La Géométrie

viwyag - René Descartes

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

61 pages

Français

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

A propos
Informations
Extrait

Description

La GéométrieRené DescartesTexte modernisé de l'édition de Leyde 1637Texte de la première édition d'après le livre :The geometry of rene descartes with facsimile of the first edition de DavidEugene Smith and Marcia L. Latham - 1925.Réédition Dover - New York, publication de 1954.Sommaire1 Avertissement2 LIVRE PREMIER.3 LIVRE SECOND.4 LIVRE TROISIÈME.5 TABLE DES MATIERESAvertissementJusqu'ici j'ai tâché de me rendre intelligible à tout le monde, mais pour ce traité jecrains, qu'il ne pourra être lu que par ceux, qui savent déjà ce qui est dans les livresde Géométrie. Car d'autant qu'ils contiennent plusieurs vérités fort biendémontrées, j'ai cru qu'il serait superflu de les répéter, et n'ai pas laissé pour celade m'en servir.Couverture.gifDiscours de la méthodePour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences,plus La Dioptrique,Les Météores,et La Géométrie, qui sont des essais de cette méthode.Page 297LIVRE PREMIER.Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles etdes lignes droites.Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'iln'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites pourles construire.Comment le calcul d'Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.Chapitrepremier.gifEt comme toute l'arithmétique n'est composée que de quatre ou cinq opérations,qui sont, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, et ...

Informations

Publié par	viwyag
Nombre de lectures	200
Langue	Français
Poids de l'ouvrage	7 Mo

Extrait

Couverture.gifDiscours de la méthodePour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences,plus La Dioptrique,Les Météores,et La Géométrie, qui sont des essais de cette méthode.LIVRE PREMIER.Page 297Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles etdes lignes droites.Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'iln'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites pourles construire.Comment le calcul d'Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.

Chapitrepremier.gifEt comme toute l'arithmétique n'est composée que de quatre ou cinq opérations,qui sont, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, et l'extraction desracines, qu'on peut prendre pour une espèce de division, ainsi n'a-t-on autre choseà faire en géométrie touchant les lignes qu'on cherche, pour les préparer à êtreconnues, que leur en ajouter d'autres, ou en ôter ; ou bien en ayant une, que jenommerai l'unité pour la rapporter d'autant mieux aux nombres, et qui peutordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouverune quatrième qui soit à l'une de ces deux comme l'autre est à l'unité, ce qui est lemême que la multiplication ; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l'une de cesdeux comme l'unité est à l'autre, ce qui est le même que la division ; ou enfin trouverune ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité et quelque autreligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique, etc. Et je necraindrai pas d'introduire ces termes d'arithmétique en la géométrie, afin de merendre plus intelligible.Page 298Comment se font géométriquement la multiplication, la division etl'extraction de la racine carréeLa Multiplication

Fig1 thales.gifSoit, par exemple, AB l'unité, et qu'il faille multiplier BD par BC, je n'ai qu'à joindreles points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cettemultiplication.La DivisionOu bien, s'il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je tire AC parallèleà DE, et BC est le produit de cette division.L'extraction de la racine carréeFig2 racinecarre.gifOu s'il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui estl'unité, et divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K je tire le cercleFIH, puis élevant du point G une ligne droite jusqu'à I à angles droits sur FH, c'est GIla racine cherchée. Je ne dis rien ici de la racine cubique, ni des autres, à causeque j'en parlerai plus commodément ci-après.Page 299Comment on peut user de chiffres en géométrieMais souvent on n'a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et il suffit deles désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme pour ajouter laligne BD à GH, je nomme l'une a et l'autre b, et écris a + b ; et a - b pour soustraireb de a ; et ab pour les multiplier l'une par l'autre ; et pour diviser a par b ; et aa oua2 pour multiplier a par soi-même ; et a3 pour le multiplier encore une fois par a, etainsi à l'infini ; et pour tirer la racine carrée de a2 + b2 ; et , pour tirer la racine cubique de a3 − b3 + ab2, et ainsi desautres.Où il est à remarquer que par a2, ou b3, ou semblables, je ne conçois ordinairementque des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités enl'algèbre je les nomme des carrés ou des cubes, etc.Il est aussi à remarquer que toutes les parties d'une même ligne se doiventordinairement exprimer par autant de dimensions l'une que l'autre, lorsque l'unitén'est point déterminée en la question, comme ici a3 en contient autant que ab2 oub3 dont se compose la ligne que j'ai nommée

