Polynôme d'endomorphisme : formule de Rodrigues

Alaeddine Ben Rhouma

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• Publié par: ALEDINE.BENRHOUMA
• Publié le: 06 mai 2015
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Extrait

Agrégation interne de Mathématiques

Problème n˚2

Académie de Guyane

   
0−θcosθ−sinθ
1.Soitθ∈R. Montrer l’égalité : exp=
θ0 sinθcosθ
A B
2. a)Montrer que siAetBsont deux matrices semblables alorseetele sont aussi.
∗Atr(A)
b)Soitn∈NetA∈ Mn(C). Montrer quedet(e ) = e
c)SoitM∈ Mn(R). Montrer que siMest l’exponentielle d’une matrice réelle, alorsdet(M)>0.
 
−1 1
Montrer que la réciproque est fausse (indication : montrer que la matriceM=n’est pas un
0−1
carré)

3. a)SoitEun espace euclidien de dimension 2 ,u∈ O(E)etB= (e1, e2)une base orthonormée directe
deE. Montrer les deux propriétés suivantes :
 
cosθ−sinθ
(i) siu∈ SO(E)alors matB(u) = =Rθpour unθ∈R/2πZ.
sinθcosθ
 
cosθsinθ
−
(ii) siu∈ O(E)alors matB(u=) = Sθ
sinθ−cosθ
b)SoitEunRespace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E). Montrer queuadmet soit une droite stable,
soit un plan stable.
c)Soituun automorphisme orthogonal d’un espace euclidien de dimensionn≥1. Montrer qu’il existe une
base orthonorméeBtelle que :
 
Ip0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙0
0−Iq0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ 0
.0Rθ0.
1
matB(u) =
. . .
. . .
... . .

. .
. .
.. .0
0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ 0R
θs
 
cosθi−sinθi
avecp+q+ 2s=n, et pour touti∈J1, sK,Rθi=,θi∈Retθi6= 0 (mod π).
sinθicosθi

∗
3. a)Soitn∈N. Montrer queP∈ Mn(R)est une matrice orthogonale directe si et seulement s’il existe
A
une matrice antisymétriqueA∈ Mn(R)telle queP= e.
b)En déduire queSOnest connexe par arcs.

3
4.Soitv= (ca, b, )un vecteur non nul de l’espace euclidienR.
a)Montrer que l’exponentielle de la matrice antisymétrique
 
0−c b
 
vb=c0−a
−b a0
v
est la matrice de rotation d’axee=, d’angleθ=||v||, où|| ∙ ||désigne la norme euclidienne (indication :
||v||
remarquer quevbest la matrice de l’endomorphismeX7→v∧X,où∧désigne le produit vectoriel).
b)Montrer alors :
sinθ1−cosθ
bv2
e =I3+vb+vb.(formule de Rodrigues)
2
θ θ

Alaeddine BEN RHOUMA

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Algèbre