Etude expérimentale d’ondes de bord en ecoulement cisaille stratifie

Description

èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 572 ETUDE EXPERIMENTALE D’ONDES DE BORD EN ECOULEMENT CISAILLE STRATIFIE Rimbert Nicolas*, Lusseyran François**, Izrar Boujema*** *LEMTA (UMR 7563 CNRS/INPL/UHP) 2, avenue de la Forêt de Haye - 54516 Vandoeuvre lès Nancy Cedex **LIMSI (UPR 3251 CNRS) BP 133, F-91403 Orsay Cedex ***Laboratoire d’Aérothermique (UPR 9020 CNRS) 1C, avenue de la recherche scientifique 45067 Orléans Cedex 2, France Résumé : Il s’agit d’une étude expérimentale des instabilités qui se développent à l’interface entre l’eau douce et l’eau salée dans un modèle d’embouchure de fleuve. Cet écoulement est intermédiaire entre un élargissement brusque dû à une marche simple et une couche de mélange entre deux fluides de densité différentes. L’utilisation des techniques combinées de vélocimétrie par imagerie de particule (PIV) et de fluorescence induite par laser (LIF) permet une détermination des champs de vitesse et de densité. On met ainsi en évidence l’apparition au sein des vagues d’un noyau de vorticité de signe opposé au gradient vertical de vitesse. En utilisant un dispositif de forçage fréquentiel, on détermine une relation de dispersion et l’on conclut sur l’origine physique de ce noyau. Abstract : A river mouth qualitative model is experimentally investigated. The flow is midway from a stratified shear layer and a flow over a backward-facing step. Velocity and density fields are measured combining both ...

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XV ème Congrès Français de Mécanique 

Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 

E  E X P E R I M E N T A L E DT U D E ’  E BO N D E S D N E O R D E C O U L E M E N T C I S A I L L S R A T I   E T F I E

Résumé :

Rimbert Nicolas*, Lusseyran François**, Izrar Boujema***

*LEMTA (UMR 7563 CNRS/INPL/UHP)

2, avenue de la Forêt de Haye - 54516 Vandoeuvre lès Nancy Cedex

**LIMSI (UPR 3251 CNRS)

BP 133, F-91403 Orsay Cedex

***Laboratoire d’Aérothermique (UPR 9020 CNRS)

1C, avenue de la recherche scientifique 45067 Orléans Cedex 2, France

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Il s’agit d’une étude expérimentale des instabilités qui se développent à l’interface entre l’eau douce et l’eau salée dans un modèle d’embouchure de fleuve. Cet écoulement est intermédiaire entre un élargissement brusque dû à une marche simple et une couche de mélange entre deux fluides de densité différentes. L’utilisation des techniques combinées de vélocimétrie par imagerie de particule (PIV) et de fluorescence induite par laser (LIF) permet une détermination des champs de vitesse et de densité. On met ainsi en évidence l’apparition au sein des vagues d’un noyau de vorticité de signe opposé au gradient vertical de vitesse. En utilisant un dispositif de forçage fréquentiel, on détermine une relation de dispersion et l’on conclut sur l’origine physique de ce noyau.

Abstract :

A river mouth qualitative model is experimentally investigated. The flow is midway from a stratified shear layer and a flow over a backward-facing step. Velocity and density fields are measured combining both Particle Image Velocimetry (PIV) and Laser Induced Fluorescence (LIF). Waves on the interface between fresh and salted water are shown to bear away a vorticity kernel whose sign is opposite to the mean vertical velocity gradient. Using an exciting actuator, a dispersion relationship is then devised. To conclude, physical insight of the origin of this kernel is given.

Mots clés :

Ondes de bord, PIV, LIF, forçage fréquentiel, relation de dispersion, dynamique de la vorticité.