;mais que ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée, à cause qu'elle peutêtre sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions : comme s'il fauttirer la racine cubique de a2b2 - b, il faut penser que la quantité a2b2 est divisée unefois par l'unité, et que l'autre quantité b est multipliée deux fois par la même.Page 300Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il en fauttoujours faire un registre séparé à mesure qu'on les pose ou qu'on les change,écrivant par exemple :AB1, c'est-à-dire AB égal à 1.GHa.BDb, etc.Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes.Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer commedéjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour leconstruire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis, sansconsidérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doitparcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus naturellement de tous en quellesorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu'à ce qu'on ait trouvémoyen d'exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme uneéquation ; car les termes de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre.Et on doit trouver autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui étaientinconnues.Page 301Ou bien, s'il ne s'en trouve pas tant, et que nonobstant on n'omette rien de ce qui estdésiré en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement déterminée. Etlors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes les inconnuesauxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s'il en reste encoreplusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent aussi, soiten la considérant toute seule, soit en la comparant avec les autres, pour expliquerchacune de ces lignes inconnues, et faire ainsi, en les démêlant, qu'il n'en demeurequ'une seule égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou lecube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à cequi se produit par l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités,dont l'une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennesproportionnelles entre l'unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc., multipliéespar d'autres connues.Ce que j'écris en cette sorte :z = b,ou z2=- az + b2, ou z3 = + az2 + b2z – c3,ou z3 = az3 - c3z + d4, etc. ;C'est-à-dire z, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à b; ou le carré dez est égal au carré de b moins a multiplié par z; ou le cube de z est égal à amultiplié par le carré de z plus le carré de b multiplié par z moins le cube de c ; etainsi des autres.Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsquele problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi pardes sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d'un oudeux degrés plus composée. Mais je ne m'arrête point à expliquer ceci plus endétail, à cause que je vous ôterais le plaisir de l'apprendre de vous-même, et l'utilitéde cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu'onpuisse tirer de cette science. Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceuxqui seront un peu versés en la géométrie commune et en l'algèbre, ait qui prendrontgarde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.Page 302

C'est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu'en démêlant ceséquations, on ne manque point à se servir de toutes les divisions qui serontpossibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la questionpuisse être réduite.Quels sont les problèmes plans.Et que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c'est-à-dire en ne seservant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsquela dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y restera tout au plus qu'uncarré inconnu, égal à ce qui se produit de l'addition ou soustraction de sa racinemultipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue.Comment ils se résolvent.Fig3 pb plans.gifEt lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément ; car si j'ai par exemplez2 = az + b2,je fais le triangle rectangle NLM, dont le côté LM est égal à b, racine carrée de laquantité connue b2, et l'autre LN est , la moitié de l'autre quantité connue qui étaitmultipliée par z, que je suppose être la ligne inconnue ; puis prolongeant MN, labase de ce triangle, jusqu’à 0, en sorte que NO soit égale à NL, la toute OM est z, laligne cherchée ; et elle s'exprime en cette sorte :.Que si j'ai y2 = - ay + b2, et que y soit la quantité qu'il faut trouver, je fais le mêmetriangle rectangle NLM, et de sa base MN j'ôte NP égale à NL, et le reste PM est y,la racine cherchée. De façon que j'aiEt tout de même si j'avaisx4 ax2 + b2.=-PM serait x2 et j’auraiset ainsi des autres..;

