Généralité sur les fonctions

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66Chapitre 16Généralités sur les fonctions :Troisième partieIl s’agit ici de repérer des propriétés communes à des «familles » de fonctions qu’on rencontre lors de larésolution de problèmes.Ces propriétés nous aideront pour la compréhension et/ou pour à la résolution des problèmes.I Fonction polynôme du second degréDes exemples :1 12• Montrer que le nombre triangulaire pour n entier est : T = n + n.n2 2• Montrer qu’avec 100 mètres de bouées, on peut délimiter une surface de baignade surveillée rectan-2 2gulaire de côté x mètres et d’aire :−2x +100x, m .Propriété2L’expression obtenue est variable et de la forme ax +bx+c, avec a = 0.On dit qu’elle est du second degré.On peut se souvenir que beaucoup de problèmes étudiés depuis le début de l’année avaient aussi cettepropriété. On s’intéresse donc à cette famille de fonctions :DéfinitionOn appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction f définie surR par une ex-2pression du second degré , c’est à dire f(x) = ax +bx+c, avec a = 0.Propriété Les différentes formes2Toute expression du second degré a sa forme développée : ax +bx+c2et parfois une forme factorisée mais possède toujours une forme canonique : a(x−α) +βDémonstration: AdmisExemples :2 2• Vérifier que f(x) = 2(x−3) +5 est la forme canonique de f(x) = 2x −12x+23,2• Vérifier que f(x) =−7(x+6) −10 n’a pas de forme factorisée!2 2• Développer (x−1) , en déduire la forme canonique de f(x) = x −2x+3.55777756 CHAPITRE 16. GÉNÉRALITÉS ...

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Extrait

Chapitre 16

Généralités sur les fonctions : Troisième partie

Il s’agit ici derepérerdes propriétés communes à des « familles » de fonctions qu’on rencontre lors de la résolution de problèmes. Ces propriétés nous aideront pour la compréhension et/ou pour à la résolution des problèmes.

I Fonctionpolynôme du second degré Des exemples : 1 1 2 •Montrer que le nombre triangulaire pournentier est :T n =n+n. 2 2 •Montrer qu’avec 100 mètres de bouées, on peut délimiter une surface de baignade surveillée rectan 2 2 gulaire de côtéxmètres et d’aire :−2x+ 100x,m. Propriété 2 L’expression obtenue estvariableet de la formeax+bx+c, aveca6= 0. On dit qu’elle est du second degré. On peut se souvenir que beaucoup de problèmes étudiés depuis le début de l’année avaient aussi cette propriété. On s’intéresse donc à cette famille de fonctions : Définition On appellefonction polynôme du second degré, toute fonctionfdéfinie surRparune ex 2 pression du second degré, c’est à diref(x) =ax+bx+c, aveca6= 0. Propriété Les différentes formes 2 Toute expression du second degré a saforme développée:ax+bx+c 2 et parfois uneforme factoriséemais possède toujours uneforme canonique:a(x−α) +β Démonstration:Admis Exemples : 2 2 •Vérifier quef(x) = 2(x−3) +5est la forme canonique def(x) = 2x−12x+ 23, 2 •Vérifier quef(x) =−7(x+ 6)−10n’a pas de forme factorisée! 2 2 •Développer(x−1), en déduire la forme canonique def(x) =x−2x+ 3. 55

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CHAPITRE 16.GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS :

TROISIÈME PARTIE

Théorème Optimisation 2 Toute fonction du second degré avecf(x) =a(x−α) +βadmetun extremumqui a lieu pour x=α. On a en fait les deux cas suivants possibles : Sia<0Sia>0 x−∞α+∞x−∞α+∞ Variations β Variations defdef β Maximumβpourx=α.Minimumβpourx=α. Démonstration: On peut admettre le résultat en première lecture... La démonstration pour un cas particulier est la même que pour le cas général, on se propose donc de la découvrir sur un cas :α= 1,β= 3eta= 8. 2 On étudie donc les variations de la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 8(x−1) +3. On décompose le programme de calcul def(x): 2 2 2 x7−→x−17−→(x−1)7−→8(x−1)7→−8(x−3 =1) +f(x) Chaque étape du calcul est réalisée par une fonction de référence : affine ou carré dont on connait les variations. On peut donc en déduire celles def. En effet : ◮La première étape est réalisée par une fonction affine strictement croissante surR. Cette étape conserve l’ordre. ◮La deuxième étape est réalisée par la fonction carrée dont on connait les variations : décroissante sur −+ Rpuis croissante surR. Cette étape peut conserver l’ordre ou le changer! ◮La troisième étape étape est réalisée par la fonction qui «multiplie par8» qui est une fonction linéaire strictement croissante surR. Cette étape conserve l’ordre. ◮ajouteLa dernière étape étape est réalisée par la fonction qui «3» qui est une fonction linéaire strictement croissante surR. Cette étape conserve l’ordre Ce qui donne : Sur]−∞; 1], Sur]1 ;+∞], a6b61 16a6b a−16b−160 06a−16b−1 2 22 2 (a−1)>(b−1)>0,l’ordre change(a−1)6(b−1),on conserve l’ordre 2 22 2 (a−1)>(b−1)>0 (a−1)6(b−1) 2 22 2 8(a−1)>8(b−1)>0 8(a−1)68(b−1) 2 22 2 8(a−1) +3>8(b−3 8(1) +a−31) +68(b−1) +3 L’ordre a changé,L’ordre n’a pas changé, fest strictement décroissante.fest strictement croissante.

fadmet donc un minimum enx= 1de valeur3.

II. FONCTIONSHOMOGRAPHIQUES

Exemple :!Optimiser la surface de baignade 2 f(x) =−2x+ 100x, c’est bien une expression de second degré aveca=−2,b= 100etc= 0. On est dans le casa <0, il y a donc un maximum. Reste à localiser ce maximum : On peut utiliser sa calculatrice et une lecture graphique, 2 2 ou obtenir la forme canonique : On vérifiera que pour toutxréel,−2x+ 100x=−2(x−125025) +. 2 Le maximum est obtenu pourx=α= 25mètres et on aura une aire deβ= 1250,m. Exercice : Livre : 65 page 89 Optimisation d’une aire.

Exercice : Livre : 4 page 133 Optimisation d’une aire.

Exercice : Livre : 76 page 171 Optimisation d’une aire.

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II Fonctionshomographiques Exemples : 1,8 •Régler ses phares de voiture : 4 p 158 conduit àp(x) =. Expliquer pourquoix∈0[0 ;,6[. 0,6−x •Le coût de production moyen d’un journal pour une production denjournaux : 78 p 147 donne 80 f(n) = 0,4 +. Que dire de la valeurn= 0? n Propriété ax+b L’expression obtenue estvariableet de la forme, quotient de deux expressions affines. cx+d On dit qu’elle est homographique. Définition On appellefonction homographique, toute fonctionfdéfinie surRparle quotient de deux ax+b fonctions affines, c’est à diref(x) =. cx+d Exemples : Identifier les coefficients dans les exemples précédents. Théorème ax+b Toute fonction homographique avecf(x) =etc6= 0 cx+d c possèdeune unique valeur interdite:x=−. d Son ensemble de définition s’écrit donc comme la réunion de deux intervalles ouverts. Démonstration: En effet, on ne peut diviser par 0, la condition d’existence def(x)est :cx+d6= 0, qui donne la valeur d interdite :cx+d= 0⇐⇒cx=−d⇐⇒x=−, puisquec6= 0. c

58GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS :CHAPITRE 16. ô ñô ñ d d L’ensemble de définition defest doncD=−∞;−− ∪; +∞. c c Exercice : Livre : 48 page 167 une étude de signe. Exercice : Livre : 55 b page 167 une inéquation. Exercice : Livre : 82 page 172 Les prix du cidre.

TROISIÈME PARTIE