Luc Mieussens et Marie-H´el`ene VignalOption Informatique et Math´ematiquesPartie math´ematique2007-2008SUITES NUMERIQUESNous nous sommes tr`es largement inspir´es du polycopi´e de Jean-Pierre Dedieu et Jean-ClaudeYakoubsohn ´ecrit pour le L1 CIMP.11 D´efinition des suitesD´efinition 1 Une suite de nombres r´eels est une applicationU : IN →IR.On note traditionnellement U au lieu de U(n) l’image de n par U. De plus U est appel´e len nterme de rang n de la suite ou le terme g´en´eral de la suite.Notation 1 L’application est compl`etement d´etermin´ee par la donn´ee de tous lesU , ainsi onnnoteU = (U ) = (U ) = (U ) l’application donc la suite.n n n∈IN n n≥0On peut d´efinir une suite de diff´erentes mani`eres :- en donnant explicitement sa valeur en fonction de n,- `a l’aide d’une relation de r´ecurrence.Nous illustrons ceci par des exemples classiques :Exemple 1 Suite donn´ee en fonction de n :2U =n +4, pour tout n∈IN.n2On note (U ) = (n +4) .n n≥0 n≥0Exemple 2 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 1.– Suites arithm´etiques : (U =U +b, ∀n≥ 0n+1 nU ∈IR donn´e,0ou` b∈IR est donn´e et s’appelle la raison de la suite (U ) .n n≥0– Suites g´eom´etriques ( U =qU , ∀n≥ 0n+1 nU ∈IR donn´e,0ou` q∈IR est donn´e et s’appelle la raison de la suite (U ) .n n≥0Exemple 3 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2.(U =aU +bU , ∀n≥ 0n+2 n+1 nU ,U ∈IR donn´es,0 1ou` a,b∈IR sont donn´es.Exemple 4 Suites r´ecurrentes non lin´eaires d’ordre 1( U =f(U ), ∀n≥ 0n+1 nU ...
D´efinition1bromr´esitsuenedenUationenpalpcieeslseutU:IN→IR. On note traditionnellementUnau lieu deU(n)l’image denparU. De plusUnlteappel´ees terme de rangneng´meerelldra´e.etiusaalusedlutetioe
Notation 1rmte´einarepdolae´nntedelsuoseL’applicationestocpm`ltemenedte´Un, ainsi on noteU= (Un) = (Un)n∈IN= (Un)n≥0l’application donc la suite.
Onpeutd´efinirunesuitedediff´erentesmanie`res: en donnant explicitement sa valeur en fonction den, a`l’aided’unerelationder´ecurrence. Nous illustrons ceci par des exemples classiques :
Exemple 3´naeseil’drorisedreitSur´esurecntre2. ( Un+2=aUn+1+bUn, U0,U1∈IResn´ond,
o`ua, b∈IR´enns.sodont
∀n≥0
Exemple 4setice´ruSdreriaerdso’nonlin´eurrentes1 ( Un+1=f(Un),∀n≥0 U0∈IR,e´nnod
ou`f
:IR→IRest une application.
Remarque 1runU´eediefin’`quarapiuseepet’nturteˆng,c’est`adirepoitdru’cnreatniar ⋆ n≥n0>0u`on0∈INnndoste.´e On note ces suites(Un)n≥n0ou(Un)bigud’amaqpua’sillonr’sy.tie´ Exemples : 1 1 Un=,∀n≥1,Un=,∀n≥2, n n(n−1) 1 Un=,∀n≥3. n(n−1) (n−2)
2
2
Op´erationssurlessuites
D´efinition2Ois`dcnnouesxredeteui´esrleels(Un)n≥0et(Vn)n≥0. 1. On dit que(Un)n≥0et(Vn)n≥0sont identiques si pour toutn∈IN, on aUn=Vn. 2.Onde´finitlasommedessuites(Un)n≥0et(Vn)n≥0par la suite(Wn)n≥0do´ennpera
3
Wn=Un+Vn,
pour toutn≥0.
On note(Wn)n≥0= (Un+Vn)n≥0. 3.Onde´finitleproduitdessuites(Un)n≥0et(Vn)n≥0par la suite(Zn)n≥0rae´peodnn
Zn=UnVn,
pour toutn≥0.
