Polycopié du Cours première année

Nicolas Savy

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Extrait

Probabilit´espremi`ereanne´e ———————–

Cours Magistral ———————– Version du 20 mars 2008

Universit´ePaulSabatier-Toulouse3 IUT de Toulouse 3 A De´partementGEARangueil

Nicolas SAVY [e-mail] Bureau 107

Tabledesmati`eres

1D´efinitionsdebase-De´nombrements5 1.1Op´erationsensemblistes..................................5 1.1.1G´en´eralites.....................................5 ´ 1.1.2R´euniond’ensembles................................5 1.1.3 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4Comple´mentaired’unensemble..........................6 1.1.5 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.6Ope´rationsensemblistesetOpe´rationslogiques.................6 1.2 Ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1De´finitions.....................................7 1.2.2Cardinald’uner´eunion..............................7 1.2.3Cardinald’unproduitcarte´sien..........................7 1.3De´nombrements.......................................7 1.3.1 Nombre de partie d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 La notion de p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4 Les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5FormuledubinˆomedeNewton..........................11 2Probabilit´espourunUniversDiscret13 2.1Ensembles,Univers,e´v´enements.............................13 ´ 2.2Probabilit´esd’e´ve´nements–Equiprobabilit´e.......................14 2.2.1Probabilit´es.....................................14 2.2.2Equiprobabilit´es..................................15 2.3Inde´pendance........................................17 2.4Probabilit´esconditionnelles................................18 3Variableale´atoirediscre`te23 3.1Variableale´atoire......................................23 3.1.1De´finitiong´en´erale.................................23 3.1.2Variablesale´atoiresdiscre`tes...........................23 3.1.3 Variables aleatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ´ 3.2Loid’unevariableale´atoirediscre`te............................24 3.2.1D´efinition......................................24

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` TABLE DES MATIERES

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3.2.2Fonctionder´epartition..............................25 3.3Param`etresd’uneloi....................................26 3.3.1E´rancemathe´matique.............................26 spe 3.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.3Propri´et´esdel’espe´ranceetdelavariance....................28 3.4Coupledevariablesal´eatoiresdiscretes..........................28 3.4.1De´finition......................................28 3.4.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.4Ind´ependance....................................30 3.4.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5Loisdiscr`etesusuelles...................................31 3.5.1 Loi uniforme sur{1, . . . , n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31. . . . . . . . . 3.5.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.3 Loi binomialeB(n, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33) . 3.5.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4UneVariableale´atoirecontinue,laloinormale37 4.1Loid’unevariableal´eatoirecontinue...........................37 4.1.1D´efinitions.....................................37 4.1.2Probl´ematiquedelanotiondeloidanslecascontinu..............37 4.1.3Fonctiondere´partitionetloia`densite´......................37 4.2 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1Loinormalecentre´ere´duiteN(0,1) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  39 4.2.2Loinormalege´ne´raleN(µ, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 La Loi normale comme limite en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Introduction

Tandisquelastatistiquepeuteˆtreassimil´ee`auneanalyse,parfoistre`spr´ecise,dedonne´eset estbas´eesurdesvaleursconnues,lebutdelath´eoriedesprobabilit´esestdepr´edireaumieuxles issuese´ventuellesd’expe´riencesfutures,ensebasantenge´ne´ralsurlesre´sultatsd’e´tudesstatis- tiques.Contrairementa`laplupartdesautresbranchesdesmath´ematiques,ellereposefortement sur la notion d’incertitudela´’teduasrce´`eainsiconetest`eremanienu’D.seriotae´lsane`eomenh´eped g´en´erale,lorsquel’onveutre´aliserdespr´edictions,les´eve´nementscertainsouimpossiblessont descasextrˆemesetenfaitrelativementrares.Lesprobabilite´spermettentd’´evaluerlesdegre´sde previsiond’evenementspossiblesmaisnoncertains,etintroduisentunenotioninterm´ediaireentre ´ ´ ´ ”suˆr”et”impossible”.Ellespermettentl’e´tablissementde-semederui’lerecnesobt`erifsdjectcir titudertonedsecnalliaf´esdlentuaalssreonuitieintqcouiuindparadoxesc´el`ebestnapfrio`sdase cart´esiennedanscedomaine.Unautreavantagedecettethe´orieestqu’elleoffreuncadrenaturel d’analysepourdessyst`emestropcomplexespourquel’onpuisseensaisirtouslese´le´ments(grandes populations,syste`mesdeparticules,ordinateurs,comportementscollectifs,marche´sboursiersetc.). Ainsi,laconnaissance,mˆemeparfaite,d’une´chantillondepopulationnepeutconduireaunecer-` titudetotale,maisseulement`auneincertitudequipeutˆetreestime´eetquantifi´eeentermede probabilite´s.

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