Pourcentage - Cours 1

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THEME : POURCENTAGE - 1 Introduction : Considérons l’exemple suivant : Dans un collège de 200 élèves, il y a 120 filles. Dans un autre collège, il y a 275 filles sur les 500 élèves. Il est vrai que, dans le second collège, il y a plus de filles que dans le premier, mais la proportion de filles dans ce second collège est-elle supérieure à la proportion de filles dans le premier collège ? Comme le nombre total d’élèves dans ces établissements est différent ( 200 et 500 ), il est difficile de savoir dans quel collège cette proportion est la plus grande. Dans le premier collège, il y a 120 filles sur 200 élèves. Si ce collège avait 100 élèves ( la moitié de 200 ), le nombre de filles serait 60 ( la moitié de 120 ). Nous dirons que le pourcentage de filles dans ce premier établissement est de 60% ( 60 pour cent ) Dans le second collège, il y a 275 filles sur 500 élèves. Si le second collège avait 100 élèves ( le cinquième de 500 , c’est à dire 500 : 5 ), le nombre de filles serait 55 (le cinquième de 275 , c’est à dire 275 : 5 ). Nous dirons donc que le pourcentage de filles dans ce second établissement est de 55% ( 55 pour cent ) Il y a donc une proportion de filles moins importante dans le second collège que dans le premier. Nous constatons que cette comparaison a été simplifiée en ramenant le nombre d’élèves dans les deux cas à 100. Un pourcentage est une forme particulière de rapport, c’est à dire de comparaison ...

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HEME

 POURCENTAGE - 1

Introduction : Considérons l’exemple suivant : Dans un collège de 200 élèves, il y a 120 filles. Dans un autre collège, il y a 275 filles sur les 500 élèves. Il est vrai que, dans le second collège, il y a plus de filles que dans le premier, mais la proportion de filles dans ce second collège est-elle supérieure à la proportion de filles dans le premier collège ? Comme le nombre total d’élèves dans ces établissements est différent ( 200 et 500 ), il est difficile de savoir dans quel collège cette proportion est la plus grande. Dans le premier collège, il y a 120 filles sur 200 élèves. Si ce collège avait 100 élèves ( la moitié de 200 ), le nombre de filles serait 60 ( la moitié de 120 ). Nous dirons que le pourcentage de filles dans ce premier établissement est de 60% ( 60 pour cent ) Dans le second collège, il y a 275 filles sur 500 élèves. Si le second collège avait 100 élèves ( le cinquième de 500 , c’est à dire 500 : 5 ), le nombre de filles serait 55 (le cinquième de 275 , c’est à dire 275 : 5 ). Nous dirons donc que le pourcentage de filles dans ce second établissement est de 55% ( 55 pour cent ) Il y a donc une proportion de filles moins importante dans le second collège que dans le premier. Nous constatons que cette comparaison a été simplifiée en ramenant le nombre d’élèves dans les deux  cas à 100.

Un pourcentage est une forme particulière de rapport, c’est à dire de comparaison ; il s'agit de comparer une

Dans notre exemple, le premier collège comporte 60% de filles. Cela ne signifie pas que, dans ce collège, il y a 60 filles. Ce pourcentage précise que, si le collège comptait 100 élèves, le nombre de filles serait 60.

Autre exemple : Si, dans un groupe de personnes, il y a 42 filles sur 84. Quel est le pourcentage de filles dans ce groupe ?

Pas facile de « passer » de 84 à 100 ! En fait, je constate qu’il y a la moitié de filles car 84 = 42 x 2 . Mais je ne connais pas le pourcentage.

Bien raisonné. Il y a la moitié de filles. Donc si le nombre total d’élèves était 100, il y aurait la moitié ( même proportion ) de filles, soit 50. Le pourcentage est donc de 50%. Nous reviendrons sur ce calcul .

