L'analyse non standard et la tradition de l'infini - article ; n°2 ; vol.41, pg 157-207

Jean-Michel Salanskis

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1988 - Volume 41 - Numéro 2 - Pages 157-207
SUMMARY. — This text is trying to explain why the future of non standard analysis may be dependant of a general transformation of the attitudes and the goals of mathematicians. In that purpose, a reflexion is pursued about the comparative meanings of the finite and the infinite in pre-formalist mathematics, formalist mathematics, and more specifically in formalist non standard mathematics ; this is done under the presupposition that these meanings are better analysed in « ethical » terms. In the first section, we tell the recent story of non standard analysis and present the alternative ways of conceiving its destiny today. In the second section, we recall the traditional debate of infinitesimal calculus and establish the fact that the new insights brought by non standard analysis must not be connected with the question of the validity or practicability of leibnizian calculus, but with the more general and « philosophical » question of the meaning of the infinitesimal. In the third section we introduce our concepts of « ethic register » and of « light-sense » opposed to « use-sense », on the base of wich we describe the mutation between « naive » mathematics and formal ones. In the fourth section, we apply these concepts to the notions of the finite and the infinite, and pretend to characterize as formal senses or « use-senses » the non standard senses of the finite and the infinite. We conclude by a new examination of the possible future of the non standard method.
RÉSUMÉ. — Ce texte essaie d'expliquer pourquoi le futur de l'analyse non standard est peut-être dépendant d'une transformation générale des attitudes et des buts des mathématiciens. Dans ce but, une réflexion est poursuivie au sujet des sens comparatifs du fini et de l'infini en mathématiques préformelles, formelles, et plus spécifiquement en mathématiques formelles non standard ; tout ceci en adoptant l'hypothèse que ces sens sont mieux analysés en termes « éthiques ». Dans la première section, nous racontons l'histoire récente de l'analyse non standard et présentons les façons alternatives de concevoir son destin aujourd'hui. Dans la seconde section, nous rappelons le débat traditionnel accompagnant le calcul infinitésimal, et nous établissons le fait que les nouvelles perspectives apportées par l'analyse non standard ne doivent pas être rattachées à la question de la validité ou la praticabilité du calcul leibnizien, mais à la question plus générale et « philosophique » du sens de l'infinitésimal. Dans la troisième section, nous introduisons nos concepts de « registre éthique » et de « sens-lumière » opposé au « sens-emploi », sur la base desquels nous décrivons la mutation qui fait passer des mathématiques « naïves » aux mathématiques formelles. Dans la quatrième section, nous appliquons ces concepts aux notions du fini et de l'infini, et prétendons caractériser en tant que sens formels ou « sens-emploi » les sens non standard du fini et de l'infini. Nous concluons par un nouvel examen du possible futur de la méthode non standard.
51 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1988
• Nombre de lectures: 80
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