Fig4 pb plans.gifEnfin si j'aiz2 = az – b2,je fais NL égale à , et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre lespoints M N je tire MQR parallèle à LN. et du centre N par L ayant décrit un cercle quila coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce caselle s'exprime en deux façons, à savoiret,.Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ni netouche la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en l'Équation, de façon qu'on peutassurer que la construction du problème proposé est impossible.Page 304Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres moyens, etj'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu'on peutconstruire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose quele peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Ce que je necrois pas que les anciens aient remarqué ; car autrement ils n'eussent pas pris lapeine d'en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous faitconnaître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ilsont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.Exemple tiré de PappusEt on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commencementde son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps à dénombrer tout cequi avait été écrit en géométrie par ceux qui l'avaient précédé, il parle enfin d'unequestion qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avaient suentièrement résoudre ; et voici ses mots :

Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun l'entendeplus aisément.Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor lineas abEuclide per fectum non esse, neque ipse per ficere poterat, neque aliquis alius ;sed neque paululum quid addere üs, qux Euclides scripsit, per ea tantum conica,quœ usque ad Euelidis tempora praemonstrata sunt, etc.Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :At locus ad tres et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifies se jactat, etostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripserat, est hujusmodi. Si positionedatis tribus rectis lineis ab uno et eodem puncto, ad tres lineas in datis angulisrectœ linew ducantur, et data sit proportio rectanguli contenti duabus ductis adquadratum reliquX : punctum contingit positione datum solidum locum, hoc estunana ex tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datasin datis angulis linew ducantur; et rectanguli duabus dutctis contenti ad contentumduabus reliquis proportio data sit : similiter punctum datam coni sectionempositione continget. Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ostensus est.Quod si ad pluies quam quatuor, punctum continget lotos non adhuc cognitos,sed lineas tantum dictas ; quales auteur sint, vel quam habeant proprietatem, nonconstat : earum unam, neque primam, et qua manifestissima videtur,composuerunt ostendentes utilem esse. Propositiones auteur ipsarum hx sunt.Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur recta linexin datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi rectanguli, quod tribusductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum rectangulum, quodcontinetur reliquis duabus, et data quapiam linea, punctum positione datamlineam continget. Si auteur ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis contentiad solidum, quod tribus reliquis continetur; cursus punctum continget positionedatam lineam. Quod si ad pluies quam sex, non adhuc habent dicere, an data sitproportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur,quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus dimensionibus.Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisaient les anciensd'user des termes de l'arithmétique en la géométrie, qui ne pouvait procéder quede ce qu'ils ne voyaient pas assez clairement leur rapport, causait beaucoupd'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expliquaient ; car Pappus poursuiten cette sorte :Page 306Acquiescunt auteur his, qui paulo ante talia interpretati sunt ; neque unum aliquopacte comprehensibile signi ficantes quod his continetur. Licebit auteur perconjunctas proportiones hic, et dicere, et demonstrare universe in dictisproportionibus, atque his in hune modum. Si ab aliquo puncto ad positione datasrectas lineas ducantur recta linex in datas angulis, et data sit proportio conjuncta exea, quam habet una ductaruin ad unam, et altera ad alteram, et alla ad aliam, etrelique ad datam lineam, si sint septem; si vero octo, et reliqua ad reliquampunctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint impares velpares multitudine, cum hxc, ut dixi, loto ad quatuor lineas respondeant, nullum igiturposuerunt ita ut linea nota sit, etc.TRADUCTION DU TEXTE GREC DE PAPPUS, d'après l'édition de Fr. HultschPappi Alexandrini Collectionis quœ supersunt, vol. II, Berlin, Weidmann, 1877, pp.676-680). Nous donnons tout d'abord le passage, visé dans ce texte, du préambuledu livre I des Coniques d'Apollonius :« Le livre III contient nombre de théorèmes remarquables, qui sont utiles pour lasynthèse des lieux plans et la détermination des conditions de possibilité desproblèmes. La plupart de ces théorèmes et les plus beaux sont nouveaux ; leurdécouverte nous a fait reconnaître qu'Euclide n'a pas effectué la synthèse du lieu à3 et 4 lignes, mais seulement celle d'une partie de ce lieu prise au hasard, et qu'ilne s'en est même pas heureusement tiré ; c'est que, sans nos découvertes, il n'étaitpas possible de faire la synthèse complète. »

