Modélisation directe par différences finies du fonctionnement d’une sonde TDR - Etude de la sensibilité

Tabbagh

Description

Modélisation directe par différences finies du fonctionnement d’une sonde TDR - Etude de la sensibilité spatiale tridimensionnelle - Fayçal REJIBA, Philippe COSENZA, Christian CAMERLYNCK, Alain TABBAGH UMR 7619 Sisyphe, Université Pierre et Marie Curie, case 105, 4 place. Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France Abstract A three-dimensional (3D) transient electromagnetic modeling based on a full-wave formulation (Maxwell’s equations) has been undertaken in order to study the impact of heterogeneities located near a Time Domain Reflectometry (TDR) probe. We focused on 3D eneities located around the ends of rods: (a) interface perpendicular to the probe plane located below the end of rods and (b) 3D (cubic and parallelepipedic) heterogeneities whose characteristic lengths are similar to that of the probe. Whatever the rod separation and whatever the dielectric constant contrasts, an interface located just beneath the end of the rod does not affect significantly a simulated TDR signal when the interface is farther than one-rod diameter. However, all the simulations carried out with cubic and parallelepipedic heterogeneities located along TDR rods have shown that a significant longitudinal sensitivity exists. Introduction L’évaluation de la teneur en eau en proche surface dans les milieux non saturés est actuellement un objectif majeur pour la caractérisation des sols et la compréhension des mécanismes dynamiques liés au transfert ...

Informations

• Publié par: Nesheg
• Nombre de lectures: 53
• Langue: Français

Extrait

Modélisation directe par différences finies du fonctionnement

d’une sonde TDR - Etude de la sensibilité spatiale

tridimensionnelle -

Fayçal REJIBA, Philippe COSENZA, Christian CAMERLYNCK, Alain TABBAGH

UMR 7619 Sisyphe, Université Pierre et Marie Curie, case 105, 4 place. Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

Abstract

A three-dimensional (3D) transient electromagnetic modeling based on a full-wave

formulation (Maxwell’s equations) has been undertaken in order to study the impact of

heterogeneities located near a Time Domain Reflectometry (TDR) probe. We focused on 3D

heterogeneities located around the ends of rods: (a) interface perpendicular to the probe plane

located below the end of rods and (b) 3D (cubic and parallelepipedic) heterogeneities whose

characteristic lengths are similar to that of the probe. Whatever the rod separation and

whatever the dielectric constant contrasts, an interface located just beneath the end of the rod

does not affect significantly a simulated TDR signal when the interface is farther than one-rod

diameter. However, all the simulations carried out with cubic and parallelepipedic

heterogeneities located along TDR rods have shown that a significant longitudinal sensitivity

exists.

Introduction

L’évaluation de la teneur en eau en proche surface dans les milieux non saturés est

actuellement un objectif majeur pour la caractérisation des sols et la compréhension des

mécanismes dynamiques liés au transfert hydrique. Actuellement les sondes TDR (Time

Domain Reflectometry) sont les outils non destructifs les plus performants pour estimer de

manière indirecte le contenu local en eau. Le principe consiste à planter des tiges métalliques

solidaires (en générale deux, voire trois), le long desquelles une impulsion électromagnétique

est émise, et à analyser le temps d’aller / retour de l’impulsion en bout de tiges. Ce temps de

parcours obtenu par pointé, est proportionnel à la racine carré de la permittivité relative du

milieu environnant. La loi de Topp est alors communément utilisée pour relier la permittivité

à la teneur en eau.

L’exploitation des résultats d’une mesure TDR se heurte à deux problèmes majeurs :

Comment quantifier l’impact du niveau d’encombrement du milieu, en contradiction directe

avec l’hypothèse d’homogénéité généralement admise lors d’une mesure par sondes TDR ?

Comment ces perturbations locales se traduisent elles au niveau du pointé de l’impulsion ?

Afin d’apporter des éléments de réponse, la modélisation du dispositif est

indispensable. Jusqu’à présent la sensibilité et le volume d’influence des sondes TDR ont fait

1

l’objet d’études expérimentales (e.g. Baker et Lascano, 1989), qui ont mis en exergue une

sensibilité effective des mesures à l’écartement entre les tiges et aux diamètres de ces

dernières pour des milieux homogènes aux caractéristiques extrêmes (air et eau).

