Melliès
Cours de l’Ecole Doctorale de Sciences Mathématiques
Paris, Juin 2008
1Deux annonces
Mardi 17 Juin à 11h : en salle 6C01, au groupe de travail sémantique de PPS,
Dominique Duval (Grenoble)
Logiques diagrammatiques et effets de bord
mots clefs: effets de bord, langages de programmation,
monades fortes, construction de Kleisli,
esquisses.
Vendredi 20 Juin à 14h : en salle 1C01, séance de questions autour du cours.
2Plan de la séance
1 – Catégories et 2-catégories,
2 – Adjonctions,
3 – Diagrammes de cordes.
3Première partie
Catégories et 2-catégories
Foncteurs et transformations naturelles
4Catégories
Une catégorieC est la donnée
— d’une classe d’objets,
— d’un ensembleHom(A;B) de morphismes pour tout couple d’objets(A;B),
— d’une loi de composition:Hom(B;C)Hom(A;B)! Hom(A;C)
— d’un morphisme identité id 2Hom(A;A) pour tout objet A,A
1— tel que soit associative
8(f;g;h)2Hom(A;B)Hom(B;C)Hom(C;D) f(gh) =(fg)h
2— tel que les morphismes id soient éléments neutre de
8f2Hom(A;B) fid = f = id fA B
Notation: on écrit f : A! B quand f2Hom(A;B).
5/
/
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Foncteurs
Un foncteur F d’une catégorieC vers une catégorieD est la donnée:
— d’un objet FA deD pour tout objet A deC,
— d’une fonction F:Hom (A;B)! Hom (FA;FB) pour tout couple d’objets(A;B)
C D
deC.
On demande que F préserve les identités:
Fid idA FA
=FA FA FA FA
et préserve la composition:
Ff Fg F(gf)
=FB FC FCFA FA
6Exemple de catégorie et foncteur (1)
Tout ensemble ordonné (X;) définit une catégorie dont les objets sont les éle-
ments de X, et dans laquelle:
(
f g si x y
Hom (x;y) =
C
? sinon
En particulier, il existe au plus un morphisme entre deux objets.
7Exemple de catégorie et foncteur (2)
Un monoïde (M;;e) est un ensemble M muni d’une loi produit et d’un élément
neutre, tels que:
Associativité 8x;y;z2 M; (xy)z = x(yz)
Unité 8x2 M; xe = x = ex:
Un homomorphisme f de (M;;e) dans (N;;u) est une fonction f : M! N qui
préserve les identités:
f(e) = u;
et préserve les produits:
8x;y2 M; f(xy) = f(x) f(y):
Exercice. Identifier tout monoïde (M;;e) à une catégorie [M;;e] à un seul objet.
Etablir une bijection entre les homomorphismes de(M;;e) dans(N;;u) et les fonc-
teurs de[M;;e] dans[N;;u].
8Transformations
Une transformation

: F! G
entre deux foncteurs
F;G : A! B
est une famille de morphismes
( : FA! GA)A A2Obj(A)
de la catégorieB indexée par les objets de la catégorieA.
9/

F


F
F
F

/
Composition verticale de transformations
Les transformations se composent verticalement
F F
+ 1
+ G1 2 =
A B A B
+ 2
H H
et définissent ainsi une catégorie
Trans ( A ; B )
pour toutes catégoriesA etB.
10

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