PAPPUS « Mais ce lieu à 3 et 4 lignes, dont Apollonius dit, à propos de son livre III,qu'Euclide ne l'a pas complètement traité, lui-même, pas plus qu'aucun autre,n'aurait pu l'achever, ni même rien ajouter à ce qu'Euclide en a écrit, du moins ens'en tenant exclusivement aux Éléments des Coniques déjà démontrés au temps»d'Euclide, etc. « - Voici quel est ce lieu à 3 et 4 lignes, à propos duquel Apollonius se décerne degrands éloges pour ses additions et dont il aurait dû savoir gré au premier qui en aécrit. Si, trois droites étant données par position, on mène d'un même point, sur cestrois droites, trois autres sous des angles donnés, et qu'on donne le rapport durectangle compris sous deux des menées au carré de la troisième, le point setrouvera sur un lieu solide donné en position, c'est-à-dire sur l'une des troisconiques. Si c'est sur quatre droites données par position que l'on mène desdroites sous des angles donnés, et qu'on donne le rapport du rectangle de deuxdes menées à celui des deux autres, le point se trouvera de même sur une section-conique donnée en position. D'autre part, si les droites sont seulement au nombrede deux, il est établi que le lieu est plan ; mais, s'il y a plus de quatre droites, le lieudu point n'est plus de ceux qui soient connus ; il est de ceux qu'on appellesimplement lignes (sans en savoir davantage sur leur nature ou leurs propriétés), eton n'a fait la synthèse d'aucune de ces lignes, ni montré qu'elle servît pour ces lieux ;pas même pour celle qui semblerait la première et la plus indiquée.Voici comment on propose ces lieux.Si d'un point on mène à cinq droites données par position d'autres droites sous desangles donnés, et qu'on donne le rapport entre le parallélépipède rectangle comprissous trois des menées et le parallélépipède rectangle compris sous les deux autreset sous une donnée, le point se trouvera sur une ligne donnée en position.Si les droites données sont au nombre de six, et que l'on donne le rapport du solidecompris sous trois des menées au solide compris sous les trois autres, le point setrouvera de même sur une ligne donnée en position.S'il y a plus de six droites, on ne peut plus dire que l'on donne le rapport entrequelque objet compris sous quatre droites et le même compris sous les autres, puisqu'il n'y a rien qui soit compris sous plus de trois dimensions. Cependant, peu detemps avant nous, on s'est accordé la liberté de parler ainsi, sans rien désignerpourtant qui soit aucunement intelligible, en disant le compris sous telles droites parrapport au carré de telle droite ou au compris sous telles autres. Il était cependantaisé, au moyen des rapports composés, d'énoncer et de prouver en général lespropositions précitées et celles qui suivent.Voici comment :Si d'un point on mène à des droites données par position d'autres droites sous desangles donnés et que l'on donne le rapport composé de celui de l'une des menéesà une autre, de celui des menées d'un second couple, de celui des menées d'untroisième, enfin de celui de la dernière à une donnée, s'il y a sept droites en tout, oubien de celui des deux dernières, s'il y en a huit, le point se trouvera sur une lignedonnée en position.On pourra dire de même, quel que soit le nombre des droites, pair ou impair. Mais,comme je l'ai dit, pour aucun de ces lieux qui suivent celui à 4 droites, il n'y a eu unesynthèse faite qui permette de connaître la ligne. »La question donc qui avait été commencée à résoudre par Euclide et poursuiviepar Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle : Ayant trois ouquatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par position; premièrementon demande un point duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites, une surchacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que lerectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même point, ait laproportion donnée avec le carré de la troisième, s'il n'y en a que trois ; ou bien avecle rectangle des deux autres, s'il y en a quatre ; ou bien, s'il y en a cinq, que leparallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipèdecomposé des deux qui restent, et d'une autre ligne donnée ; ou s'il y en a six, que leparallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipèdedes trois autres ; ou s'il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu'on en multipliequatre l'une par l'autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par lamultiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée ; ou s'il y en a huit,que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée avec le produit