Savoir calculer un pourcentage : Considérons l’exemple suivant : 28 % des élèves du collège sont externes. Sachant que le nombre total des élèves du collège est 550, quel est le nombre d’externes ? Méthode 1 : Avec les tableaux de proportionnalité

Nombre d’élèves ( au total )

1

1 e nombre des externes représente 28% du tota es élèves. onc si le nombre total des élèves était de 100, e nombre des extern 2 es serait 28. Inscrivons ces deux nombres dans le tableau. nombre d’élèves de l’établissementE e e nscrivons donc ce nombre dans la première ligne et x dans la seconde, x représentant le nombre d’externes ( inconnu pour l’instant ). En effectuant un produit « en croix » , nous obtenons : 100 . x = 28 . 550 ( Afin d’éviter toute confusion, le symbole de multiplication est noté sous forme d’un point ) 28 . 550 15400 Doncx111154 100 100  Le nombre d’externes est 154. Méthode 2 : Sans tableau de proportionnalité

L’écriture 28% est un écriture « journalistique » 28 qui permettait d’écrire en ligne la fraction 100

Le nombre d’externes représente 28% des 550 élèves. 28 Il suffit donc de calculer de 550. 100 Propriété : ( Cf. Cours sur les fractions ) Pour déterminer une fraction d’un nombre, il suffit de multiplier cette fraction par ce nombre . 28 Par conséquent, le nombre des externes est égal à. 550 100 Nous avons donc : 28 28 550 28 . 550 15400  . 5501 .111154 100 100 1 100 . 1 100  Le nombre d’externes est 154

Facile ! Donc pour trouver ce que représente un certain pourcentage d’un nombre, il suffit d’écrire le pourcentage sous forme d’une fraction ayant 100 comme dénominateur, puis de multiplier par le nombre.

Ou Il suffit de multiplier le « pourcentage » (ici 28 ) par le nombre ( ici 550 ) puis de diviser par 100.

Il existe encore un moyen plus simple. Un pourcentage est une écriture particulière d’un 28 nombre. 28% représente en fait le nombre qui 100 peut s’écrire simplement sous forme décimale : 28 10,28 100

Méthode 3 : En 28 Déterminer 28% de 550 , c’est calculer de 550. 100 28 Pour faciliter les calculs, il suffit de remplacer par son écriture décimale 0,28 et d’effectuer 100 l’opération :  0,28 . 550 ( le symbole de multiplication est toujours noté sous forme d’un point ) Ce qui donne 154  Le nombre d’externes est 154

Par exemple , pour calculer 45 % d’un nombre , il suffit de multiplier ce nombre par 0,45 45 ( car10,45 ) . Pour calculer 5 % d’un nombre , il 100 5 suffit de le multiplier par 0,05 car ( 10,05 ) . 100 Pour calculer 18,6 % d’un nombre ,il suffit de le 18,6 multiplier par 0,186 car ( 10,186 ) 100

Un Dans un , . Le service ( pourcentage de la note réservé au personnel ) est non compris et s’élève à 15 %. Quel est le montant du service ?

Facile ! 15 % , c’est le nombre 0,15 ( je divise 15 par 100 ) Pour « trouver » 15 % de 20€, il suffit de multiplier 0,15 par 20 0,15 x 20 = 3 Le service est de 3€ Savoir util ser un pourcen age : Exemple 1 : Le prix d’un article est 55€. Quel est le nouveau prix de ce même article après une augmentation de 15% ? Calcul de l’augmentation : L’augmentation correspond à 15 % de 55 € . Nous avons donc : 0,15 x 55 soit 8,25 € Calcul du nouveau prix après augmentation : 55 + 8,25 = 63,25  Le nouveau prix est de 63,25 €

Il existe un autre moyen un peu plus rapide pour arriver à ce prix final .

L’ancien prix représente 100% de l’ancien prix !!! Si l’ancien prix avait augmenté de 100 % , il aurait augmenté de 55€ . Mais l’augmentation n’est que de 15%. Le nouveau prix est donc représenté par le schéma suivant :

Donc le nouveau prix représente 115 % de l’ancien prix.

Donc pour calculer directement le nouveau prix, il suffit de chercher la valeur de 115 % de 55€. 115 Comme11,15 , nous devons multiplier 55 par 100 1,15. Nous avons :  1,15 x 55 = 63,25 Le nouveau prix est donc de 63,25€.

4 % 12 % 19,6 %

Pour trouver ce coefficient multiplicatif , il suffit d’ajouter le pourcentage d’augmentation à 100. Par exemple, si l’augmentation est de 20 % , il suffit pour trouver le nouveau nombre de multiplier par 1,20 ( 100 % + 20% = 120% ). Si l’augmentation est de 5% , il suffit de multiplier par 1,05 ( 100 % + 5% = 105% ).

Et si l’augmentation est de 100%, que devient le nouveau prix. Il double. Nous retrouvons ce résultat avec le coefficient multiplicatif : 100% ( ancien prix ) + 100% ( augmentation ) = 200 % 200 Comme12 , le nouveau prix s’obtient en 100  ’

x 1,04 x 1,12 X 1,196

35,5 % 80 % 120 %

x 1,355 x 1,80 x 2,20

Exemple 2 : Le nombre d’élèves d’un collège a diminué de 12 % . Il y avait 650 élèves initialement. Quel est le nombre d’élèves actuellement ? Calcul de la diminution : La diminution correspond à 12 % de 650 élèves. Nous avons donc : 0,12 x 650 soit 78 ( élèves ) Calcul du nombre d’élèves après diminution : 650 − 78 = 572  Le nouveau nombre d’élèves est 572

M

:-

N’y a t-il pas un moyen plus rapide comme dans l’exemple précédent, une méthode qui permettrait d’obtenir directement le nombre d’élèves sans calculer la baisse ?

Avec une diminution de 12% , le nouveau nombre représente ( 100 – 12 ) % de l’ancien nombre. Le signe moins signifie ici une diminution. Il suffit donc d’utiliser comme coefficient multiplicatif 0,88 .

4 % 15 %

x 0,96 ( 100 – 4 = 96 ) x 0,85 ( 100 – 15 = 85 )

20,6 % 80 %

x 0,794 ( 100 – 20,6 = 79,4 ) x 0,20 ( 100 – 80 = 20 )

Lorsqu’il a une augmentation, on ajoute le pourcentage à 100. Lorsqu’il y a une diminution, on retranche le pourcentage à 100

Exemple 3 : A chaque vente d’un bien, l’Etat facture un impôt appelé TVA (taxe sur la valeur ajoutée ). C’est à dire que si un objet pouvait être , par le commerçant, vendu 100 euros, l’état augmente ce prix d’un certain pourcentage ( variable – dans la plupart des cas 19,6 % ). Le prix initial s’appelle le prix hors taxe(s) ( en abrégé Prix H.T. ) L’augmentation est la T.V.A. Le prix final ( prix initial + augmentation ) s’appelle le prix toutes taxes comprises (en abrégé Prix T.T.C.) Un commerçant est tenu, par le loi, d’indiquer sur les étiquettes le prix TTC. Ce commerçant a plusieurs articles dont les prix H.T. sont :  45 € ; 28 € ; 16,5 € ; 85 € et 67,9 € Quels sont les prix T.T.C. ? ( La TVA est de 19,6 % - Les prix T.T.C. seront des valeurs approchées par défaut au centime d’euro )

Le prix T.T.C., c’est le prix H.T. augmenté de 19,6% . Pour chaque prix, on cherche la T.V.A. ( l’augmentation ) et on ajoute cette valeur au prix initial.

Prix H.T. : 45 Calcul de l’augmentation ( T.V.A. ) : L’augmentation correspond à 19,6 % de 45 € . Nous avons donc : 0,196 x 45 soit 8,82 € Calcul du prix T.T.C. : 45 + 8,82 = 53,82  Le rix T.T.C. est de 53 82

Il faut recommencer pour 28 ; 16,5 ; 85€ et 67,9 €. C’est assez long ! En prenant le coefficient multiplicatif, c’est plus rapide. L’augmentation «étant de 19,6 %, le coefficient multiplicatif est de 1,196  100 % + 19 6% soit 119 6 %

Prix H. . : Calcul du prix T.T.C. : 1,196 x 45 = 53,82  Le prix T.T.C. est de 53,82 €

Les calculatrices peuvent avoir en mémoire un coefficient multiplicatif.( en utilisant les touches de mémoireO) Pour certaines , une toucheKfacteur constant existe. Pour d’autres, il suffit de taper 1,196 ×x , puis d’entrer 45 = . le résultat qui s’affiche est 53,82 Sans effacer, inscrivons 28 = ( le résultat apparaît 33,48) ; 16,5 = ( le résultat apparaît19,73)  ; 85 = ( le résultat apparaît101,66)  et 67,9 = ( le résultat a araît81,2) . Exemple 4 : Un article coûte 150 euros. Le commerçant décide de l’augmenter de 10%. N’ayant pas d’acheteur, il décide de le baisser alors de 10 %. Quel est le prix de cet article ?