1.Introduction

Dans le cadre du projet européen Metro-med, il a été réalisé au LEMTA une expérience visant à modéliser le mélange entre l’eau douce et l’eau salée à l’embouchure d’un fleuve (Audemaret alexpérimentale de couches de mélange dans le cas., 1999). L’étude

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d’écoulements cisaillés stratifiés remonte aux travaux de Scotti et Corcos (1972), Thorpe (1973), Delisi et Corcos (1973) pour le cas statiquement stable et de Koop et Browand (1979) pour le cas statiquement instable sans oublier Lawrenceet al. pour la partie (1991) expérimentale de leur article. Plus récemment, Schowalteret al. (1994) on étudié la dynamique de la vorticité dans ce type d’écoulement et Zhu et Lawrence (2001) ont comparé leurs mesures expérimentales au modèle de Holmboe (1962). La stabilité d’un écoulement stratifié soumis à un cisaillement d’une part et à la pesanteur d’autre part est piloté par le nombre de Richardson J , il se définit qualitativement comme un ordre de grandeur du rapport entre le terme de flottaison et le terme d’inertie dans l’équation de la quantité de mouvement. Un raisonnement énergétique simple (Chandrasekhar, 1961) permet de montrer que la conditionJ<ilauq tse  1 4 écesnt nvemetatiovrirua  eopasrised   instabilités. Cependant des études théoriques plus poussées ont été menées dans le cadre de l’analyse linéaire de la stabilité. Aux travaux pionnier de Taylor (1931) et Goldstein (1931) ont succédés ceux de Holmboe (1962) et puis de Lawrenceet al.(1991). Cette dernière étude aboutit à une équation de dispersion dont le bien-fondé expérimental a été étudié dans le cadre du modèle d’embouchure par Audemardet al. L’originalité du présent travail par (1999). rapport aux études citées précédemment réside tant dans la configuration expérimentale que dans les techniques de mesure utilisées (PIV-LIF et forçage fréquentiel). Il faut préciser que l’écoulement étudié est situé à mi-chemin entre un élargissement brusque lié à une marche simple et une couche de mélange entre deux fluides de densité différente. Il n’est pas alors évident que les théories linéaires de la stabilité développée précédemment pour les couches de mélange s’appliquent à notre cas de figure : on ne connaît pas en effet l’écoulement de base avec certitude. Nous nous restreindrons dans cet article à une présentation de résultats expérimentaux sur des instabilités que nous conviendrons d’appeler ondes de bord.

2. Mise en œuvre expérimentale

Figure 1: Schéma de l'expérience.

2.1. Présentation de l’expérience

 

2.1.1. Régime libre Un schéma du dispositif expérimental utilisé est donné figure 1. Il est à noter qu’il ne s’agit pas d’une maquette d’embouchure mais plutôt d’un modèle de principe. C’est une veine de 20 cm de large sur plusieurs mètres de long. La nappe inférieure d’eau salée, haute de 10 cm, est alimentée par un siphon relié à un trop plein, le tout imposant une pression fixée. On règle cette dernière en fonction du débit de la nappe d’eau douce qui lui est superposée, haute, elle aussi, de 10 cm. On cherche de cette façon à placer l’interface entre les deux fluides au niveau de la marche d’entrée. Les débits sont mesurés à l’aide de débitmètre

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électromagnétique et la salinité de la nappe inférieure est maintenue constante à l’aide d’une sonde de salinité et d’un automate couplé à un mélangeur. 2.1.2. Régime forcé Une fente a été creusée transversalement sur toute la largeur de la veine au niveau de la marche d’entrée et permet de projeter verticalement un jet par l’action d’un piston relié à un moteur électrique à vitesse variable. En injectant un colorant dans la rainure et en jouant sur les pertes de charges entre le piston et la rainure, on peut s’assurer que la perturbation de vitesse imposée est bien négligeable devant la vitesse de l’écoulement amont (3 à 4 mm/s versus 3 cm/s en moyenne). Il a par contre été plus difficile de déterminer avec précision la réponse fréquentielle de notre système et il est probable que le signal d’excitation ne soit pas monochromatique. La fréquence d’excitation à laquelle nous faisons référence par la suite est donc la fréquence de rotation du moteur.

2.2. Moyens de mesure mis en œuvre

2.2.1. Conductimétrie Une sonde de conductimétrie couplée à un thermocouple (pour prendre en compte les effets des variations de température) permet grâce à un banc de déplacement automatique biaxe de mesurer le profil de salinité dans l’écoulement. On peut ainsi en plaçant la sonde au niveau de l’interface enregistrer un signal révélateur du passage des instabilités qui se ).