des quatre autres ; et ainsi cette question peut s'étendre à tout autre nombre delignes. Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuventsatisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer laligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a quetrois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques ;mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquercelles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en unplus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avaientimaginé une qu'ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et quin'était pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par laméthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été.Page 307Réponse à la question de PappusEt premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en trois, ouquatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométriesimple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisantautre chose que ce qui a déjà été dit ; excepté seulement lorsqu'il y a cinq lignesdonnées, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, comme aussi lorsque laquestion est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver lespoints cherchés par la géométrie des solides, c'est-à-dire en y employantquelqu'une des trois sections coniques ; excepté seulement lorsqu'il y a neuf lignesdonnées, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10, 11,12 ou 13 lignes, on peut trouver les points cherchés par le moyen d'une ligne courbequi soit d'un degré plus composé que les sections coniques ; excepté en treize, sielles sont toutes parallèles : auquel cas, et en quatorze, 15, 16 et 17, il y faudraemployer une ligne courbe encore d'un degré plus composée que la précédente, etainsi à l'infini.Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes données, lespoints cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une des trois sectionsconiques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une lignedroite ; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit, tous ces points serencontrent en quelqu'une des lignes qui sont d'un degré plus composées que lessections coniques, et il est impossible d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cettequestion; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en une section conique, ouen un cercle, ou en une ligne droite. Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces pointsse rencontrent en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus composée que lesprécédentes ; mais toutes celles qui sont d'un degré plus composées y peuventservir, et ainsi à l'infini.Page 309Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, estcelle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite, en lafaçon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement satisfait 'àce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les anciens ; et je tâcheraid'en mettre la démonstration en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.Soient AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu'il failletrouver un point, comme C, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données,comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc.,soient donnés, et que ce qui est produit par la multiplication d'une partie de ceslignes soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, on bien qu'ilsaient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plusdifficile.

Page 310Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet exemplePremièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler de laconfusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une de cellesqu'il faut trouver, par exemple AB et CB, comme les principales et auxquelles jetâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment de la ligne AB, qui estentre les points A et B, soit nommé x; et que BC soit nommé y ; et que toutes lesautres lignes données soient prolongées jusqu’à ce qu'elles coupent ces deux aussiprolongées, s'il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vousvoyez ici qu'elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T.Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui estentre les côtés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de z à b, de façonque AB étant x, BR sera et la toute CR sera , à cause que le point Btombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR serait et si Ctombait entre B et R, CR serait . Tout de même les trois angles dutriangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre lescôtés CR et CD, que je pose comme de z à c, de façon que CR étant , CDsera . Après cela, pourceque les lignes AB, AD et EF sont données parposition, la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on lanomme k, on aura EB égal à k + x ; mais ce serait k - x si le point B tombait entre Eet A ; et - k + x si E tombait entre A et B. Et pourceque les angles du triangle ESBsont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose commede z à d, si bien que BS est et la toute CS est mais ceserait si le point S tombait entre B et C; et ce serait si C tombait entre B et S. De plus les trois angles du triangleFSC sont donnés, et ensuite la proportion de CS à CF, qui soit comme de z à e, etla toute CF sera .En même façon AG que je nomme 1 est donnée, et BG est l - x, et à cause dutriangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée, qui soit comme de z à f,et BT sera {fl – fx}/z et CT = {zy + fl – fx}/z. Puis derechef la proportion de CT à CHest donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g, on aura CH = .Page 312Et ainsi vous voyez qu'un tel nombre de lignes données par position qu'on puisseavoir, toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur