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El uso de bases y frames en teoría de muestreo

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En este artículo se trata de la recuperación de x∈H, siendo H un espacio de Hilbert separable, a partir de la sucesión de escalares {<x,xn>}n=1,infty obtenida mediante una sucesión dada {xn}n=1,infty de H. El exigir que se cumpla el concepto de la l2-estabilidad nos lleva directamente a la definición de frame en H, siendo las bases ortonormales y las bases de Riesz dos casos particulares. Después de una breve excursión por las propiedades más importantes de los frames, y de su contrapartida en el caso de bases ortonormales y de bases de Riesz, nos centraremos en el caso en que H es un espacio de Hilbert de funciones y la sucesión {<x,xn>}n=1,infty consiste en muestras de x y/o de ciertas funciones relacionadas con ella. Como ilustración de la teoría anterior obtendremos teoremas de muestreo en los espacios clásicos de Paley–Wiener, así como en otros espacios invariantes por traslación en L2(R), i.e., subespacios cerrados de L2(R) generados por las traslaciones en los enteros de una cierta función φ de L2(R).
14 págs.-- El autor agradece la lectura crítica del trabajo por parte de los profesores Alberto Ibort (Universidad Carlos III de Madrid) y Gerardo Pérez-Villalón (Universidad Politécnica de Madrid).
Real Sociedad Matemática Española (RSME)
Gaceta de la RSME, 2009, vol. 12, n. 2, p. 301-314
Este trabajo ha sido financiado por el proyecto MTM2006-09737 de la D.G.I. del Ministerio de Ciencia y Tecnología.
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El uso de bases y frames en teoría de muestreo por Antonio G. García
Resumen. En este artículo se trata de la recuperación de x ∈ H , siendo H un espacio de Hilbert separable, a partir de la sucesión de escalares {h x x n i} n =1 obtenida mediante una sucesión dada { x n } n =1 de H . El exigir que se cumpla el concepto de ` 2 -estabilidad nos lleva directamente a la definición de frame en H , siendo las bases ortonormales y las bases de Riesz dos casos particula-res. Después de una breve excursión por las propiedades más importantes de los frames , y de su contrapartida en el caso de bases ortonormales y de bases de Riesz, nos centraremos en el caso en que H es un espacio de Hilbert de funciones y la sucesión {h x x n i} n =1 consiste en muestras de x y/o de ciertas funciones relacionadas con ella. Como ilustración de la teoría anterior obten-dremos teoremas de muestreo en los espacios clásicos de Paley–Wiener, así como en otros espacios invariantes por traslación en L 2 ( R ) , i.e., subespacios cerrados de L 2 ( R ) generados por las traslaciones en los enteros de una cierta función ϕ de L 2 ( R ) .
1. Planteamiento del problema Un problema muy frecuente en teoría de la seal, que nos va a servir para motivar nuestra discusión, es el siguiente: Dada una seal x en un cierto espacio de Hilbert H (en general, de energía finita, i.e., perteneciente al espacio de Hilbert L 2 ( R ) , ya que la energía de una seal f L 2 ( R ) puede estimarse a partir de E f := k f k 2 ), se muestrea utilizando un operador de muestreo lineal y acotado M , M : H` 2 ( N ) x 7{M x ( n ) } n =1 La sucesión {M x ( n ) } n =1 es la información de la seal x que se utilizará para alma-cenarla y, eventualmente, transmitirla a través de un cierto canal. Cada componente de la aplicación anterior, x 7→ M x ( n ) , será un funcional lineal y acotado; por el teorema de representación de Riesz, para cada n N existe un único x n ∈ H tal que M x ( n ) = h x x n i para todo x ∈ H . La cuestión radica en qué propiedad debe verificar la sucesión { x n } n =1 para que el receptor pueda recuperar la seal x , de manera estable (concepto que será precisado más adelante), a partir de la sucesión {h x x n i} n =1 . En primer lugar, si queremos que la sucesión { x n } n =1 determine unívocamente cada elemento x de H , deberemos pedir que la sucesión { x n } n =1 sea un sistema
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