   Figure 2 : Série temporelle du signal de Figure 3 : Densité spectrale d’énergie de la conductimétrie montrant le passage d’ondes série temporelle précédente.   libres. La vitesse moyenne de l’eau douce en entrée est de 2,8 cm/s.   La grande fréquence d’échantillonnage (1280 Hz) conjuguée à la durée de l’acquisition (131072 points) nous permet d’obtenir le spectre de notre signal avec une résolution de l’ordre de 10 -2 des ondes libres un maximum situé autour de 0,45Hz. On peut remarquer dans le cas Hz. C’est cette fréquence qui sera par la suite utilisée pour exciter l’interface. La seule grandeur qui varie effectivement dans le cas des ondes forcées est le débit d’entrée de l’eau douce. 2.2.2.Vélocimétrie par Imagerie de Particules Le champ de vitesse dans un plan de l’écoulement a pu être mesuré (figure 4) à l’aide d’un système de vélocimétrie par imagerie de particule (PIV) Dantec. Le plan laser est le plan de symétrie de notre écoulement.

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On peut en déduire le champ de vorticité (figure 5) et noter la présence d’une zone de vorticité positive située au milieu de la vague alors que la nappe de vorticité induite par le gradient de vitesse est de signe négatif. 2.2.3. Fluorescence Induite par Laser L’eau salée est marquée par de la rhodamine 6G, un traceur fluorescent dont le spectre d’absorption se situe dans le vert du laser Nd-YAG utilisé par la PIV. Le signal de fluorescence est obtenu via la caméra CCD de la PIV et l’on peut de cette façon réaliser une cartographie complète de la salinité et de la masse volumique du fluide. Pour ce faire on utilise l’équation d’état internationale de l’eau de mer 1  établie en 1980 (Copin-Montégut, 1996). On peut ensuite par intercorrélation entre deux images successives, obtenir la vitesse

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10 15 20 25 30 35 mm Figure 4 : Champ de vitesse au sein d’une onde libre. La vitesse moyenne d’entrée de l’eau douce est de 3,4 cm/s.

3. Résultats, relation de dispersion

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-0.50933

-1. 107 10 15 20 25 30 35 mm   Figure 5 : Lignes d’iso-vorticité (s -1 ) montrant la présence d’un noyau de vorticité positive au sein de l’onde libre.

Nous avons cherché à caractériser la relation de dispersion de ces ondes. La mesure des longueurs d’ondes se fait à partir des images de fluorescence et s’accompagne d’une incertitude relative non négligeable (de plus de 10%) lorsque la longueur d’onde est du même ordre de grandeur que la taille de l’image d’acquisition. Dans les autres cas on peut considérer qu’elle est inférieure à 10%.

La figure 6 représente le carré de la célérité des ondes en fonction de leur longueur d’onde (en variables réduites). L’objectif de cette représentation est de regarder si la relation classique de dispersion : c 2 = 2 ρ ρΔ k g  (1) soit en variable réduite, en posantc * = u c ,J= gΔ ρu 2 ρ hetα =kh 2 , il vient :

 

                                                  1 Elle donne la masse volumique en fonction de la salinité, la pression et de la température.

2  vdee chou clae d ruessiapé’l elene d’tessa viu l  ,teicétroitdee on léce llhese hnu t ùo ar exemptique, partcrésiugue racdu fluide. 

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* c 2 =2J  (1’) est vérifiée au sein de notre écoulement.Δρest la différence de masse volumique entre l’eau salée et l’eau douce,ρla moyenne de ces masses volumique, g l’accélération gravitationnelle  

et k le vecteur d’onde (2*π*nombre d’ondes). Il s’agit d’une relation de dispersion issue d’un modèle assez simple d’étude de stabilité linéaire d’une interface entre deux fluides non miscibles de densité différente (Lamb, 1932). Dans notre expérience le nombre de Péclet étant suffisamment grand, on peut négliger les problèmes de diffusion et considérer que l’on a deux fluides distincts. On peut remarquer sur la figure 6 que les ondes libres semblent valider cette loi pour des vitesses d’entrée de l’eau douce relativement élevées. Ceci peut être mis en parallèle avec l’étude expérimentale d’Audemardet al. (1999) où la théorie linéaire de la stabilité développée par Lawrenceet al.(1991) est bien vérifiée à haute vitesse (supérieure à 3,5 cm/s)

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0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 J/ α   Figure 6 : Relation de dispersion : c* 2  en fonction de la longueur d’onde Jα. Les◊ les o et correspondent à des ondes libres, les * et les à des ondes forcées. Les◊sont obtenues pour des vitesses de l’eau douce > 4,1 cm/s et les o pour des vitesses < 3,5 cm/s. Les◊, o, * présentent une incertitude sur la longueur d’onde < 10%, elle est >10% pour les . Cependant dans le cas des ondes libres à basse vitesse et des ondes forcées, nous n’avons réussi à obtenir de résultats parfaitement cohérents ni avec le modèle de Lawrenceet al.  (1991) ni avec l’équation (1). Dans ce cas, ces ondes semblent obéir à la relation de dispersion: c * 2 =Jα (2)

4. Origine physique du noyau de vorticité

L’apparition d’un noyau de vorticité opposée à la nappe de vorticité initiale nous amène à étudier plus précisément l’équation de la vorticité :

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∂ ∂ ω t r +R r ot(ω r ∧v r )= 1 ρ G r rad(ρ)∧g r  Δω+ ν r  (3) Le second terme correspond à une création barocline de vorticité (Schowalteret al.1994) et est responsable de l’apparition de la zone de vorticité positive au sein de la vague. La marche d’entrée a pour effet de courber l’interface et génère, de ce fait, une vorticité positive (figure7). Celle-ci est ensuite convectée par l’onde de bord.

r ρ

Eau douce

g Eau salée   Figure 7 : Mécanisme de création du noyau de vorticité

5. Conclusion On peut voir figure 6 que les ondes forcées semblent obéir à la relation de dispersion (2). Elles véhiculent de plus un noyau de vorticité positive i.e. de sens opposé au sens de déferlement d’une houle « classique ». Il existe peu de modèles de houle rotationnelle (cf. Lacombe 1965) et la houle de Gerstner (Gerstner 1802 voir Lamb p 250-252) a toujours fait figure de cas pathologique. L’origine de la vorticité qu’elle transporte, elle aussi sens opposée au sens de déferlement d’une houle « classique », n’étant pas élucidée. La relation (2) correspond à la relation de dispersion de ces ondes dans lesquelles on aurait remplacé la gravité par une gravité corrigée prenant en compte la force d’Archimède. On peut obtenir ce résultat de façon rigoureuse en considérant l’équation de la perturbation d’un écoulement r r stratifié immobile (U=0∇p= ρg r ) mais en ne faisant aucunes hypothèses sur la taille de la perturbation. La gravité corrigée apparaît alors naturellement et l’on peut appliquer la solution de Gerstner à l’équation de la perturbation. Références Audemar C., Lusseyran F., Izrar B. et Skali-Lami S. 1999Time-space characteristics of stratified shear layer from UVP measurements, 2 nd Int. Symp. On Ultrasonic Method for Fluid Mechanics and Fluid Engineering, Villigen CH. Copin-Montégut G. 1996Chimie de l’eau de mer,Institut océanographique Paris. Chandrasekhar, S. 1961Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Clarendon Press, Oxford. Delisi D. et Corcos G.M. 1973 Boundary Layer Meteorol.5, 121. Goldstein S. 1931 Proc. Roy. Soc. London Ser. A132, 499. Holmboe 1962 J. Geofys. Publ.,24, 67. Koop C.G. et Browand F.K. 1979Instability and turbulence in a stratified fluid with shearJ. Fluid Mech., vol93, part 1, pp135-159. Lacombe H. 1965Cours d’océanographie physiqueGaulthier Villars. Lamb H. 1932yHrdicamynodsCambridge. Lawrence G.A. Browand F.K. et Redekopp L.G. 1991The stability of a sheared density interfacePhys. Fluids A3(10). Taylor G.I. 1931 Proc R. Soc. London Ser. A132, 524.

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Schowalter D.G., Van Atta C.W. et Lasheras J.C. 1994A study of streamwise vortex structure in a stratified shear layerJ. Fluid Mech., vol281, pp247-291. Scotti R.S. et Corcos G.M.1972An experiment on the stability of small disturbances in a stratified free shear layerJ. Fluid Mech.52, 499. Thorpe S.A. 1973Experiments on instability and turbulence in a stratified shear flowJ. Fluid Mech.61,731. Zhu D.Z. et Lawrence 2001 G.A.Holmboe’s instability in exchange flowsJ. Fluid Mech., vol 429, pp391-409.

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