On note(Zn)n≥0= (UnVn)n≥0. 4. SiVn6= 0pour toutn∈INe,ond´infieqeltitoudtne(Un)n≥0et(Vn)n≥0par la suite donne´epar Un . Vn n≥0 5. Siλ∈IRduroeptldeit,infie´dno(Un)n≥0parλ, par(λUn)n∈IN. 6.Lasuitenulleestnot´ee(0)n≥0.
Proprie´t´es
´ele´mentairesdessuites
Proprie´t´e1inaicombouteTedediaernie´oslnusxusetietserocnneeuitsuc’e,t`esdariqeeu pour tousλ,µdansIRiussetuolee´rsetsleetpourt(Un)et(Vn), on a(λUn+µVn)qui est encore une suite. Onditquel’ensembledessuitesre´ellesmunidel’additionetdelamultiplicationparunr´eel est un espace vectoriel.
D´efinition3ere`ocnOdisn(Un)n≥0nditle,oqueenusue´letire 1.(Un)n≥0est constante s’il existea∈IRtel que
Un=a,
∀n∈IN.
⋆ 2.(Un)n≥0est stationnaire s’il existea∈IRetN∈INtels que
Un=a,
∀n≥N.
On dit que(Un)n≥0rtir`apaanteonstctsegnudarN. 3.(Un)n≥0eer´ils’stejomasixeetM∈IRtel que
Un≤M,
4.(Un)n≥0etsixelion´ree’setsimm∈IRtel que
Un≥m,
∀n≥0.
∀n≥0.
5.(Un)n≥0etsie´seobnr(Un)n≥0msiorojaeee´nimt´eore.alafest` 6.(Un)n≥0est croissante si Un≤ Un+1,∀n≥0. 7.(Un)n≥0sedte´rciossantesi Un≥ Un+1,∀n≥0.
De´finition4onncd`sieerOk:IN→INueida`tse’qelletercroimentte,cssancietsrt n7→k(n) pour toutmetndansINon aitn < m⇒k(n)< k(m). On notekn=k(n)et on appelle soussuite de(Un)eparelfinited´asui(Ukn)n∈IN.
Dans les Exemples 5, on akn= 2net donc+ 1 k:IN→INest bien strictement n7→2n+ 1 croissante etkn= 3net donck:IN→IN.esmelage´tcirtstnecrntmeteteanssoi n7→3n
4
Principeoud´emonstrationparr´ecurrence
Onconside`reuneproprie´t´equid´ependd’unentiern∈INtel quen≥n0avecn0∈INond.e´n On suppose de plus que pour toutn≥n0oinr´et´´rtp,peoteeteec,P(n), a un sens.
n Exemple 6P1(n) = (n <2 ),P2(n) = (Un≤3)uo`Unodnne´,steP3(n) = (n+ 2≤n).
Ilestimportantdenoterqu’a`cestaderiennepermetdediresiP(n) est vraie ou fausse.
The´ore`me2Soitn0∈INetP(n)eirdtu’entn´ependanri´et´edporpenun∈INet qui a un sens pour tout entierntel quen≥n0.
Remarque 3Lyp’hit´ee´h’de´r`htodese(P(n)est vraie⇒P(n+ 1)est vraie)ne veut pas dire queP(n)est vraie, cela veut juste dire que siP(n)est vraie alorsP(n+ 1)est vraie. Parexemple,onpeutconside´rerlapropri´ete´(ilpleut⇒il y a des nuages). Ceci ne veut pas direqu’ilpleuveaumomentou`onditcela. Unautreexempleplusmathe´matiqueestceluidonne´parP3dans les exemples 6. Il est clair que lapropri´et´eestfaussepourtoutn∈INese`htpoyh’ler,parcont2.isffete.enErviasteet´di´eerh´d’ n+2≤nalors en ajoutant1e,onobtientdareptdteut’aederni’lage´´til(n+1)+2≤n+1. C’est biensuˆrl’hypoth`esed’initialisationquin’estpasv´erifi´ee.Cecimontred’ailleursl’importance dev´erifierTOUTESleshypothe`sesdelar´ecurrence.