Par ailleurs, les modélisations ont été effectuées pour des modèles géométriques 2D

dans le cadre d’une approche analytique de type électrostatique (Knight, 1991) ou plus

récemment en éléments finis par résolution de l’équation de propagation de Helmoltz pour le

champ électrique (Chambarel et Ferry, 2000). Les résultats issus de ces simulations

confirment l’impact d’hétérogénéités voisines des tiges et surtout de leurs extrémités.

Cependant, aucune étude systématique quant leur distribution et contraste vis-à-vis du milieu

n’a été menée.

Modélisation par différences finies 3D

La spécificité tridimensionnelle du phénomène en terme de propagation et de

géométrie, ainsi que le caractère impulsionnel donc transitoire de la source, nous a amené à

résoudre les équations de Maxwell par un schéma centré aux différences finies (Rejiba et al.,

2003) en trois dimensions dans le domaine temporel afin d’évaluer l’impact d’abord d’un

demi-espace aux extrémités des tiges, puis d’hétérogénéités 3D à distance voisine des sondes

et de dimensions caractéristiques proches de celles-ci.

Le maillage spatial est homogène et décalé (afin de tenir compte du couplage entre le

champ électrique et magnétique) suivant la modèle de Yee (Yee, 1966) avec un pas spatial

isotrope de 1 millimètre afin d’obtenir une résolution optimale et une taille de domaine de

calcul raisonnable. De plus des conditions absorbantes de type PML (Perfect Matched Layer)

ont été implémentées afin d’éviter les réflexions aux bords du domaine de calcul.

Les tiges de longueurs 20 cm ont une section carré de 36 mm² et sont distantes de 24 mm, soit

des caractéristiques proches de modèles existants dans le commerce. La modélisation de

l’impulsion se fait directement en champ électrique, grâce à une rampe en temps de

200 picosecondes. Cette manière de procéder évite d’avoir à considérer le parcours précédent

la création du champ électrique en tête de tige.

Lors des simulations, l’instant de référence est pris par la réflexion sur l’interface air-

sol et le temps de double parcours pour le pointé est pris par rapport aux réflexions

successives sur les anomalies ou sur les extrémités des tiges. L’absence d’atténuation due à la

conduction électrique du milieu implique une décroissance de l’amplitude uniquement due à

la divergence sphérique inhérente aux équations de propagation. Pour cette raison, les

amplitudes sont toutes normalisées.

Validation numérique et résultats de simulation

La validation du code de calcul consiste à retrouver par le pointé des réflexions les

permittivités diélectriques définies dans le modèle. On constate pour les trois exemples

présentés que l’erreur maximum pour le même type de pointé est de 2.4 % dans le cas d’un

sol sec (K=4.9 pour K

théorique

=5).

Par ailleurs, le suivi simulé d’un front humide par TDR, est aussi cohérent par rapport

à l’expérience et permet de distinguer la réflexion due au front et aux bouts des tiges.

La stratégie d’évaluation de l’impact d’une anomalie (interface, cube ou parallélépipède) en

bout de tiges sur le pointé, est basée sur le calcul d’un coefficient HE (Heterogeneity Effect)

donc l’expression est la suivante :

100

)

(

)

(

)

(

(%)

x

anomalie

sans

K

anomalie

sans

K

anomalie

avec

K

HE

s

s

s

−

=

dans lequel K

s

est la permittivité déduite du pointé.

2

1 - Cas d’une interface

Dans le cas d’une interface séparant deux milieux de permittivité K

s

=5

(respectivement 25) et d’une interface où K

s

=25

on constate une signature distincte grâce à un

changement de phase. De plus « l’erreur », sur le pointé, reste significative pour une distance

de l’interface de l’ordre du diamètre des tiges (quoique toujours inférieure à 5%) (fig. 1).

-5

0

5

0

5

10

15

K

s

=25

K

h

=5

K

s

=25

K

h

=15

K

s

=5

K

h

=25

K

s

=5

K

h

=15

K

s

=15

K

h

=25

K

s

=15

K

h

=5

HE (%)

Distance à partir du bout des

tiges z (mm)

z

K

s

K

h

-15

-10

-5

0

5

10

-8

-4

0

4

8

x=0; y=0

x=5; y=0

x=12; y=5

x=0;

y=5

x=19; y=0

Coordonnée du

centre z (mm)