Facile , c’est 150 euros !!!!!!!

Eh bien non !!!! Faites le calcul.

Hausse de 10% Calcul de l’augmentation ( 10% ) : L’augmentation correspond à 10 % de 150 € . Nous avons donc : 0,10 x 150 soit 15 € Calcul du prix T.T.C. : 150 + 15 = 165  A rès la hausse de 10% le rix est de 165

Baisse de 10% Calcul de la diminution ( 10% ) : La diminution correspond à 10 % de 165 € ( et non plus de 150 € ). Nous avons donc : 0,10 x 165 soit 16,5 € Calcul du prix T.T.C. : 165 16 5 = 148 5

Le nouveau prix est de 148,5 euros et non de 150 euros ! Et c’est normal. L’augmentation de 10% s’applique à 150 euros, tandis que la diminution de 10 % s’applique à une somme plus élevée ( 165 euros ). La diiminution est donc, en euros , plus grande que l’augmentation. Il y a plus simple pour déterminer le nouveau prix.

Prix après la hausse de 10% 1,10 x 150 = 165 € Prix après la baisse de 10% 0,90 x 165 = 148,5 €  OU ( en une seule ligne ) Nouveau prix :  150 x 1 10 x 0 90 = 148 5 haussebaisse

L’utilisation des coefficients multiplicatifs simplifie la recherche. Nous pouvons même aller plus loin . En effectuant le produit 1,10 x 0,90 , nous obtenons : 0,99. Le calcul est donc le suivant :  150 x 1,10 x 0,90 = 150 x 0,99 = 148,5

Lorsque l’augmentation est de 20%, le nouveau prix s’obtient à l’aide du coefficient multiplicatif 1,20. Inversement , si l’on multiplie un nombre par 1,20, nous lui faisons subir une augmentation de 20 %. Lorsque la diminution est de 15% , le nouveau prix s’obtient à l’aide du coefficient multiplicatif 0,85. Inversement , si l’on multiplie un nombre par 0,85, nous lui faisons subir une diminution de 15 %.

Revenons à notre exemple : Nous multiplions 150 euros par 0,99. Multiplier 150 par 0,99 revient à faire subir à 150 euros, une diminution de 1 % ( 0,99 = 1 – 0,01 ) Par conséquent, une augmentation de 10 % suivie d’une diminution de 10 % correspond à une diminution de 1 % !

x 1,25 Augmentation de 25 % x 0,94 Diminution de 6 % x 1,07 Augmentation de 7 % x 1,32 Augmentation de 32 % x 0,72 Diminution de 28 % x 0,87 Diminution de 13 % Savoir calculer un taux ( de pourcentage ): Exemple 1 : Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. Quel pourcentage représentent les filles ( par rapport au nombre total d’élèves ) ? Méthode 1 : Avec un tableau de proportionnalité Méthode 1 : Nombre d’élèves ( au total )

Il y a 30 élèves au total et le nombre de filles S’il y avait 100 élèves, quel serait alors le est, dans ce cas, égal à 18. nombre de filles ? Nous avons :30´ x 118´100 18´100 x 1= 60 30 S’il y avait 100 élèves dans la classe, le nombre de filles serait alors de 54 . Le pourcentage de filles est donc de 60 % . Méthode 2 : Nombre de filles

Si, dans la classe de 30 élèves, il y avait 30 Mais, il n’y a que 18 filles. Quel est alors le filles, le pourcentage de filles serait alors de pourcentage x ? 100 % Nous avons : 30´ x 118´100 18´100 x 1= 60 30 Le pourcentage de filles est donc de 60 % . Méthode 2 : Propriété : Pour déterminer le pourcentage que représente une quantitéapar rapport à une autre quantitéb, a il suffit de calculer´100 b Dans notre exercice, il y a 18 filles sur 30 élèves. Le pourcentage de filles par rapport à la classe est donc : 18 ´0,6100 soit ´100 soit 60 % 30

Exemple 2 : Un article, dont le prix initial était 72 € , coûte maintenant 86,40 € . Quelle est le pourcentage d’augmentation ? Solution : Augmentation ( en euros ) :  86,40 – 72 = 14,40 ( € ) Pourcentage ou taux d’augmentation : ( 14,40 € par rapport au prix initial 72 € ) 14,40 ´100 = 0,2´100( % )= 20 72 Le pourcentage d’augmentation est de 20 %