M JEAN MICHEL SALANSKIS
L'analyse non standard et la tradition de l'infini
In: Revue d'histoire des sciences. 1988, Tome 41 n°2. pp. 157-207.
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SALANSKIS JEAN MICHEL. L'analyse non standard et la tradition de l'infini. In: Revue d'histoire des sciences. 1988, Tome 41
n°2. pp. 157-207.
doi : 10.3406/rhs.1988.4095
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1988_num_41_2_4095Abstract
SUMMARY. — This text is trying to explain why the future of non standard analysis may be dependant
of a general transformation of the attitudes and the goals of mathematicians. In that purpose, a reflexion
is pursued about the comparative meanings of the finite and the infinite in pre-formalist mathematics,
formalist mathematics, and more specifically in formalist non standard mathematics ; this is done under
the presupposition that these meanings are better analysed in « ethical » terms. In the first section, we
tell the recent story of non standard analysis and present the alternative ways of conceiving its destiny
today. In the second section, we recall the traditional debate of infinitesimal calculus and establish the
fact that the new insights brought by non standard analysis must not be connected with the question of
the validity or practicability of leibnizian calculus, but with the more general and « philosophical »
question of the meaning of the infinitesimal. In the third section we introduce our concepts of « ethic
register » and of « light-sense » opposed to « use-sense », on the base of wich we describe the
mutation between « naive » mathematics and formal ones. In the fourth section, we apply these
concepts to the notions of the finite and the infinite, and pretend to characterize as formal senses or «
use-senses » the non standard senses of the finite and the infinite. We conclude by a new examination
of the possible future of the non standard method.
Résumé
RÉSUMÉ. — Ce texte essaie d'expliquer pourquoi le futur de l'analyse non standard est peut-être
dépendant d'une transformation générale des attitudes et des buts des mathématiciens. Dans ce but,
une réflexion est poursuivie au sujet des sens comparatifs du fini et de l'infini en mathématiques
préformelles, formelles, et plus spécifiquement en mathématiques formelles non standard ; tout ceci en
adoptant l'hypothèse que ces sens sont mieux analysés en termes « éthiques ». Dans la première
section, nous racontons l'histoire récente de l'analyse non standard et présentons les façons
alternatives de concevoir son destin aujourd'hui. Dans la seconde section, nous rappelons le débat
traditionnel accompagnant le calcul infinitésimal, et nous établissons le fait que les nouvelles
perspectives apportées par l'analyse non standard ne doivent pas être rattachées à la question de la
validité ou la praticabilité du calcul leibnizien, mais à la question plus générale et « philosophique » du
sens de l'infinitésimal. Dans la troisième section, nous introduisons nos concepts de « registre éthique »
et de « sens-lumière » opposé au « sens-emploi », sur la base desquels nous décrivons la mutation qui
fait passer des mathématiques « naïves » aux mathématiques formelles. Dans la quatrième section,
nous appliquons ces concepts aux notions du fini et de l'infini, et prétendons caractériser en tant que
sens formels ou « sens-emploi » les sens non standard du fini et de l'infini. Nous concluons par un
nouvel examen du possible futur de la méthode non standard.L'analyse non standard
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validité ou la praticabilité du calcul leibnizien, mais à la question plus générale
et « philosophique » du sens de l'infinitésimal. Dans la troisième section, nous
introduisons nos concepts de « registre éthique » et de « sens-lumière » opposé au
« sens-emploi », sur la base desquels nous décrivons la mutation qui fait passer
des mathématiques « naïves » aux mathématiques formelles. Dans la quatrième
section, nous appliquons ces concepts aux notions du fini et de l'infini, et pré
tendons caractériser en tant que sens formels ou « sens-emploi » les sens non
standard du fini et de l'infini. Nous concluons par un nouvel examen du possible
futur de la méthode non standard.
SUMMAR Y. — This text is trying to explain why the future of non standard
analysis may be dependant of a general transformation of the attitudes and the goals
of mathematicians. In that purpose, a reflexion is pursued about the comparative
meanings of the finite and the infinite in pre-formalist mathematics, formalist mathem
atics, and more specifically in formalist non standard mathematics ; this is done
under the presupposition that these meanings are better analysed in « ethical » terms.
In the first section, we tell the recent story of non standard analysis and present
the alternative ways of conceiving its destiny today. In the second section, we recall
the traditional debate of infinitesimal calculus and establish the fact that the new
insights brought by non standard analysis must not be connected with the question
of the validity or practicability of leibnizian calculus, but with the more general and
« philosophical » question of the meaning of the infinitesimal. In the third section we
introduce our concepts of « ethic register » and of « light-sense » opposed to « use-sense »,
on the base of wich we describe the mutation between « naive » mathematics and formal
Rev. Hist. Set, 1988, XLI/2 158 Jean-Michel Salanskis
ones. In the fourth section, we apply these concepts to the notions of the finite and
the infinite, and pretend to characterize as formal senses or « use-senses » the non
standard senses of the finite and the infinite. We conclude by a new examination of
the possible future of the non standard method.
L'analyse non standard est une composante fort récente du
discours logico-ma thématique, dont le nom même prête encore à
confusion, et dont la vocation reste aujourd'hui difficile à déter
miner, bien que des éclaircissements importants soient apportés
depuis quelques années. De toute évidence, la théorie invite, dans
le statut problématique et transitionnel qui est le sien à l'heure
actuelle, à une réflexion philosophique riche : nous nous proposons
de prendre ici notre part à cette dernière, dans une direction qui
correspond à thème personnel de recherche (la connexion
des matières formelles et du registre éthique). Mais, tout d'abord,
nous allons résumer la brève histoire de l'analyse non standard,
au moins dans ses grandes lignes et pour autant que notre article
y fait référence.
I - PRESENTATION HISTORIQUE DE L ANALYSE NON STANDARD
L'inventeur de l'analyse non standard est Abraham Robinson,
et sa première publication à ce sujet date de 1961 (г). Cependant,
la plus signifiante origine (*) qu'on puisse choisir pour la « pensée
du non-standard » est tout simplement la découverte par Skolem (8),
et Lôwenheim à sa suite, de la non-catégoricité de l'arithmétique
formelle et donc de la nécessité de présumer, du moins si l'on
adhère au discours ensembliste classique, des « modèles non stan
dard » de l'arithmétique : entendez par là des systèmes présentant
toutes les propriétés structurales des nombres entiers, mais com
portant d'autres individus que la suite inépuisable engendrée par
le procès naïf du comptage (0, 1, 2, . . .). Robinson, en effet, n'a
pas fait autre chose qu'exploiter positivement ce résult