HE (%)

y

x

Rods

Figure 1 : Cas d’une interface. Permittivité du milieu

dans lequel est située la sonde TDR : K

s

. Permittivité

sous l’interface : K

h

Figure 2 : Cas de petits cubes (d’arêtes égales au

diamètre des tiges). La permittivité diélectrique relative

du milieu est 5 et celle de l’anomalie est 25

2 - Cas de petits cubes (d’arêtes égales au diamètre des tiges)

La présence d’anomalies cubiques d’arêtes égales au diamètre des tiges a une

influence distincte suivant :

-

leur disposition dans le plan ou non des tiges

-

leur distance par rapport aux tiges

-

leur présence entre ou en dehors des tiges

-

le contraste de permittivité avec l’encaissant

On constate que la dispersion du paramètre HE, et a fortiori le nombre de changement

de phase de la réflexion, sont un peu plus importants dans le cas d’anomalies de permittivité

plus faible que celle de l’encaissant (fig 2) Cependant dans tous les cas, la présence

d’anomalies entre les tiges et au-dessus des extrémités induit des erreurs plus élevées sur

l’estimation de la permittivité relative, et ce jusqu’à une sous estimation de plus de 10%.

3 - Cas de parallélépipèdes (de longueur égale à la distance entre les tiges et de même section)

Le cas considéré ici est un encaissant de permittivité K

s

=5 et une anomalie de

permittivité K

s

=25. Le calcul de HE pour différentes orientations (les 3 axes principaux) et

différentes positions suivant Z montre que la sensibilité est maximum pour des anomalies

orientées parallèlement à Z (jusqu’à 17% de sous estimation pour la position du centre la plus

proche de la surface air-sol)

Par ailleurs, l’orientation suivant Y permet de retrouver les ordres de grandeur de ceux

évalués en 2D (bien plus élevé que pour l’anomalie cubique)

3

-15

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

x=0; y=0

x=5; y=0

x=12; y=5

x=0; y=5

x=19; y=0

HE

(%)

Coordonnée du centre z (mm)

y

x

Rods

-20

-15

-10

-5

0

5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x-parallel

y-parallel

z-parallel

y = -10.772 + 1.057x R= 0.99545

y = -5.0972 + 1.0031x R= 0.98368

HE (%)

Coordonnée suivant z du

centre du parallélépipède (mm)

Figure 3 : Cas de petits cubes (d’arêtes égales au

diamètre des tiges). La permittivité diélectrique relative

du milieu est 25 et celle de l’anomalie est 5

Figure 4 : Cas de parallélépipèdes (de longueur égale à

la distance entre les tiges et de même section)

.

Le cas

considéré ici est un encaissant où K

s

=5 et l’anomalie où

K

s

=25

Conclusion

Cette étude permet de montrer l’impact sur la sensibilité, de la troisième dimension

vis-à-vis de la propagation d’ondes électromagnétiques et des distributions géométriques

anisotropes. Pour ce faire, les simulations sont effectuées à l’aide d’un code de modélisation

3D par différences finies dans le domaine temporel associé à des conditions absorbantes de

type SUPML.

On a ainsi montré qu’en plus de l’impact du contraste de permittivité, l’orientation de

celle-ci est très importante d’un point de vue quantitatif : c’est elle qui défini la surface qui

intercepte le front d’onde incident et modifie considérablement dans certains cas la forme de

la première arrivée suffisamment énergétique, utilisée pour le pointé.

Bibliographie

Baker J.M., and Lascano R.J. (1989), The spatial sensitivity of the time-domain reflectometry,

Soil Sci.

, 147, 378-384.

Chambarel A., and Ferry E. (2000), Finite element formulation for Maxwell’s equations with

space dependent electric properties, Application to time domain reflectometry probe,

Revue Européenne des Eléments Finis

, 9, 941-967.

Knight J.H. (1991), Sensitivity of Time Domain Reflectometry Measurements to lateral

variations in soil water content,

Water Resour. Res.

, 28, 2345-2352.

Rejiba F., Camerlynck C., and Mechler P. (2003), FDTD-SUPML ADE simulation for

Ground Penetrating Radar,

Radio Sci.

, 38(1), 1005, doi:10.1029/2001RS02595.

Rejiba F., Cosenza P., Camerlynck C. and Tabbagh A. (2005), Three-dimensional transient

electromagnetic modeling for investigating the spatial sensitivity of Time Domain

Reflectometry measurements,

Water Resour. Res.

, soumis.

Yee K.S. (1966), Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s

equation in isotropic media,

IEEE Transactions on Antennas and Propagation

, 14,

302-320.

4